自來(lái)水輸送與貨機(jī)裝運(yùn)

4.1自來(lái)水輸送與貨機(jī)裝運(yùn)

某市有甲，乙，丙，丁四個(gè)居民區(qū)，自來(lái)水由A，B，C三個(gè)水庫(kù)供應(yīng)．四個(gè)區(qū)每天必須得到保證的基本生活用水量分別為30，70，10，10千噸，但由于水資源緊張，三個(gè)水庫(kù)每天最多只能分別供應(yīng)50，60，50千噸自來(lái)水。問(wèn)題由于地理位置的差別，自來(lái)水公司從各水庫(kù)向各區(qū)送水所需付出的引水管理費(fèi)不同(見(jiàn)表4－1.其中C水庫(kù)與丁區(qū)之間沒(méi)有輸水管道)。其他管理費(fèi)用都是450元/千噸.根據(jù)公司規(guī)定，各區(qū)用戶按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)900元/千噸收費(fèi)。此外四個(gè)區(qū)都向公司申請(qǐng)了額外用水量，分別為每天50，70，20，40千噸。該公司應(yīng)如何分配供水量，才能獲利最多?由為了增加供水量，自來(lái)水公司正在考慮進(jìn)行水庫(kù)改造，使三個(gè)水庫(kù)每天的最大供水量都提高一倍，問(wèn)那時(shí)供水方案應(yīng)如何改變?公司利潤(rùn)可加到多少？引水管理費(fèi)（元/千噸）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/表4－1從水庫(kù)向各區(qū)送水的引水管理費(fèi)分析分配供水量就是安排從三個(gè)水庫(kù)向四個(gè)區(qū)送水的方案，目標(biāo)是獲利最多.

而從題目給出的數(shù)據(jù)看，A，B，C三個(gè)水庫(kù)的供水量160千噸，不超過(guò)四個(gè)區(qū)的基本生活用水量與額外用水量之和300千噸，因而總能賣出并獲利，于是自來(lái)水公司每天的總收入是元，與送水方案無(wú)關(guān)．同樣，公司每天的其它管理費(fèi)用元也與送水方案無(wú)關(guān)．

所以，要使利潤(rùn)最大．只需使引水管理費(fèi)最小即可．另外，送水方案自然要受三個(gè)水庫(kù)的供應(yīng)和四區(qū)的需求量的限制．分析模型建立決策變量為A，B，C三個(gè)水庫(kù)分別向甲，乙，丙，丁四個(gè)區(qū)的供水量，設(shè)水庫(kù)向區(qū)的日供水量為．由于C水庫(kù)與丁區(qū)之間沒(méi)有輸水管道，即，因此只有11個(gè)決策變量．由上分析，問(wèn)題的目標(biāo)可以從獲利最多轉(zhuǎn)化為引水管理費(fèi)最少，于是有（4.1.1）約束條件有兩類；一類是是水庫(kù)的供應(yīng)量限制，另一類是各區(qū)的需求量限制

由于供水量總能賣出并獲利，水庫(kù)的供應(yīng)量限量可以表示為：

考慮的各區(qū)的基本生活用水量與額外用水量，需求量限制可以表示為：模型求解（4.1.1）～（4.1.8）構(gòu)成一線性規(guī)劃模型（當(dāng)然加上的非負(fù)約束）．輸入LINDO求解，得到如下結(jié)果。

送水方案為：

A水庫(kù)向乙區(qū)供水50千噸，

B水庫(kù)向乙，丁區(qū)分別供水50，10，千噸，

C水庫(kù)向甲，丙分別供水40，10千噸．引水管理費(fèi)為24400元，利潤(rùn)為144000-72000-24000=47600元

討論如果A，B，C三個(gè)水庫(kù)每天的最大供水量都提高一倍，則公司總供水能力為320千噸，大于總需求量300千噸，水庫(kù)供水量不能全部賣出，因而不能像前面那樣，將獲利最多轉(zhuǎn)化為引水管理費(fèi)最少。因此需要計(jì)算A，B，C三個(gè)水庫(kù)分別向甲，乙，丙，丁四個(gè)區(qū)供應(yīng)每千噸水的凈利潤(rùn)，既從收入900元中減去其他管理費(fèi)450元，再減去表4－1中的引水管理費(fèi)，得表4－2．

凈利潤(rùn)（元/千噸）甲乙丙丁A290320230280B310320260300C260250220/表4－2從水庫(kù)向各區(qū)送水的凈利潤(rùn)

決策目標(biāo)為

（4.1.9）由于水庫(kù)供水量不能全不賣出，所以上面約束（4.1.2）—（4.1.4）的右端增加一倍的同時(shí)，應(yīng)將等號(hào)改為小于，既

約束（4.1.5）～（4.1.8）不變．將（4.1.5）～（4.1.12）構(gòu)成的線性規(guī)劃模型輸入LINDO求解。送水方案：A水庫(kù)向乙區(qū)供水100千噸，B水庫(kù)向甲，乙，丁區(qū)分別供水30，40，50千噸C水庫(kù)甲，丙區(qū)分別供水50，30千噸總利潤(rùn)為88700元．本題考慮的是將某種物質(zhì)從若干供應(yīng)點(diǎn)運(yùn)往一些需求點(diǎn)，在供需量約束條件下使總費(fèi)用最小，或總利潤(rùn)最大，這類問(wèn)題一般稱為運(yùn)輸問(wèn)題，是線性規(guī)劃應(yīng)用最廣泛的領(lǐng)域之一．評(píng)注在標(biāo)準(zhǔn)的運(yùn)輸問(wèn)題中，供需量通常是不平衡的，擔(dān)這并不會(huì)引起本質(zhì)的區(qū)別，一樣可以方便的建立線性規(guī)劃模型求解．貨機(jī)裝運(yùn)

問(wèn)題某架貨機(jī)有三個(gè)貨艙；前艙，中艙，后艙，三個(gè)貨艙所能裝載的貨物的最大重量和體積都有限制，如表4－3所示.為了保持飛機(jī)的平衡,三個(gè)貨艙中實(shí)際裝載貨物的重量必須與其最大容許重量成比例

。前倉(cāng)中倉(cāng)后倉(cāng)重量限制(噸)10168體積限制（立方米）680087005300表4－3三個(gè)貨艙裝載貨物的最大容許重量和體積

現(xiàn)有四類貨物供該貨機(jī)本次飛行裝運(yùn)，其有關(guān)信息如表4－4．最后一列指裝運(yùn)后所獲得的利潤(rùn)

重量（噸）空間（立方米/噸）利潤(rùn)（元/噸）貨物1184803100貨物2156503800貨物3235803500貨物4123902850表4－4四類裝運(yùn)貨物的信息

應(yīng)如何安排裝運(yùn)，使該貨機(jī)本次飛行獲利最大?模型假設(shè)1每種貨物可以分割到任意小；2每種貨物可以在一個(gè)或多個(gè)貨艙中任意分布；3多種貨物可以混裝，并保證不留空隙．模型建立決策變量:用

表示第種貨物裝入第個(gè)貨艙的重量(噸)，貨艙分別表示前倉(cāng)、中倉(cāng)、后倉(cāng).決策目標(biāo)是最大化總利潤(rùn)，即

（4.1.13）約束條件包括以下4個(gè)方面：1)供裝載的四種貨物的總重量約束，即

（4.1.14）（4.1.15）（4.1.16）（4.1.17）2)三個(gè)貨艙的重量限制，即

（4.1.18）（4.1.19）（4.1.20）3)三個(gè)貨艙的空閑限制，即（4.1.21）（4.1.22）（4.1.23）4)三個(gè)貨艙裝入重量的平衡約束，即(4.1.24）模型求解

將以上模型輸入LINDO求解，可以得到結(jié)果為：貨物2裝入前倉(cāng)10噸、裝入后倉(cāng)5噸；貨物3裝入中倉(cāng)13噸、裝入后倉(cāng)3噸；貨物4裝入中倉(cāng)3噸.最大利潤(rùn)約121516元．（最優(yōu)解四舍五入