直角和圓位置關(guān)系第三課時(shí)

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系(第三課時(shí))典型例題精析

例1如圖24-2-41，過半徑為6cm的⊙O外一點(diǎn)P引圓的切線PA、PB，連接PO交⊙O于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作⊙O的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E.如果PO=10cm，∠APB=40°.典型例題精析

解：連接AO、BO，則OA⊥PA，∴PA==8(cm).∵PA、PB為切線，A、B為切點(diǎn)，EF、EB、DF、DA與⊙O相切，∴PA=PB，DF=DA，EF=EB，∴△PDE的周長=PD+DF+PE+EF=PD+DA+PE+EB=PA+PB=2PA=16cm. (2)求∠DOE的度數(shù).根據(jù)切線長定理知∠ADO=∠FDO，∠OEB=∠OEF，∴∠1=∠2=∠AOF，∠FOE=∠BOE=∠BOF，∴∠DOE=∠2+∠FOE=∠AOB.∵∠AOB+∠APB=180°，∴∠DOE=(180°-∠APB)=×(180°-40°)=70°.1．圖24-2-42，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B，

OP交⊙O于點(diǎn)C.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是() A．∠APO＝∠BPOB．PA＝PBC．AB⊥OPD．PC＝OC變式練習(xí)D2．如圖24-2-43，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O切于點(diǎn)A、B，C是AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E兩點(diǎn).若△PDE的周長為12，則PA的長為_________．63．如圖24-2-44，在四邊形ABCD中，AB∥CD， ⊙O為內(nèi)切圓，E為切點(diǎn). (1)求∠AOD的度數(shù)；解：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°.∵⊙O內(nèi)切于梯形ABCD，∴AO平分∠BAD，DO平分∠ADC，∴∠DAO＝∠BAD，∠ADO＝∠ADC.∴∠DAO＋∠ADO＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°.∴∠AOD＝180°－(∠DAO＋∠ADO)＝90°. (2)若AO＝8cm，DO＝6cm，求OE的長.解：∵在Rt△AOD中，AO＝8cm，DO＝6cm,∴由勾股定理，得AD＝＝10cm.∵E為切點(diǎn)，∴OE⊥AD.∴AD·OE=OA·OD，即OE==48cm.例2如圖24-2-45，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別切于點(diǎn)D、E、F，∠C=90°,AB=c, BC=a,CA=b,⊙O的半徑為r.求證：r=證明：連接OD、OE、OF、OA.∵⊙O內(nèi)切于△ABC，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.又∵∠C=90°,∴四邊形OECF是正方形，∴CE=CF=r.在Rt△AOD和Rt△AOF中，∴Rt△AOD≌Rt△AOF(HL)，∴AD=AF.同理BD=BE，∴BD=BE=a-r,AD=AF=b-r.又∵BD+AD=c,∴a-r+b-r=c,∴r=4．如圖24-2-46，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心.若∠BAC=80°，則∠BOC等于()A．130°B．100°C．50°D．65°變式練習(xí)A5．2016咸寧)如圖24-2-47，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BD、BE、CE.若∠CBD=32°，則∠BEC的度數(shù)為________．122°6．如圖24-2-48，在△ABC中，內(nèi)切圓⊙I和邊BC、CA、AB分別切于點(diǎn)D、E、F．

(1)若AB＝6,AC＝8,BC＝10,試求內(nèi)切圓的面積；解：顯然6、8、10是一組勾股數(shù)，則△ABC是直角三角形．∴S△ABC=AB·AC=24．連接BI、AI、CI、FI、EI、DI，則由內(nèi)切圓的性質(zhì)知，IF、ID、IE分別是△ABI、△BCI、△ACI的高，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=·AB·r+·CB·r+·AC·r=r·(AB+BC+AC)=12r．∴12r=24,解得r=2,故⊙I的面積為4π. (2)若∠A＝88°,試求∠EDF的度數(shù)，并探求∠A與∠EDF有何關(guān)系？解：∵⊙I內(nèi)切于△ABC，∴IF⊥AB，IE⊥AC，∴在四邊形AEIF中，∠A＋∠EIF＝180°．而∠EDF是∠EIF所對弧的圓周角，∴∴當(dāng)∠A＝88°時(shí)，有∠EDF＝46°．故兩角之間的關(guān)系為∠EDF＝90°-. (3)△DEF一定是銳角三角形嗎？為什么？解：由(2)知∠EDF=90°-∠A＜90°,則∠EDF一定是銳角．同理可得，△DEF其余兩個(gè)內(nèi)角也是銳角，∴△DEF是銳角三角形．1．△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與各邊相切于點(diǎn)D、E、F，則點(diǎn)O是△DEF的() A．三條中線的交點(diǎn)B．三條高線的交點(diǎn)C．三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)基礎(chǔ)過關(guān)精練D2．(2016荊州)如圖24-2-49，過⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別是A、B，OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是優(yōu)弧上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、CD，若∠APB=80°，則∠ADC的度數(shù)是()A．15° B．20°C．25°D．30°C3．(2016德州)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，問該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)直徑是多少？”

()A．3步B．5步C．6步D．8步C4．如圖24-2-51，O是△ABC的內(nèi)心，過點(diǎn)O作

EF∥AB，與AC、BC分別交于點(diǎn)E、F，則()A．EF＞AE+BFB．EF＜AE+BFC．EF=AE+BFD．EF≤AE+BF【提示】連接OA、OB．∵O是△ABC的內(nèi)心，∴OA、OB分別是∠CAB及∠ABC的平分線，∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF.∴AE=OE，OF=BF，∴EF=AE+BF．C5．(2016株洲)如圖24-2-52，△ABC的內(nèi)切圓的三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F，∠A=75°，∠B=45°，則圓心角∠EOF=__________．120°6．(2016攀枝花)如圖24-2-53，△ABC中，∠C= 90°，AC=3，AB=5，D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為__________．7．如圖24-2-54，在△ABC中，AB=AC，內(nèi)切圓⊙O與邊BC、AC、AB分別切于點(diǎn)D、E、F．

(1)求證：BF=CE；證明:∵AB、AC分別與⊙O相切于點(diǎn)F、E，∴AE=AF.∵AB=AC，∴BF=CE. (2)若∠C=30°，CE=2，求AC的長．解：連接AD.∵AB=AC，BC切⊙O于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，∴AD=AC.∵BC、AC、AB與⊙O分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴CE=CD=2，∴由勾股定理得AD2+DC2=AC2，解得AC=4或AC=-4(不合題意，舍去)，∴AC=4.8．如圖24-2-55，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O相切于點(diǎn)A、B，C是劣弧AB上任意一點(diǎn)，過C作⊙O的切線DE，分別交PA、PB于點(diǎn)D、E.已知△PDE的周長為8，∠DOE=70°，點(diǎn)M、N分別在PB、PA的延長線上，MN與⊙O相切于點(diǎn)F，且DN、EM的長是方程x2-10x+k=0的兩根. (1)求∠P的度數(shù)；解：連接OA、OB、OC.∵PA、DE、PB為⊙O的切線，∴∠PAO=∠DCO=∠PBO=90°，易得∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，∴∠AOB=2∠DOE=140°.又∵∠P+∠AOB=180°,∴∠P=40°. (2)求PA的長；解：∵△PDE的周長=PD+PE+DE=PD+CD+CE+PE=PD+AD+PE+BE=PA+PB=2PA=8，∴PA=4. (3)求四邊形DEMN的周長.解：由切線長定理可知DA=DC，NA=NF，MF=MB，EB=EC.∵DN、EM的長是方程x2-10x+k=0的兩根，∴DN+EM=10，∴四邊形DEMN的周長=DN+DE+ME+MN=DA+DC+NA+NF+MF+MB+EB+EC=2DA+2AN+2BE+2MB=2(DN+ME)=20.9．(2016遵義)如圖24-2-56，矩形ABCD中，AB=4，

BC=3，連接AC，⊙P和⊙Q分別是△ABC和△ADC的內(nèi)切圓，則PQ的長是() A．B．C．D．能力拓展演練B【提示】∵四邊形ABCD為矩形，∴△ACD≌△CAB，∴⊙P和⊙Q的半徑相等．在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，∴AC=5，∴⊙P的半徑r==1．連接PQ，過點(diǎn)Q作QE∥BC，過點(diǎn)P作PE∥AB交QE于點(diǎn)E，則∠QEP=90°，如圖所示．在Rt△QEP中，QE=BC-2r=1，EP=AB-2r=2，∴PQ=10．在△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AIB的度數(shù)是___________．135°【提示】如圖，∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC=90°,∴∠BAC+∠ACD=90°.又∵I為△ACD的內(nèi)切圓圓心，∴AI、CI分別是∠BAC和∠ACD的平分線，∴∠IAC+∠ICA=45°，∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI，∴△AIB≌△AIC(SAS)，∴∠AIB=∠AIC=135°．11．如圖24-2-57，已知AB為⊙O的直徑，

AB=2，AD和BE是⊙O的兩條切線，

A、B為切點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)C作⊙O的 切線CF，分別交AD、BE于點(diǎn)M、N，連接AC、CB，若∠ABC=30°，則AM=__________．12．如圖24-2-58①，直線y=-x+3與x