最新中考數(shù)學經(jīng)典壓軸題專題

..專題1：拋物線中的等腰三角形基本題型：已知,拋物線,點在拋物線上〔或坐標軸上,或拋物線的對稱軸上,若為等腰三角形,求點坐標。分兩大類進行討論：〔1為底時〔即：點在的垂直平分線上。利用中點公式求出的中點；利用兩點的斜率公式求出,因為兩直線垂直斜率乘積為,進而求出的垂直平分線的斜率；利用中點與斜率求出的垂直平分線的解析式；將的垂直平分線的解析式與拋物線〔或坐標軸,或拋物線的對稱軸的解析式聯(lián)立即可求出點坐標?！?為腰時,分兩類討論：①以為頂角時〔即：點在以為圓心以為半徑的圓上。②以為頂角時〔即：點在以為圓心以為半徑的圓上。利用圓的一般方程列出<或>的方程,與拋物線〔或坐標軸,或拋物線的對稱軸的解析式聯(lián)立即可求出點坐標。專題2：拋物線中的直角三角形基本題型：已知,拋物線,點在拋物線上〔或坐標軸上,或拋物線的對稱軸上,若為直角三角形,求點坐標。分兩大類進行討論：〔1為斜邊時〔即：點在以為直徑的圓周上。利用中點公式求出的中點；利用圓的一般方程列出的方程,與拋物線〔或坐標軸,或拋物線的對稱軸的解析式聯(lián)立即可求出點坐標。〔2為直角邊時,分兩類討論：①以為直角時〔即：②以為直角時〔即：利用兩點的斜率公式求出,因為兩直線垂直斜率乘積為,進而求出〔或的斜率；進而求出〔或的解析式；將〔或的解析式與拋物線〔或坐標軸,或拋物線的對稱軸的解析式聯(lián)立即可求出點坐標。所需知識點：兩點之間距離公式：已知兩點,則由勾股定理可得：。圓的方程：點在⊙M上,⊙M中的圓心M為,半徑為R。則,得到方程☆：?！郟在☆的圖象上,即☆為⊙M的方程。中點公式：已知兩點,則線段PQ的中點M為。任意兩點的斜率公式：已知兩點,則直線PQ的斜率：。中考壓軸題專題3：拋物線中的四邊形基本題型：一、已知,拋物線,點在拋物線上〔或坐標軸上,或拋物線的對稱軸上,若四邊形為平行四邊形,求點坐標。分兩大類進行討論：〔1為邊時〔2為對角線時二、已知,拋物線,點在拋物線上〔或坐標軸上,或拋物線的對稱軸上,若四邊形為距形,求點坐標。在四邊形為平行四邊形的基礎(chǔ)上,運用以下兩種方法進行討論：〔1鄰邊互相垂直〔2對角線相等三、已知,拋物線,點在拋物線上〔或坐標軸上,或拋物線的對稱軸上,若四邊形為菱形,求點坐標。在四邊形為平行四邊形的基礎(chǔ)上,運用以下兩種方法進行討論：〔1鄰邊相等〔2對角線互相垂直四、已知,拋物線,點在拋物線上〔或坐標軸上,或拋物線的對稱軸上,若四邊形為正方形,求點坐標。在四邊形為矩形的基礎(chǔ)上,運用以下兩種方法進行討論：〔1鄰邊相等〔2對角線互相垂直在四邊形為菱形的基礎(chǔ)上,運用以下兩種方法進行討論：〔1鄰邊互相垂直〔2對角線相等五、已知,拋物線,點在拋物線上〔或坐標軸上,或拋物線的對稱軸上,若四邊形為梯形,求點坐標。分三大類進行討論：〔1為底時〔2為腰時〔3為對角線時典型例題：典型例題：例1〔08XX中考題、如圖9,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象的頂點為D點,與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側(cè),B點的坐標為〔3,0,OB＝OC,tan∠ACO＝．〔1求這個二次函數(shù)的表達式．〔2經(jīng)過C、D兩點的直線,與x軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F,使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在,請求出點F的坐標；若不存在,請說明理由．〔3若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長度．〔4如圖10,若點G〔2,y是該拋物線上一點,點P是直線AG下方的拋物線上一動點,當點P運動到什么位置時,△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.例2〔20XXXX市如圖,拋物線與軸交于兩點,與軸交于C點,且經(jīng)過點,對稱軸是直線,頂點是．求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；經(jīng)過兩點作直線與軸交于點,在拋物線上是否存在這樣的點,使以點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在,請求出點的坐標；若不存在,請說明理由；設(shè)直線與y軸的交點是,在線段上任取一點〔不與重合,經(jīng)過三點的圓交直線于點,試判斷的形狀,并說明理由；OBxyAMC1〔第26題圖當OBxyAMC1〔第26題圖例3.〔2009?XX如圖,拋物線經(jīng)過A〔4,0,B〔1,0,C〔0,-2三點．〔1求出拋物線的解析式；〔2P是拋物線上一動點,過P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在P點,使得以A,P,M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在,請求出符合條件的點P的坐標；若不存在,請說明理由；〔3在直線AC上方的拋物線上有一點D,使得△DCA的面積最大,求出點D的坐標．思路點撥1．已知拋物線與x軸的兩個交點,用待定系數(shù)法求解析式時,設(shè)交點式比較簡便．2．數(shù)形結(jié)合,用解析式表示圖象上點的坐標,用點的坐標表示線段的長．3．按照兩條直角邊對應(yīng)成比例,分兩種情況列方程．4．把△DCA可以分割為共底的兩個三角形,高的和等于OA．滿分解答〔1因為拋物線與x軸交于A<4,0>、B〔1,0>兩點,設(shè)拋物線的解析式為,代入點C的坐標〔0,－2,解得．所以拋物線的解析式為．〔2設(shè)點P的坐標為．①如圖2,當點P在x軸上方時,1＜x＜4,,．如果,那么．解得不合題意．如果,那么．解得．此時點P的坐標為〔2,1．②如圖3,當點P在點A的右側(cè)時,x＞4,,．解方程,得．此時點P的坐標為．解方程,得不合題意．③如圖4,當點P在點B的左側(cè)時,x＜1,,．解方程,得．此時點P的坐標為．解方程,得．此時點P與點O重合,不合題意．綜上所述,符合條件的點P的坐標為〔2,1或或．圖2圖3圖4〔3如圖5,過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設(shè)點D的橫坐標為m,那么點D的坐標為,點E的坐標為．所以．因此．當時,△DCA的面積最大,此時點D的坐標為〔2,1．圖5圖6例4.如圖1,已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點〔點A在點B左側(cè),與y軸交于點C<0,－3>,對稱軸是直線x＝1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．〔1求拋物線的函數(shù)表達式；〔2求直線BC的函數(shù)表達式；〔3點E為y軸上一動點,CE的垂直平分線交CE于點F,交拋物線于P、Q兩點,且點P在第三象限．①當線段時,求tan∠CED的值；②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,請直接寫出點P的坐標．溫馨提示：考生可以根據(jù)第〔3問的題意,在圖中補出圖形,以便作答．思路點撥1．第〔1、〔2題用待定系數(shù)法求解析式,它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題．2．第〔3題的關(guān)鍵是求點E的坐標,反復用到數(shù)形結(jié)合,注意y軸負半軸上的點的縱坐標的符號與線段長的關(guān)系．3．根據(jù)C、D的坐標,可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,這樣寫點E的坐標就簡單了．滿分解答〔1設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為,代入點C<0,－3>,得．所以拋物線的函數(shù)表達式為．〔2由,知A<－1,0>,B<3,0>．設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為,代入點B<3,0>和點C<0,－3>,得解得,．所以直線BC的函數(shù)表達式為．〔3①因為AB＝4,所以．因為P、Q關(guān)于直線x＝1對稱,所以點P的橫坐標為．于是得到點P的坐標為,點F的坐標為．所以,．進而得到,點E的坐標為．直線BC:與拋物線的對稱軸x＝1的交點D的坐標為〔1,－2．過點D作DH⊥y軸,垂足為H．在Rt△EDH中,DH＝1,,所以tan∠CED．②,．圖2圖3圖4考點伸展第〔3題②求點P的坐標的步驟是：如圖3,圖4,先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點E的坐標,再求出CE的中點F的坐標,把點F的縱坐標代入拋物線的解析式,解得的x的較小的一個值就是點P的橫坐標．例5.〔2010?XX在平面直角坐標系中,已知拋物線經(jīng)過A〔-4,0,B〔0,-4,C〔2,0三點．〔1求拋物線的解析式；〔2若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點,點M的橫坐標為m,△AMB的面積為S、求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值．若點P是拋物線上的動點點Q是直線y=-x上的動點,判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標．解：〔1設(shè)拋物線的解析式為y=a〔x+4〔x-2,②如圖2,當BO為對角線時,知A與P應(yīng)該重合,OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4,Q橫坐標為4,代入y=-x得出Q為〔4,-4．故滿足題意的Q點的坐標有四個,分別是〔-4,4,〔4,-4,例6.〔2013?眉山如圖,在平面直角坐標系中,點A、B在x軸上,點C、D在y軸上,且OB=OC=3,OA=OD=1,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0經(jīng)過A、B、C三點,直線AD與拋物線交于另一點M．〔1求這條拋物線的解析式；〔2P為拋物線上一動點,E為直線AD上一動點,是否存在點P,使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在,請求出所有點P的坐標；若不存在,請說明理由．．∴拋物線的解析式為：y=x2+2x-3．〔2存在．△APE為等腰直角三角形,有三種可能的情形：①以點A為直角頂點．如解答圖,過點A作直線AD的垂線,與拋物線交于點P,與y軸交于點F．∵OA=OD=1,則△AOD為等腰直角三角形,∵PA⊥AD,則△OAF為等腰直角三角形,∴OF=1,F〔0,-1．設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b,將點A〔1,0,F〔0,-1的坐標代入得：解得k=1,b=-1,∴y=x-1．將y=x-1代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+2x-3得,x2+2x-3=x-1,整理得：x2+x-2=0,解得x=-2或x=1,當x=-2時,y=x-1=-3,∴P〔-2,-3；②以點P為直角頂點．此時∠PAE=45°,因此點P只能在x軸上或過點A與y軸平行的直線上．過點A與y軸平行的直線,只有點A一個交點,故此種情形不存在；因此點P只能在x軸上,而拋物線與x軸交點只有點A、點B,故點P與點B重合．∴P〔-3,0；③以點E為直角頂點．此時∠EAP=45°,由②可知,此時點P只能與點B重合,點E位于直線AD與對稱軸的交點上,即P〔-3,0；綜上所述,存在點P,使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形．點P的坐標為〔-2,-3或〔-3,0．例7.〔2010?XX將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標系中,點O為坐標原點,點C、A分別在x、y軸的正半軸上,一條拋物線經(jīng)過點A、C及點B〔-3,0．〔1求該拋物線的解析式；〔2若點P是線段BC上一動點,過點P作AB的平行線交AC于點E,連接AP,當△APE的面積最大時,求點P的坐標；〔3在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點G,使△AGC的面積與〔2中△APE的最大面積相等？若存在,請求出點G的坐標；若不存在,請說明理由．解：〔1如圖,∵拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象經(jīng)過點A〔0,6,∴c=6．〔1分∵拋物線的圖象又經(jīng)過點〔-3,0和〔6,0,例8〔2012?從化市一模如圖〔1,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過A〔-1,0、B〔0,3兩點,與x軸交于另一點C,頂點為D．〔1求該拋物線的解析式及點C、D的坐標；〔2經(jīng)過點B、D兩點的直線與x軸交于點E,若點F是拋物線上一點,以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,求點F的坐標；〔3如圖〔2P〔2,3是拋物線上的點,Q是直線AP上方的拋物線上一動點,求△APQ的最大面積和此時Q點的坐標．y=-x2+2x+3=-〔x-12+4∴D〔1,4例9.〔XX省XX市如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D<0,>,且頂點C的橫坐標為4,該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6．〔1求該二次函數(shù)的解析式；〔2在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA＋PD最小,求出點P的坐標；〔3在拋物線上是否存在點Q,使△QAB與△ABC相似？如果存在,求出點Q的坐標；如果不存在,請說明理由．CDOBCDOBAyx〔2∵點A、B關(guān)于直線x=4對稱

∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴當點P在線段DB上時PA+PD取得最小值

∴DB與對稱軸的交點即為所求點P

設(shè)直線x=4與x軸交于點M

∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∵∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO例10．〔XX省內(nèi)江市如圖所示,已知點A<－1,0>,B<0,3>,C<0,t>,且t＞0,tan∠BAC＝3,拋物線經(jīng)過A、B、C三點,點P<2,m>是拋物線與直線l：y＝k<x＋1>的一個交點．〔1求拋物線的解析式；〔2對于動點Q<1,n>,求PQ＋QB的最小值；〔3若動點M在直線l上方的拋物線上運動,求△AMP的邊AP上的高h的最大值．〔3過點P作PN⊥x軸于點N,過點M作MK⊥x軸于點K,設(shè)點M的坐標為〔x,-x2+2x+3,例11.〔XX省XX市已知：Rt△ABC的斜邊長為5,斜邊上的高為2,將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中,使其斜邊AB與x軸重合〔其中OA＜OB,直角頂點C落在y軸正半軸上〔如圖1．〔1求線段OA、OB的長和經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式．〔2如圖2,點D的坐標為〔2,0,點P〔m,n是該拋物線上的一個動點〔其中m＞0,n＞0,連接DP交BC于點E．①當△BDE是等腰三角形時,直接寫出此時點E的坐標．O圖3CO圖3CABABxyOPD〔1〔注：只回答有最大面積,而沒有說明理由的,不給分；點P的坐標,或最大面積計算錯誤的,扣〔1分；其他解法只要合理,酌情給分．例12.〔20XXXX省XX市已知:如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸、y軸分別相交于點A〔-1,0、B〔0,3兩點,其頂點為D.求該拋物線的解析式；若該拋物線與x軸的另一個交點為E.求四邊形ABDE的面積；△AOB與△BDE是否相似？如果相似,請予以證明；如果不相似,請說明理由.〔注：拋物線y=ax2+bx+c<a≠0>的頂點坐標為滿分解答：1.解：〔1由已知得：解得c=3,b=2∴拋物線的線的解析式為<2>由頂點坐標公式得頂點坐標為〔1,4所以對稱軸為x=1,A,E關(guān)于x=1對稱,所以E<3,0>設(shè)對稱軸與x軸的交點為F所以四邊形ABDE的面積====9〔3相似.如圖,BD=BE=DE=所以,即：,所以是直角三角形所以,且,所以.例13.<20XXXX省十二市>如圖16,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點,與軸交于點,拋物線經(jīng)過三點．〔1求過三點拋物線的解析式并求出頂點的坐標；〔2在拋物線上是否存在點,使為直角三角形,若存在,直接寫出點坐標；若不存在,請說明理由；〔3試探究在直線上是否存在一點,使得的周長最小,若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由．AAOxyBFC圖16解：〔1直線與軸交于點,與軸交于點．, 1分點都在拋物線上,拋物線的解析式為 3分頂點 4分〔2存在 5分 7分 9分〔3存在 10分理由：解法一：延長到點,使,連接交直線于點,則點就是所求的點． 11分過點作于點．AOxyBFAOxyBFC圖9HBM在中,,,,在中,,,, 12分設(shè)直線的解析式為解得 13分解得在直線上存在點,使得的周長最小,此時． 14分例14.<20XXXX省XX市>已知：如圖14,拋物線與軸交于點,點,與直線相交于點,點,直線與軸交于點．〔1寫出直線的解析式．〔2求的面積．〔3若點在線段上以每秒1個單位長度的速度從向運動〔不與重合,同時,點在射線上以每秒2個單