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第四章函數(shù)逼近一、函數(shù)逼近之范數(shù)問(wèn)題:如何度量?jī)蓚€(gè)函數(shù)之間的距離?
二、函數(shù)逼近之生成的線性空間
注:該線性空間上的加法和數(shù)乘運(yùn)算,即為通常的函數(shù)加法和數(shù)乘運(yùn)算!三、函數(shù)逼近之最佳逼近問(wèn)題
范數(shù)(距離)最小三、函數(shù)逼近之最佳逼近問(wèn)題
四、函數(shù)逼近之正交多項(xiàng)式
注:
3)同樣兩個(gè)函數(shù)在不同內(nèi)積下,通常取值不同。四、函數(shù)逼近之正交多項(xiàng)式
四、函數(shù)逼近之正交多項(xiàng)式
內(nèi)積的性質(zhì):
四、函數(shù)逼近之正交多項(xiàng)式
注:正交與內(nèi)積的定義有關(guān),例如
不正交正交四、函數(shù)逼近之正交多項(xiàng)式
四、函數(shù)逼近之正交多項(xiàng)式
常見(jiàn)的正交多項(xiàng)式:勒讓德正交多項(xiàng)式;切比雪夫正交多項(xiàng)式;拉蓋爾正交多項(xiàng)式;埃爾米特正交多項(xiàng)式。四、函數(shù)逼近之正交多項(xiàng)式勒讓德(Legendre)切比雪夫(Chebyshev)權(quán)1區(qū)間通項(xiàng)正交遞推奇偶其它四、函數(shù)逼近之正交多項(xiàng)式拉蓋爾(Laguerre)埃爾米特(Hermite)權(quán)區(qū)間通項(xiàng)正交遞推奇偶其它四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近問(wèn)題:如何求最佳一致逼近多項(xiàng)式?
偏差:
正偏差點(diǎn):
負(fù)偏差點(diǎn):
何謂切比雪夫交錯(cuò)點(diǎn)?偏差點(diǎn)四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近問(wèn)題:如何求最佳一致逼近多項(xiàng)式?
交錯(cuò)點(diǎn):
切比雪夫交錯(cuò)點(diǎn):
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近問(wèn)題:如何求最佳一致逼近多項(xiàng)式?
該定理給出最佳一致逼近多項(xiàng)式的充要條件,但一般情況下還是很難根據(jù)該定理求解最佳一致逼近多項(xiàng)式。
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
由于該函數(shù)連續(xù),故取極值的點(diǎn)只有兩種可能:該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零,或是區(qū)間端點(diǎn)。四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
分析:
因此導(dǎo)函數(shù)取值為零的點(diǎn)最多只有一個(gè)。
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
解之得
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
分析:故
解之得四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
分析:故
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
計(jì)算中點(diǎn);四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
解.
四、函數(shù)逼近之最佳一致逼近
解.
四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近
四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近
注:
等價(jià)于求
四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近
則原問(wèn)題就可歸結(jié)為計(jì)算多元函數(shù)的極小值
四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近由多元函數(shù)取極值的必要條件:可得線性方程組
四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近其矩陣形式為
注:該線性方程組稱為法方程。
四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近
以法方程的解作為線性組合的系數(shù),得
四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近
則
這兩個(gè)積分比較復(fù)雜,在下一章將學(xué)習(xí)利用數(shù)值積分來(lái)近似計(jì)算!四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近
解.法方程為
所以線性最佳平方逼近多項(xiàng)式為
解之得
四、函數(shù)逼近之最佳平方逼近
解.法方程為
所以線性最佳平方逼近多項(xiàng)式為
四、函數(shù)逼近之最小二乘法若已知連續(xù)函數(shù)的表達(dá)式,則利用最佳平方逼近構(gòu)造簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)逼近。
四、函數(shù)逼近之最小二乘法可以證明最小二乘逼近函數(shù)是存在且唯一的。
四、函數(shù)逼近之最小二乘法
0.240.650.951.241.732.012.232.522.772.990.23
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