立體幾何專題-空間角

立體幾何專題：空間角第一節(jié)：異面直線所成的角一、基礎知識1.定義： 直線a、b是異面直線，經過空間一交 o，分別a?//a，b?//b，相交直線 a?b?所成的銳角（或直角）叫做 。2.圍： 0,23.方法： 平移法、問量法、三線角公式（1）平移法：在圖中選一個恰當?shù)狞c（通常是線段端點或中點）作 a、b的平行線，構造一個三角形，并解三角形求角。2）向量法：可適當選取異面直線上的方向向量，利用公式求出來

abcos cos a,bab方法1：利用向量計算。選取一組基向量，分別算出 ab，a，b代入上式方法2：利用向量坐標計算，建系，確定直線上某兩點坐標進而求出方向向量a(x1,y1,z1)b(x2,y2,z2)cosx1x2y1y2z1z2x12y12z12x22y22z22（3）三線角公式用于求線面角和線線角P斜線和平面的直線與斜線的射影所成角的余弦之積等于斜a線和平面的直線所成角的余弦A1c即：cos1coscos2O2Bb二、例題講練D1C1例1、（2007年全國高考）如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B1AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為例2、在長方體ABCD-A1111中，已知a，1，BCDAB=BC=b(ab),AA=cC求異面直線D1B和AC所成的角的余弦值。D1C1D方法一：過B點作AC的平行線（補形平移法）AB方法二：過AC的中點作BD1平行線A1B1方法三：（向量法）DCOBA例3、已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，AB//DC，DAB90,PA底面ABCD，且PAADDC11，M是PB的中點，AB2（Ⅰ）證明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角；例4、 如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為矩形，側棱 PA 底面ABCD，AB 3，BC 1，PA 2， E為PD的中點 求直線AC與PB所成角的余弦值；訓練題1.體的12條棱和12條面對角線中，互相異面的兩條線成的角大小構成的集合是。2.體AC1中，O是底面ABCD的中心，則OA1和BD1所成角的大小為。3.已知l為異面直線a與b的公垂線，點pa，若a、b間距離為2，點P到l的距離為2，5，則異面直線A'NP到b的距離為a與b所成的角為。C1M4.如圖正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=2AA1，M、N分別是AB，AC的中點，則AM與CN所成角為。1111如圖PD平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，AB=2AD=2DP，E為CD中點。（1）AP與BE所成的角為

PAC（2）若F 直線PD，且AF與BE所成角為=30?行嗎？

D E

BCDF2. =75?時； = 。DPA B6.空間四邊形 ABCD中，對角線 AC，BD與各邊長均為 1，O為 BCD的重心，M是AC的中點，E是AO的中點，求異面直線 OM與BE所成的角 。7.空間四邊形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120?，ABCD，M、N分別是中點（1）AC和BD所成的角為。（2）MN與BC所成的角為。D1C18.已知正方體AC1中，EF（1）E、F分別是A1D1，A1C1的中點，A1B1則AE與CF所成的角為（2）M、N分別是AA1，BB1的中點，則CM和D1N所成的角是。MNDCOAB9、如圖，三棱錐P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB．(I)求證：AB平面PCB；(II)求異面直線AP與BC所成角的大小；（）3第二節(jié)、直線和平面所成的角一、基礎知識1.定義：（①斜線和平面所成的角②垂線與平面所成的角③2.直線與平面所成角圍是 。

l 或l// ）3.斜線與平面所成的角是此斜線與平面所有直線所成角中最小的角。 （最小值定理）4.求法： 幾何法 公式法 問量法1）幾何法：作出斜線與射影所成的角，論證所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。（2）公式法： cos

cos

1

cos1 cos2coscos

2AB 于點B, AOB , AOC 1, BOC 2（即：與斜線射影所成的兩角的余弦的積等于斜線和平面的直線所成角的余弦值）（3）向量法：設直線a與平面所成角為，直線a的方向向量與面的法向量分別是m,n,則m,n的余角或其補角的余角即為a與所成的角，sincosm,nmnmnm n二、例題講解例1、在長方體AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD與面ABC1D1所成的角2）A1C與平面ABC1D1所成的角3）A1C與平面BC1D所成的角例2、四面體ABCD中，所有棱長都相等，M為AD的中點，求CM與平面BCD所成角的余弦值。例3、四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC底面ABCD．已知∠ABC45o，AB2，BC22，SASB3．S（Ⅰ）證明SABC；（Ⅱ）求直線 SD與平面SAB所成角的大?。瓹BD AL2例4、如圖,l1,l2是互相垂直的異面直線，M、N分別在l1,l2上，且MNl1，MNCl2，點AB在l1上，C在l2上，AM=MB=MN。L11）證明：ACNB2）若ABC=60?，求NB與平面ABC所成角的余弦值。

NAMB訓練題1、（2008年高考全國卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC的射影為三角形ABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的正弦值等于2、（2008高考）如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中點。求直線DE與平面ABCD所成角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）.D1C1A1B1EDCAB3、過點P作平面 的兩條斜線段 PA和PB，則PA=PB是斜線PA和PB與平面 成等角的條件。4、如圖所示， BOC在平面 ，OA是 的斜線， AOB= AOC=60?，OA=OB=OC=a，BC= 2a，求OA和平面 所成的角的大小。5、如圖，已知正方形 ABCD，SA 現(xiàn)面ABCD，且SA=AB，M、N分別為SB、SD的中點，求SC和平面AMN所成的角SNMADBC第6題圖第7題圖6、給出下列命題，其中正確命題序號是。（1）若PA、PB、PC與平面成等角，則迠P在平面上的射影O是ABC的外心（2）已知直線上l與平面所成角是，直線a是與l異面的任一直線，則l與平面所4成角圍是(3)在三棱錐 P-ABC中，若二面角 P-AB-C，P-BC-A，P-CA-B，大小相等，則點 P在平面ABC上射影O是 ABC心。（4）坡度為 的斜坡，有一條與坡腳水平線成 30?的小道，若沿小道每前進 100m，高度就上升25m,那么此坡坡度為 30?。7、如圖，在三棱錐VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且ACBCa，VDC0πV．（I）求證：平面VAB⊥VCD；2（II）試確定的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為。C6（Ⅲ）當解變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值圍．BD第三節(jié)平面與平面所成的角A一、基礎知識1.定義：二面角:由一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角平面角：過棱上同一點分別位于二面角的兩個面， 且與棱同時垂直的兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值圍是 .注:二面角是空間圖形，平面角是平面圖形。在書寫時不要寫成 ” AOB為所求二面角”，而應寫成” AOB為二面角 l 的平面角”。2.求法：幾何法 向量法 公式法（1）幾何法：作出二面角的平面角，再求解，常見的有作法圖形在棱CD上找一點O，在兩個面分別作定義法棱的垂線AO,BOAOB為二面角CD的平面角過棱上一點O作棱的垂直平面與兩垂面法個半平面的交線分別為AOBOAOB為CD的平面角三垂線法過B一點A，作AB交于B，作BOCD于O，連結AO,AOB的CD平面角或其補角（2）向量法：①分別求出和的法向量m,n，則二面角l的大小為m,n或—m,n用此法須知：1〉需建空間直角坐標系，定準相應點的坐標2〉通常容易找到一個面的法向量，只需通過二次垂直，求另一個平面的法向量〈3〉當l為銳角時m,n（m,n為銳角）或—m,n（m,n為鈍角）②在平面ACEF在平面，BDEF，且BEF分別求出AC,BD，則AC,BDAEF即為二面角EF的大小（3）公式法：l①