《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 空間幾何體的表面積與體積課件

第四十四講空間幾何體的表面積與體積回歸課本1.柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和,表面積是各個(gè)面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和.2.把柱體、錐體、臺(tái)體的面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形,稱(chēng)為它的展開(kāi)圖,它的表面積就是展開(kāi)圖的面積.3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積及表面積S圓柱側(cè)=2πrl,S柱=2πr(r+l);S圓錐側(cè)=πrl,S錐=πr(r+l);S圓臺(tái)側(cè)=π(r′+r)l,S臺(tái)=π(r′2+r2+r′l+rl).4.柱、錐、臺(tái)體的體積V長(zhǎng)方體=abc,V正方體=a3,V柱=Sh,V錐= ,V臺(tái)=

(S′+S+ )h.這是柱體?錐體?臺(tái)體統(tǒng)一計(jì)算公式,特別的圓柱?圓錐?圓臺(tái)還可以分別寫(xiě)成:V圓柱=πr2h,V圓錐=πr2h,V圓臺(tái)=πh(r′2+r′r+r2).5.球的體積及球的表面積設(shè)球的半徑為R,V球=πR3,S球=4πR2.考點(diǎn)陪練答案:D2.圓臺(tái)上、下底面面積分別是π、4π,側(cè)面積是6π,這個(gè)圓臺(tái)的體積是()答案:D3.用與球心距距離為1的平面去截截球,所得的截面面面積為π,則球的體積積為()答案:B4.(2010·廣州一模)如果一個(gè)幾幾何體的三三視圖如下下圖所示(單位長(zhǎng)度:cm),則此幾何體體的表面積積是()A.(80+16)cm2B.96cm2C.(96+16)cm2D.112cm2解析:將幾何體還還原,如圖:該幾何體是是由邊長(zhǎng)為為4的正方體和和一個(gè)底面面邊長(zhǎng)為4高為2的正四棱錐錐構(gòu)成的,在正四棱錐錐中,可得四棱錐的表表面積為S1=4×××4×正方體除去去一個(gè)面的的表面積為為S2=5×42=80,所以此幾何何體的表面面積答案:A5.(2010·山東臨沂二二模)有一個(gè)正三三棱柱,其三視圖如如圖,則其體積等等于()解析:由圖知該幾何何體為底面為為正三角形的的三棱柱,底面三角形高高為2,三棱柱的高為為故故體體積為答案:D類(lèi)型一 棱柱柱?棱錐?棱臺(tái)的表面積積?體積解題準(zhǔn)備:求解有關(guān)多面面體表面積問(wèn)問(wèn)題的關(guān)鍵是是利用幾何圖圖形的性質(zhì)找找到其特征幾幾何圖形,從而體現(xiàn)出高高、斜高、邊邊長(zhǎng)等幾何元元素間的關(guān)系系,如棱柱的矩形形、棱錐中的的直角三角形形、棱臺(tái)中的的直角梯形等等.1.柱體、錐體、、臺(tái)體的體積積公式之間的的關(guān)系,可表示為2.解決不規(guī)則幾幾何體的問(wèn)題題應(yīng)注意應(yīng)用用以下方法:(1)幾何體的“分割”依據(jù)已知幾何何體的特征,將其分割成若若干個(gè)易于求求體積的幾何何體,進(jìn)而求解.(2)幾何體的“補(bǔ)形”有時(shí)為了計(jì)算算方便,可將幾何體補(bǔ)補(bǔ)成易求體積積的幾何體,如長(zhǎng)方體、正正方體等.【典例1】如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E?F分別為AB?AC的中點(diǎn),平面EB1C1將三棱柱分成成體積為V1?V2的兩部分,那么V1：V2=________.[解析]設(shè)三棱柱的高高為h,上下底的面積積為S,體積為V,則V=V1+V2=Sh.∵E?F分別為AB?AC的中點(diǎn),[答案]7：5.類(lèi)型二 圓柱柱、圓錐、圓圓臺(tái)的表面積積、體積解題準(zhǔn)備:1.圓柱、圓錐、、圓臺(tái)的側(cè)面面積分別是它它們側(cè)面展開(kāi)開(kāi)圖的面積,因此弄清側(cè)面面展開(kāi)圖的形形狀及側(cè)面展展開(kāi)圖中各線線段與原幾何何體的關(guān)系是是掌握它們的的面積公式及及解決相關(guān)問(wèn)問(wèn)題的關(guān)鍵.2.計(jì)算柱體、錐錐體、臺(tái)體的的體積關(guān)鍵是是根據(jù)條件找找出相應(yīng)的底底面面積和高高,要充分利用多多面體的截面面及旋轉(zhuǎn)體的的軸截面,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)問(wèn)題.【典例2】已知底面半徑徑為,母線長(zhǎng)為的的圓柱柱,挖去一個(gè)以圓圓柱上底面圓圓心為頂點(diǎn),下底面為底面面的圓錐,求所得幾何體體的表面積和和體積.[解]如圖,圓柱一個(gè)底面面的面積為S底=πr2=π?()2=3π(cm3).圓柱側(cè)面面積積為:S柱側(cè)=2π×ππ(cm2).所挖圓錐的母母線長(zhǎng)為=3(cm).類(lèi)型三 球的的表面積、體體積解題準(zhǔn)備:球的表面積與與體積都只與與半徑R有關(guān),是以R為自變量的函函數(shù),一個(gè)球的半徑徑給定,它的表面積、、體積隨之確確定,反過(guò)來(lái),給定一個(gè)球的的表面積或體體積,這個(gè)球的半徑徑也就確定了了.【典例3】如圖,正三棱錐的高高為1,底面邊長(zhǎng)為內(nèi)內(nèi)有一個(gè)球與與它的四個(gè)面面都相切.求:(1)棱錐的全面積積;(2)內(nèi)切球的表面面積與體積.(2)設(shè)正三棱錐P—ABC的內(nèi)切球球心心為O,連接OP?OA??OB?OC,而O點(diǎn)到三棱錐的的四個(gè)面的距距離都為球的的半徑r.∴VP—ABC=VO—PAB+VO—PBC+VO—PAC+VO—ABC類(lèi)型四由由幾何體的三三視圖求幾何何體的表面積積與體積解題準(zhǔn)備:已知空間幾何何體的三視圖圖求表面積?體積是高考考考查的熱點(diǎn),對(duì)三視圖的應(yīng)應(yīng)用是解題的的關(guān)鍵.主要體現(xiàn)在以以下兩個(gè)方面面的應(yīng)用:一是數(shù)據(jù)的給給出,通過(guò)三視圖的的長(zhǎng)?寬?高對(duì)應(yīng)出空間間幾何體的相相關(guān)長(zhǎng)?寬?高,從而求表面積積和體積,但是要注意三三視圖中的數(shù)數(shù)據(jù)與原幾何何體中的數(shù)據(jù)據(jù)不一定一一一對(duì)應(yīng),識(shí)圖時(shí)注意甄甄別.二是揭示空間間幾何體的結(jié)結(jié)構(gòu)特征.包括幾何體的的形狀,平行垂直等結(jié)結(jié)構(gòu)特征,這些正是數(shù)據(jù)據(jù)運(yùn)算的依據(jù)據(jù).【典例4】一幾何體按比比例繪制的三三視圖如圖所所示(單位:m):(1)試畫(huà)出它的直直觀圖;(2)求它的表面積積和體積.[分析]由三視圖,正確的畫(huà)出幾幾何體的直觀觀圖,確定幾何體中中線段的位置置關(guān)系及數(shù)量量關(guān)系.[解](1)直觀圖如圖所所示.(2)解法一:由三視圖可知知該幾何體是是長(zhǎng)方體被截截去一個(gè)角,且該幾何體的的體積是以A1A,A1D1,A1B1為棱的長(zhǎng)方體體的體積的在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1,則AA1EB是正方形,∴AA1=BE=1在Rt△BEB1中,BE=1,EB1=1∴BB1=∴幾何體的表面面積S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+2×××(1+2)×1+1×+1+1×2=7+(m2).∴幾何體的體積積V=××1×2×1=(m3),∴該幾何體的表表面積為(7+)m2,體積為m3.解法二:幾何體也可以以看作是以AA1B1B為底面的直四四棱柱,其表面積求法法同解法一,V直四棱柱D1C1CD—A1B1BA=Sh=××(1+2)×1×1=(m2).∴幾何體的表面面積為(7+)m2,體積為m3.[反思感悟](1)由三視圖畫(huà)幾幾何體的直觀觀圖,掌握“長(zhǎng)對(duì)正正、寬相等,高平齊”的規(guī)規(guī)則,是確定幾何體體特征的關(guān)鍵鍵.(2)把不規(guī)則幾何何體分割成幾幾個(gè)規(guī)則幾何何體或者是補(bǔ)補(bǔ)上一部分使使之成為規(guī)則則幾何體,是求不規(guī)則幾幾何體常用方方法.錯(cuò)源一 問(wèn)題題考慮不全【典例1】是否存在這樣樣的球,在該球內(nèi)有距距離為3的兩個(gè)平行截截面且截面的的面積分別為為5π和8π?若存在,求出球面的表表面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.[錯(cuò)解]假設(shè)存在滿(mǎn)足足題意的球,過(guò)圓心與截面面的圓心作球球的軸截面,如圖.圓O是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個(gè)平平行截面圓的的直徑,C1,C2分別是兩個(gè)截截面圓的圓心心,設(shè)兩截面圓的的半徑分別為為r1,r2,(r1>r2),由題意可得又又此方程無(wú)解,所以滿(mǎn)足題意意的球不存在在.[剖析]錯(cuò)解只考慮了了兩個(gè)平行截截面都在球心心同一側(cè)的情情形,事實(shí)上兩個(gè)平平行截面不一一定都在球心心的同一側(cè).[正解]假設(shè)存在滿(mǎn)足足題意的球.(1)如果兩個(gè)平行行截面都在球球心的同一側(cè)側(cè),則解法同錯(cuò)解解.(2)如果兩個(gè)平行行截面在球心心兩側(cè),過(guò)圓心與截面面的圓心作球球的軸截面,如圖.圓O是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個(gè)平平行截面圓的的直徑,C1,C2分別是兩個(gè)截截面圓的圓心心,設(shè)兩截面圓的的半徑分別為為r1,r2(r1<r2).由題意可得又又解得R2=9,所以球的表面面積S=4πR2=36π.綜上可得,存在滿(mǎn)足題意意的球,該球的表面積積為36π.錯(cuò)源二 對(duì)三三視圖的形成成認(rèn)識(shí)不清【典例2】設(shè)某幾何體的的三視圖如圖圖(尺寸的長(zhǎng)度單單位為m).則該幾何體的的體積為_(kāi)_______m3.[錯(cuò)解]該幾何體為三三棱錐,底面為腰為4,底為3的等腰三角形形,高為2.∴[剖析]把正視圖看成成三棱錐的一一個(gè)面造成誤誤解.三視圖中的每每一個(gè)視圖都都是整個(gè)幾何何體在某一屏屏幕上的投影影,不一定是某個(gè)個(gè)面留下的投投影.這類(lèi)問(wèn)題不能能孤立的分析析某一視圖.[正解]由三視圖可知知原幾何體是是一個(gè)三棱錐錐,由“長(zhǎng)對(duì)正,寬相等,高平齊”的原則可知三三棱錐的高為為2,底面三角形的的底邊長(zhǎng)為4,高為3,則所求棱錐的的體積為V=××3×4×2=4.[答案]4技法一 等積積轉(zhuǎn)化思想方方法【典例1】如圖,一個(gè)三棱柱容容器中盛有水水,且側(cè)棱AA1=8,若AA1B1B水平放置時(shí),液面恰好過(guò)AC,BC,A1C1,B1C1的中點(diǎn),則當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí),液面的高為多多少?[解]當(dāng)AA1B1B水平放置時(shí),縱截面中水的的面積占1-所以水的體積積與三棱柱體體積比為當(dāng)當(dāng)?shù)酌婷鍭BC水平放置時(shí),液面高度為8×=6.[方法與與技巧巧]容器中中水的的體積積不會(huì)會(huì)減少少,運(yùn)用等等積思思想可可不用用計(jì)算算體積積,而通過(guò)過(guò)體積積比進(jìn)進(jìn)而化化為高高度比比.技法二二巧巧解三三棱錐錐的體體積【典例2】已知正正三棱棱錐P—ABC的三條條側(cè)棱棱兩兩兩垂直直,側(cè)棱長(zhǎng)長(zhǎng)都等等于a,如圖1,求此三三棱錐錐的體體積.[解]解法一一:設(shè)頂點(diǎn)點(diǎn)P在底面面ABC上的射射影為為O,則O為△ABC的中心心,連接CO延長(zhǎng)交交AB于M,連接PM,則CM⊥⊥AB且M為AB的中點(diǎn)點(diǎn).在△ABC中,易求得得解法二二:轉(zhuǎn)換三三棱錐錐頂點(diǎn)點(diǎn),如圖2.因?yàn)锳P⊥⊥PB⊥PC,所以三三棱錐錐A—PBC的高為為PA,底面△△PBC為直角角三角角形.所以VP—ABC=VA—PBC=·S△PBC·AP解法三三:由三棱棱錐PA⊥⊥PB⊥PC,易聯(lián)想想到以以PBC為底面面可以以補(bǔ)成成三棱棱柱AB′′C′′-PBC,如圖3,它與三三棱錐錐A—PBC的高均均為AP,底面為為△PBC,易知錐錐體的的體積積是與與其等等底等等高的的柱體體體積積的[方法與與技巧巧