控制測量學(xué)課件第12講

第8章橢球面元素歸算到高斯平面-高斯投影第12講

第8章橢球面元素歸算到高斯平面-高斯投影對于采用傳統(tǒng)的測角、測邊方法建立大地控制網(wǎng)，在不可忽略地球曲率時，必須將觀測值歸算到參考橢球面上，在橢球面上進行計算。橢球面上的計算是非常復(fù)雜的，另一方面大地坐標系統(tǒng)對于工程應(yīng)用也十分不便，所以城市規(guī)劃與建設(shè)、交通、水利等土木工程項目中，由于建設(shè)范圍不大，實際工作中還是采用平面坐標系統(tǒng)。高等級大地測量將觀測值歸算到橢球面，在橢球面上計算建立全國統(tǒng)一的控制網(wǎng)，然后通過高斯投影方法，將大地坐標轉(zhuǎn)換為高斯平面坐標。通過這樣的步驟，高斯平面坐標和大地坐標即建立了一一對應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即高斯平面坐標和大地坐標可以相互轉(zhuǎn)換。第8章橢球面元素歸算到高斯平面-高斯投影高斯平面坐標和將地面近似視為平面，所建立的獨立平面坐標系統(tǒng)是有本質(zhì)區(qū)別的。從橢球面到平面，投影變形不可避免。為控制變形，高斯平面坐標分投影帶。雖然各帶高斯坐標原點不同，X軸的方向也不平行，但是各帶高斯平面坐標可以反算為大地坐標，這樣以大地坐標為紐帶，高斯平面坐標也是統(tǒng)一大地坐標系統(tǒng)下的一部分，而獨立坐標系統(tǒng)則是孤立的，各獨立坐標系統(tǒng)之間和與大地坐標系統(tǒng)之間沒有聯(lián)系，也不能換算。控制范圍較小時，將地面視為平面，長度觀測值不作歸算處理，這樣控制點坐標反算的水平邊長與實測水平邊長基本上一致。高斯平面坐標，經(jīng)過了歸算和投影，長度觀測值存在變形，控制點坐標反算的邊長和實測水平邊長，理論上也不相等。8.1.1、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程地圖數(shù)學(xué)投影是指將橢球面上元素按數(shù)學(xué)法則投影到平面上。橢球面是不可展曲面,橢球面元素投影到平面,變形不可避免。地圖投影根據(jù)對變形的不同取舍,形成了不同的投影方法,研究投影問題的學(xué)科就成為地圖投影學(xué)。投影數(shù)學(xué)法則可用兩個方程式概括：（8－4）只是一個定義公式，其中F1

和F2

稱為投影函數(shù)，它們是由“一定的數(shù)學(xué)規(guī)則”所決定的。不同的投影方法對應(yīng)的F1

、F2

不同。如果F1

和F2

的形式已經(jīng)確定，即可由大地坐標求得平面直角坐標。8.1地圖數(shù)學(xué)投影的基本變換（8－4）8.1地圖數(shù)學(xué)投影的基本變換8.1.2、地圖投影的變形1.長度比不同的點長度比不同，同一點不同的方向，長度比也不同。2.主方向和變形橢圓長度比依方向不同而變化，其中最大及最小長度比方向稱為主方向。在橢球面上任意點，必有一對相互垂直的方向，在平面上的投影方向也是相互垂直的。這兩個方向就是長度比的極值方向，也稱為主方向。已知主方向上長度比，可以計算任意方向上的長度比，從而構(gòu)成以兩個長度比極值為長短軸的橢圓，稱為變形橢圓。8.1.2、地圖投影的變形2.主方向和變形橢圓

8.1.2、地圖投影的變形OAPBO'A'P'B'xy

橢球面ξη投影平面設(shè)橢球面上有以o點為中心的單位微分圓,兩個主方向分別為ξ軸和η軸,微分圓上一點p，坐標分別為ξ和η,則單位微分圓方程為：在投影面上，設(shè)o點的投影點為o′,主方向投影為x,y.p的投影點p′坐標為x,y，已知主方向投影比分別為a,b,所以有：可見橢圓上的微分圓，投影后為微分橢圓(變形橢圓)，主方向投影后變?yōu)闄E圓長軸和短軸。在變形橢圓上,某方向的向徑就是該方向的長度比。主方向的長度比分別為a和b,3.投影變形1)長度變形

8.1.2、地圖投影的變形2)方向變形設(shè)原方位角為α,投影后方位角為就稱為方向變形，并且有：OAPBO'A'P'B'xy

橢球面ξη投影平面稱為相對長度變形,簡稱長度變形（8－11）3)角度變形：投影前角度與投影后角度之差：

8.1.2、地圖投影的變形

最大角度變形：（8－19）（8－24）4)面積變形：微分單位圓面積與投影后面積之比：,p和1的差稱為面積變形相對變形，簡稱面積變形。8.1.3、地圖投影的分類1.按投影面來分：平面投影、圓錐投影、圓柱投影等2.按變形性質(zhì)來分：等角、等面積、任意投影等

3.按創(chuàng)始人的姓名命名的，如蘭勃特、墨卡托、高斯投影等8.2.1控制測量對地圖投影的要求8.2高斯投影概述控制測量對投影方法的要求是：①.計算方便，②，變形能夠控制在可接受的范圍內(nèi)。高斯投影優(yōu)點是：1.高斯投影屬于正形投影，正形投影特點是投影后角度不變，傳統(tǒng)的大地測量方法是三角測量方法，采用正形投影給計算工作帶來很大方便。2.在微小范圍內(nèi)，等角投影能保持投影圖形和原圖形的相似性。3.投影長度比僅與點位置有關(guān)，而和方向無關(guān)。高斯投影能夠滿足控制測量和地圖制圖的基本要求，因而世界上許多國家都采用高斯投影方法。高斯－克呂格投影又稱為等角橫切橢圓柱投影。是高斯于十九世紀二十年代提出的，后經(jīng)德國大地測量學(xué)家克呂格于1912年補充和完善，因而稱高斯－克呂格投影，簡稱高斯投影。1.高斯投影原理:設(shè)想有一橢圓柱面橫套在橢球體外，并與一子午線相切，橢園柱中心通過橢球中心。與橢園柱相切的子午線稱為中央子午線，將中央子午線兩側(cè)一定范圍內(nèi)的元素投影（歸算）到橢球柱面上，由于橢球柱面是可展曲面，將其縱向拋開，即展為投影平面上的元素。8.2.2高斯投影的基本概念由圖8-78-8可見：①.中央子午線與橢圓柱相切，因而投影后為一直線；②.中央子午線投影后長度不變。圖8-78-88.2.2高斯投影的基本概念2.高斯投影分帶①.分帶目的:控制長度變形②.分帶方法:以子午線為界,把橢球面劃分成若干個經(jīng)差相等的狹長投影帶,以各投影帶中央的經(jīng)線為中央子午線,分別進行高斯投影。3.我國采用的投影分帶方法①.六度帶：自零子午線起向東劃分，每隔60為一帶。②.三度帶：每3度為一帶，其中央子午線在奇數(shù)帶與六度帶中央子午線一致；偶數(shù)帶則與六度帶的分帶子午線重合。③.1.5°帶或任意帶:

工程測量控制網(wǎng)也可采用1.5°帶或任意帶，但為了測量成果的通用，需同國家6°或3°帶建立聯(lián)系。

8.2.2高斯投影的基本概念6度帶自格林尼治子午線起，自西向東起，每隔6度為一帶。3度帶是從東經(jīng)1.5度起，每個3度為1帶。設(shè)6度帶和3度帶帶號分別用n和（）表示，6度帶中央子午線經(jīng)度為，3度帶中央子午線經(jīng)度為。則：高斯投影面上中央子午線與赤道線是兩條正交的直線，將其分別作為直角坐標系的縱橫坐標軸，就構(gòu)成高斯平面坐標系。我國位于北半球，x坐標均為正，而y坐標位于中央子午線西側(cè)時會為負，為使y坐標不出現(xiàn)負值，我國規(guī)定高斯平面坐標統(tǒng)一在y值上加500km，并在前面冠以帶號。由于當圖形元素分別位于兩個坐標系統(tǒng)時使用不便，所以規(guī)定每個投影帶要有一定的重疊度，以便邊緣地區(qū)控制點的位于同一坐標系統(tǒng)，也方便地形圖的拼接、使用。Y坐標加常數(shù)的高斯平面直角坐標系

A

??

B

xyxyXY

A

??

B

8.2.2高斯投影的基本概念（a）自然坐標（b）通用坐標西移500km例：在六度帶第19帶中A、B兩點自然坐標通用坐標8.2.2高斯投影的基本概念高斯投影3度帶與6度帶中央子午線對應(yīng)情況

圖8－98.2.3橢球面三角系化算到高斯投影面圖8－19中，橢球面上有一頂點為P、K、Q、M、T的橢球面三角網(wǎng)被化算到高斯平面上，大地線化算（投影）到平面后，三角網(wǎng)邊長變?yōu)榘枷蚩v軸，長度變長的曲線。圖8－198.2.3橢球面三角系化算到高斯投影面要化為平面三角形，需要用弦線來代替弧線，為此要加方向改正、距離改正。平面坐標系統(tǒng)采用坐標方位角，它與投影后沒有變化的大地方位角相差一個微小的角度，稱為子午線收斂角，將大地方位角改化為坐標方位角需要加子午線收斂角改正，曲線改為直線，需要對方向加方向改正。所以要將橢球三角網(wǎng)投影到平面上解算，其內(nèi)容有：8.2.3橢球面三角系化算到高斯投影面1、將起算點P的大地坐標（L,B）歸算為高斯平面坐標，這項工作稱為高斯投影坐標正算。反過來由(x,y)計算（L,B）的工作稱為高斯投影坐標反算。2、將橢球面上大地線方位角化算成高斯平面上相應(yīng)直線邊的坐標方位角，為此需要加子午線收斂角、方向改化兩項改正。3、將橢球面上曲面三角形內(nèi)角改化為高斯平面上直線三角形內(nèi)角，為此各方向均要加方向改正數(shù)（曲率改正）。4、對于橢球面上的邊長，歸算到高斯平面上后，除中央子午線上外，長度均有不同程度的變長，所以要加距離改正8.2.3橢球面三角系化算到高斯投影面由此可見，高斯投影包括的內(nèi)容為坐標、方向（曲率）、邊長、子午線收斂角等幾項改正計算工作。教材中同時使用“方向改正”和“曲率改正”。并且將其并列（67頁（3）），實際上兩者是同一個概念，這在對公式（8－３４）和前面（２）條款下的解釋也可以看出．8.3正形投影的一般條件正形投影是地圖投影的一種，而高斯投影又是正形投影的一種，即高斯投影是滿足正形投影一般條件和其特定條件下的一種地圖投影方法。正形投影區(qū)別于其他投影的特點是：“正形投影中長度比與方向無關(guān)”，這是推導(dǎo)正形投影定義式的基本出發(fā)點。8.3正形投影的一般條件

圖（8－11）中橢球面上有一微分直角三角形

，其頂點大地坐標已標注在圖上。投影到高斯平面上后為，（圖8－12），高斯平面坐標也已標注在圖上了。（注意:標注的頂點順序不對應(yīng),8-12中的p3′應(yīng)該是p4′.）圖8－11圖8－128.3正形投影的一般條件對應(yīng)圖8－11和8－12可得：（8－36）8.3正形投影的一般條件由此可得長度比表達式：令：，則：（8－39），稱q為等量緯度，因為q只與緯度有關(guān)，所以可將dq和dl看作相互獨立變量的微分。由此長度比公式表達式可寫為：（8－37）8.3正形投影的一般條件（8－40）由于地圖投影就是要確定平面坐標與大地坐標間的關(guān)系式，等量緯度q與大地緯度B間有（8－39）式所確定的關(guān)系，所以投影問題也可以看作建立(x,y)與(l,q)間的關(guān)系式。設(shè)有一般式：,求全微分得:（8－42）8.3正形投影的一般條件將（8－42）代入，并引入（8－43）式的符號，得到：由于正形投影的特性是長度比與方向無關(guān)，所以要設(shè)法在（8－45）中引入方向元素。根據(jù)圖（8－11）,并顧及到:,

（8－44）（8－45）（8－46）就得到:

8.3正形投影的一般條件即:,將和代入（8－45）經(jīng)整理得：注意:(8-40)-(8-53)之間的公式,平行圈半徑r都寫成了γ。根據(jù)上式可見，要使m與方向無關(guān)，必須有F=0,E=G。代入（8－43）式符號得到：（8－48）8.3正形投影的一般條件(8-50),由此整理（見70頁）可以得出：

（8－51）就是橢球面到平面的正形投影一般式，是正形投影必須遵循的一般法則。該公式在微分幾何中稱為柯西－黎曼條件，也稱為等角投影條件。

(8-51)8.3正形投影的一般條件由（8－51）式還可得出平面正形投影到橢球面的一般條件：

(8-52)相應(yīng)的長度比公式又可寫為：(8-53)8-51和8-52式是橢球面到平面及平面到橢球面正形投影的一般條件,是各類正形投影都必須遵守的一般法則.8.3正形投影的一般條件柯西黎曼條件的幾何意義圖（8－13）中，A是橢球面上一點在平面上的投影，弧長AB和AC分別是L=常數(shù)的子午微分弧段和B=常數(shù)的平行圈微分弧段在平面上的投影，γ是子午線收斂角。從相似三角形得到：圖（8－13）（8－54）(8-54)實際上應(yīng)用到等角投影的條件柯西黎曼條件的幾何意義據(jù)橢球上微分弧長計算式，并顧及到投影長度比m與方向無關(guān)（引入正形投影一般條件，并顧及到AB、AC長度很短，投影長度比m在此范圍視為常數(shù)），可得：，引用公式（8－42），并直接使用大地緯度B代替公式中等量緯度q