《高考調(diào)研》高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第十章《直線、平面、簡單幾何體A》課件10A4

一、直線與平面垂直1．判定定理(1)如果一條直線和一個平面內(nèi)的

，那么這條直線垂直于這個平面．用數(shù)學(xué)符號表示為：

.(2)如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么

．2．性質(zhì)：同垂直于一個平面的

平行．兩條相交直線都垂直已知m?α，n?α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n，則l⊥α另一條也垂直于這個平面兩條直線二、三垂線定理及其逆定理1．三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線和

垂直，那么它就和這條斜線垂直．2．逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的

垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直．三、兩個平面互相垂直1．判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的

，那么這兩個平面互相垂直．2．性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么

垂直于另一個平面．平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影一條斜線垂線在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線1．(2011·衡水調(diào)研)設(shè)b、c表示兩條直線，α、β表示兩個平面，下列命題中真命題是(

)A．若b?α，c∥α，則b∥c

B．若b?α，b∥c，則c∥αC．若c∥α，c⊥β，則α⊥β

D．若c∥α，α⊥β，則c⊥β答案

C解析如果一條直線平行于一個平面，它不是與平面內(nèi)的所有直線平行，只有部分平行，故A錯；若一條直線與平面內(nèi)的直線平行，該直線不一定與該平面平行，該直線可能是該平面內(nèi)的直線，故B錯；如果一個平面與另一個平面的一條垂線平行，那么這兩個平面垂直，這是一個真命題，故C對；對D來講若c∥α，α⊥β，則c與β的位置關(guān)系不定，故選C.2．設(shè)α，β，γ是三個互不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是(

)A．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γB．若α∥β，m?β，m∥α，則m∥βC．若α⊥β，m⊥α，則m∥βD．若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n答案

B解析選項A中平面α，γ可以是斜交，也可以是平行；選項C中直線m可在β內(nèi)；選項D中的直線m，n可以是斜交、平行，還可以是異面；選項B正確．3．(2010·浙江，理)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是(

)A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m答案

B解析根據(jù)定理：兩條平行線中的一條垂直于另一個平面，另一條也垂直于這個平面知B正確．4．(2011·合肥第一次質(zhì)檢)設(shè)α、β、γ為彼此不重合的三個平面，l為直線，給出下列命題：①若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，則l⊥γ；③若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α垂直；④若α內(nèi)存在不共線的三點到β的距離相等，則平面α平行于平面β.上面命題中，真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)．答案

①②5．如圖圖，在在空間間四邊邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分別為為CD、DA和AC的中點點．求證：：平面面BEF⊥平面BGD.證明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中點點，∴BG⊥AC，DG⊥AC，BG∩DG＝G，∴AC⊥平面BGD.又E，F(xiàn)分別為為CD，DA的中點點，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.∵EF?平面BEF，∴平面BGD⊥平面BEF.題型一異面直線互互相垂直的的判定例1在正三棱柱柱ABC－A1B1C1中，若AB1⊥BC1.求證：AB1⊥CA1【證明】取A1B1中點O1.連結(jié)C1O1，O1B，則C1O1⊥A1B1在正三棱柱柱中，平面面ABB1A1⊥平面A1B1C1∴C1O1⊥平面ABB1A1∵AB1⊥BC1∴AB1⊥O1B取AB中點O.連結(jié)A1O、OC則CO⊥平面ABB1A1且A1O∥O1B∴AB1⊥A1O∴AB1⊥CA1探究1證明直線與與直線垂直直常常用三三垂線定理理思考題1如圖，△ABC所在平面α外一點P，已知PA⊥BC，PB⊥AC，求證：(1)P在平面α內(nèi)的射影是是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.【證明】(1)作PO⊥平面α于O點，連接AO，并延長交交BC于D，連接BO并延長交AC于E.∵PA⊥BC，∴BC⊥AD(三垂線定理理逆定理)．同理，AC⊥BE，∴O為△ABC的垂心．(2)連接OC，∵O為△ABC的垂心，∴AB⊥CO.又∵PO⊥平面α，∴AB⊥PC(三垂線定理理)．題型二線面垂直例2如圖，已知知PA⊥矩形ABCD所在平面，，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.(2)∵∠∠PDA＝45°°，PA⊥AD，∴AP＝AD，∵ABCD為矩矩形形．．∴AD＝BC，∴PA＝BC，又∵M為AB的中中點點，，∴AM＝BM，而∠PAM＝∠CBM＝90°°，∴PM＝CM，又又N為PC的中中點點，，∴MN⊥PC，由(1)知MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面面PCD.探究究2證線線面面垂垂直直的的方方法法有有：：(1)利用用判判定定定定理理，，它它是是最最常常用用的的思思路路．．(2)利用用線線面面垂垂直直的的性性質(zhì)質(zhì)：：兩兩平平行行線線之之一一垂垂直直于于平平面面，，則則另另一一條條線線必必垂垂直直于于該該平平面面．．(3)利用用面面面面垂垂直直的的性性質(zhì)質(zhì)：：①兩平平面面互互相相垂垂直直，，在在一一個個面面內(nèi)內(nèi)垂垂直直于于交交線線的的直直線線垂垂直直于于另另一一平平面面．．②兩相相交交平平面面都都垂垂直直于于第第三三個個平平面面，，則則它它們們的的交交線線垂垂直直于于第第三三個個平平面面．．思考考題題2如圖圖，，已已知知矩矩形形ABCD，過過A作SA⊥平面面AC，再再過過A作AE⊥SB交SB于E，過過E作EF⊥SC交SC于F.(1)求證證：：AF⊥SC；(2)若平平面面AEF交SD于G.求證證：：AG⊥SD.【證明明】(1)∵SA⊥平面面AC，BC?平面面AC，∴SA⊥BC.∵ABCD為矩矩形形，，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A，∴BC⊥平面面SAB.又∵AE?平面面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面面SBC.又∵SC?平面面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF.又∵AF?平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC?平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD，又AG?平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，∴SC⊥AG且SC∩CD＝C，∴AG⊥平面SDC，又SD?平面SDC，∴AG⊥SD.題型三面面垂直例3(1)△ABC為正三角形，，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證證：①DE＝DA；②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.(2)已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC.AE⊥平面PBC，E為垂足．①求證：PA⊥平面ABC；②當(dāng)E為△PBC的垂心時，求求證：△ABC是直角三角形形．【思路分析】已知條件“平面PAB⊥平面ABC，……”，想到面面垂垂直的性質(zhì)定定理，便有如如下解法．【證明】①在平面ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.又PA?平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可證：DG⊥PA.DG、DF都在平面ABC內(nèi)，∴PA⊥平面ABC.②連結(jié)BE并延長交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂線，PC?平面PBC，∴PC⊥AE.又BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角角三角角形．．探究3由(1)應(yīng)掌握握證明明兩平平面垂垂直常常轉(zhuǎn)化化為線線面垂垂直，，利用用判定定定理理來證證明．．也可可作出出二面面角的的平面面角，，證明明平面面角為為直角角，利利用定定義來來證明明．由(2)已知兩兩個平平面垂垂直時時，過過其中中一個個平面面內(nèi)的的一點點作交交線的的垂線線，則則由面面面垂垂直的的性質(zhì)質(zhì)定理理可得得此直直線垂垂直于于另一一個平平面，，于是是面面面垂直直轉(zhuǎn)化化為線線面垂垂直，，由此此得出出結(jié)論論：兩兩個相相交平平面同同時垂垂直于于第三三個平平面，，則它它們的的交線線也垂垂直于于第三三個平平面．．②的關(guān)鍵鍵是靈靈活利利用①題的結(jié)結(jié)論．．思考題題3如圖所所示，，在斜斜三棱棱柱A1B1C1－ABC中，底底面是是等腰腰三角角形，，AB＝AC，側(cè)面面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點點，求求證：：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面面BB1C1C的對角角線BC1的平面面交側(cè)側(cè)棱于于M，若AM＝MA1，求證證：截截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；(3)AM＝MA1是截面面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C的充要要條件件嗎？？請你你敘述述判斷斷理由由．【證明】(1)∵AB＝AC，D是BC的中點點，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C，且且交交線線為為BC，∴由面面面面垂垂直直的的性性質(zhì)質(zhì)定定理理可可知知AD⊥側(cè)面面BB1C1C.又∵CC1?側(cè)面面BB1C1C，∴AD⊥CC1.由(1)知AD⊥面BB1C1C，∴ME⊥側(cè)面面BB1C1C，又∵ME?面BMC1，∴面BMC1⊥側(cè)面面BB1C1C.方法法二二延長長B1A1與BM交于于N(在側(cè)側(cè)面面AA1B1B中)，連連結(jié)結(jié)C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.又∵AB＝AC，由由棱棱柱柱定定義義知知△ABC≌A1B1C1.∴AB＝A1B1，AC＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1在△B1C1N中，，由由平平面面幾幾何何定定理理知知：：∠NC1B1＝90°°，即即C1N⊥B1C1.又∵側(cè)面面BB1C1C⊥底面面A1B1C1，交交線線為為B1C1，∴NC1⊥側(cè)面面BB1C1C.又∵NC1?面BNC1，∴截面面C1NB⊥側(cè)面面BB1C1C，即截截面面MBC1⊥側(cè)面面BB1C1C.(3)結(jié)論論是是肯肯定定的的，，充充分分性性已已由由(2)證明明．．下面面僅僅證證明明必必要要性性(即由由截截面面BMC1⊥側(cè)面面BB1C1C推出出AM＝MA1，實實質(zhì)質(zhì)是是證證明明M是AA1的中中點點)，過M作ME1⊥BC1于E1.∵截面面MBC1⊥側(cè)面面BB1C1C，交交線線為為BC1.∴ME1⊥面BB1C1C，又又由由(1)知AD⊥側(cè)面面BB1C1C，∵垂直直于于同同一一個個平平面面的的兩兩條條直直線線平平行行，，∴AD∥ME1，∴M、E1、D、A四點點共共面面．．又∵AM∥側(cè)面面BB1C1C，題型型四四平行行與與垂垂直直的的綜綜合合問問題題例4(2010··遼寧寧卷卷，，文文)如圖圖，，棱棱柱柱ABC－A1B1C1的側(cè)側(cè)面面BCC1B1是菱形，，B1C⊥A1B.(1)證明：平平面AB1C⊥平面A1BC1；