2020年全國(guó)卷Ⅲ高考數(shù)學(xué)試題文檔版(理科)

11112020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A={(x,y)lx,ygN*,y>x},B={(x,y)1x+y=8},則AB中元素的個(gè)數(shù)為()nA.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】采用列舉法列舉出AB中元素的即可.fy>x【詳解】由題意，AB中的元素滿足\q,且x,ygN*，[x+y二8n由x+y二8>2x，得x<4，所以滿足x+y-8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)故AB中元素的個(gè)數(shù)為4.故選:C.點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.2?復(fù)數(shù)土的虛部是(A.310C.10A.310C.10D.310答案】D解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z即可.TOC\o"1-5"\h\z11+3i13.【詳解】因?yàn)闉?匚金=(1_3i)(1+3i)=10+10i，13所以復(fù)數(shù)z二的虛部為喬.1_3i10故選：D.【點(diǎn)晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部的定義，是一道基礎(chǔ)題.3.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為匕，P2,P3,匕，且24P=1，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)1234ii=1樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A.p=p=0.1,p1A.p=p=0.1,p1420.4B.p=p=0.4,p=p=0.11423C.p=p=0.2,p=p1423=0.3D.p=p=0.3,p=p=0.21423答案】B【解析】【分析】計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為r=(1+4)x0.1+(2+3)x0.4=2.5，A方差為s2=(1_2.5)2x0.1+(2_2.5)2x0.4+(3_2.5)2x0.4+(4_2.5)2x0.1=0.65；A對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=(1+4)x0.4+(2+3)x0.1=2.5，B方差為s2=(1_2.5)2x0.4+(2_2.5)2x0.1+(3_2.5)2x0.1+(4_2.5)2x0.4=1.85；B對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=(1+4)x0.2+(2+3)x0.3=2.5，C方差為s2=(1_2.5)2x0.2+(2_2.5)2x0.3+(3_2.5)2x0.3+(4_2.5)2x0.2=1.05；C對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=(1+4)x0.3+(2+3)x0.2=2.5，D方差為s2=(1_2.5)2x0.3+(2_2.5)2x0.2+(3_2.5)2x0.2+(4_2.5)2x0.3=1.45.D因此，B選項(xiàng)這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.4.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I（累計(jì)確診病例數(shù)I（t）（t的單位：天）的Logistic模型：I（t）=1+e—0?23（t-53），其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I（t*）=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（lnl9A.60B.63C.66D.69A.60B.63C.66D.69【答案】C解析】分析】將t=t*代入函數(shù)1（?=人1+eZ-53）結(jié)合將t=t*代入函數(shù)1（?=人詳解】K°.95K，則幺0.23（*-53）=19,1+e-0.23（t—53）1+e-0.23,*-53/所以，0,23C*-53）=ln19&3，解得Z島+53"66故選：C.點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：：2=2px（p>0）交于D，E兩點(diǎn)，若OD丄OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）1A.（41A.（4，0）B.（2，0）2C.（1，0）D.（2，0）答案】B解析】分析】兀根據(jù)題中所給的條件OD丄OE，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知ZCOx=ZCOx=-，從而可以確定出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入方程求得p的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€x=2與拋物線y2=2px（p>0）交于C,D兩點(diǎn)，且OD丄OE，兀根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定ZDOx=ZCOx=-，所以C（2,2）,1代入拋物線方程4=4p，求得p=1，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0），故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目.6.已知向量a,b滿足1a|=5,1b1=6,a?b=-6，則cos：a,a+b=()17C.17C.3519D.35【答案】D解析】分析】計(jì)算出a?(a+b)、詳解】a+b的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出計(jì)算出a?(a+b)、詳解】a+b的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出cosva,a+b＞的值.=6，a?b=-6，a-(a+b)=a2+a?b=52-6=19.因此,故選：a=5,a+ba+b=￥a2+2a?b+b2;25-2x6+36=7,-a?(a+b)19鳥(niǎo)一一一5X7=35.cosva,a+b>=廠可也+0D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算,考查計(jì)算能力，屬于中等題.27.在△ABC中，cosC=-，AC=4，BC=3，貝UcosB=()1A*911A*91B.31C.—22D-3答案】A解析】分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得AB，再根據(jù)cosB=Ab2bc^ac，即可求得答案.AB-BC【詳解】：在ABC中，cosC=-，AC=4，BC=33根據(jù)余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC?BC?cosC2AB2=42+32-2x4x3x—3可得AB2=9，即AB=3丄廠AB2+BC2-AC29+9-161由：cosB===-2AB-BC2x3x39故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6+472B.4+4C.6+2j3D.4+2*3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形1根據(jù)立體圖形可得：S=S=S=x2x2=2△ABC△ADC△CDB2根據(jù)勾股定理可得：AB=AD=DB=2邁△ADB是邊長(zhǎng)為2\:2的等邊二角形根據(jù)三角形面積公式可得：

TOC\o"1-5"\h\zii—S=AB-AD-sin60o=(^2)2?=2朽△ADB222二該幾何體的表面積是：3x2+2朽=6+2込.故選：C.點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫(huà)出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.n9.已知2tan&—tan(0+才)=7，則tan&=(A.—2B.-1C.1D.2【答案】D解析】A.—2B.-1C.1D.2【答案】D解析】分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】2tan0-tan0+一=7，2tan0-二7,1-tan01+11+1令t=tan0,t主1，則2t-=7，整理得12-4t+4=0，解得t=2,1-t即tan0=2.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.10.若直線【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.10.若直線l與曲線y=\!x和x2+y2=5都相切，則l的方程為（）1B.y=2x+—A.y=2x+11C.y=x+1

丿211D.y=x+722答案】D解析】分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線l的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線l在曲線【詳解】設(shè)直線l在曲線y=PX上的切點(diǎn)為，則x0>0,函數(shù)yY的導(dǎo)數(shù)為y,=占，則直線l的斜率k=金'

設(shè)直線l的方程為y-込=會(huì)6―“），即X—2尺y設(shè)直線l的方程為y-0由于直線l與圓由于直線l與圓X2+y2=5相切，則0兩邊平方并整理得5X0-4兩邊平方并整理得5X0-4X0—1=°，解得x0=1則直線l的方程為x-2y+1=0，即y11=—x+.22故選：D.點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.x2x2y211.設(shè)雙曲線C：—二=1（->0,b>0）的左、a2b2右焦點(diǎn)分別為f1,F2，離心率為.P是C上一點(diǎn)，且F]P丄F2P.若△PF1F2的面積為4,則a=()A.1B.2C.4D.8【答案】A解析】分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.詳解】-仝c=、Ka，根據(jù)雙曲線的定義可得吃HPF；|=A.1B.2C.4D.8【答案】A解析】分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.詳解】-仝c=、Ka，根據(jù)雙曲線的定義可得吃HPF；|=2a,S△PF1F2=-IPFI-|PF1=4，即丨PFI-PF21212=8，F(xiàn)P丄FP,12PFJ-1pf2.??IPF|2+PF2=（2c）2,+2|PF卜|PF|=4c2，即-2—5-2+4=0，解得-=1,故選：A.點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.12.已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138，貝9（）A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b答案】A【解析】【分析】由題意可得a、b、CG（0,1）,利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小關(guān)系，由b=log85，得8b=5,8結(jié)合5結(jié)合55<84可得出b<5，由c—log8，得13c—8，結(jié)合134<&,可得出C>-，綜合可得出a、b、135C的大小關(guān)系.詳解】題意可知a詳解】題意可知aCG(0,1),a_log3a_log3=lg3lg8<5——■<'lg3+lg8丫[2】g5丿—5.<blog85lg5lg5(lg5)24由b=log5，得8b=5，由55<84，得85b<84，.5b<4，可得b<；85由c—log8，得13c—8，由134<&,得134<135c，.5c>4，可得c>5.135綜上所述，a<b<c.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式大小比較，涉及基本不等式、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小的題，每小題5分，共20分.x+y>0,13.若x，y滿足約束條件<2x-y>0,,則z=3x+2y的最大值為.x<1,【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖3xzz因?yàn)閦—3x+2y，所以y—一丁+，易知截距越大，則z越大，3x3xzIx—1，得Iy-2A(1,2)，平移直線y—-—，當(dāng)Ix—1，得Iy-2A(1,2)，所以z=3x1+2x2=7max故答案為：7.v如2故答案為：7.v如2冃）工點(diǎn)晴】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道容易題.214.（X2+）6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）.x【答案】240【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\z（2、6寫(xiě)出x2+—二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).IX丿其二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)：T=Cr.CLr+16=Cr-X12-2r(2)r.x-r6二Cr(2)r.x12-3r6當(dāng)12-3r=0，解得r=4(2、6x2+—的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是：C4-24=C2-16=15x16=240.Ix丿66故答案為：240.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握(a+b)n的展開(kāi)通項(xiàng)公式T=Cran-rbr，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.r+1n15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為【答案】上2兀3【解析】【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中BC=2,AB=AC=3，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O,由于AM==2邁，故S^BC-2x2x2邁-2邁,設(shè)內(nèi)切圓半徑為廠，貝卩：S△ABC二S+S+S=xABxr+xBCxr+xACxr△AOB△BOC△AOC222二1x(3+3+2)xr二2邁,2解得：r弓，其體積：V=3Kr3￡兀.點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的

位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.116.關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+有如下四個(gè)命題：sinxf(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.兀f(x)的圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱.2f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號(hào)是．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對(duì)稱性的定義可判斷命題③的正誤；取-兀<x<0可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題①，f住【詳解】對(duì)于命題①，f住I6丿15—2=-〒，則/豐f22k6丿k6丿所以，函數(shù)/G)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?卜豐加裁eZ｝，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,sinx+sinx丿f（-x）=sin（-x）sinx+sinx丿sin（-x丿sinx所以，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題②正確;對(duì)于命題③，（兀1對(duì)于命題③，（兀1（兀1——x=sin12丿12丿1.（兀）sin—-x12丿1=cosx+cosx氣1氣1氣1=sin12丿12丿ff-+x'k2丿11=cosx+cosx，cosx，sin—+x12丿所以，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=牛對(duì)稱，命題③正確;

對(duì)于命題④，當(dāng)r<X<0對(duì)于命題④，當(dāng)r<X<0時(shí),sinx<0,則f(x)二sinx+1sinx<0<2命題④錯(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及最值的求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17.設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a,=3,a=3a—4n.TOC\o"1-5"\h\zn1n+1n計(jì)算a2，a3，猜想｛an｝的通項(xiàng)公式并加以證明；求數(shù)列｛2nan｝的前n項(xiàng)和S.【答案】(1)a二5,a3=7,a二2n+1，證明見(jiàn)解析；(2)S=(2n—1)-2n+1+2.23nn【解析】【分析】利用遞推公式得出a,a，猜想得出｛a｝的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；23n由錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】(1)由題意可得a2二3a1—4二9一4二5,a3二3a2一8二15一8二7,由數(shù)列｛a｝的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列｛a｝是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即a二2n+1,nnn證明如下：當(dāng)n=1時(shí)，a1=3成立；假設(shè)n=k時(shí)，a二2k+1成立.k那么n=k+1時(shí)，a=3a一4k=3(2k+1)一4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.k+1k則對(duì)任意的ngN*，都有a=2n+1成立；n(2)由(1)可知，a-2?=(2n+1)2?nS=3x2+5x22+7x23++(2n—1)?2n-1+(2n+1)?2n,n2S=3x22+5x23+7x24++(2n—1)?2n+(2n+1)?2n+1，②n

由①-②得:—S=由①-②得:—S=6+2x(22+23++2n)—(2n+1)?2n+i22X(1一2n-1)—(2n+1)?2?+1=(1—2n)-2+1—2,1—2…即S=（2n—1）?2n+1+2.n【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.18.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位:天）:鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次＜400人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好n(ad—bc)2附：2-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828【答案（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計(jì)算出該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、2、3、4的概率；（2）利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除以100可得結(jié)果；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善2x2列聯(lián)表，計(jì)算出K2的觀測(cè)值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市天的空氣質(zhì)量等級(jí)為詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為2+16+25100=0.43，等級(jí)為2的概率為510；12二0.27，等級(jí)為3的概率為二0.21，等級(jí)為4的概率為氣寺0二0.09；2）由頻數(shù)分布表可知，天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為1002）由頻數(shù)分布表可知，天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為100x20+300x35+500x451^0二350（3）2x2列聯(lián)表如下:人次＜400人次＞400空氣質(zhì)量不好3337空氣質(zhì)量好228沁5.820＞3.841，100x(33x8-37x22)沁5.820＞3.841，55x45x70x30因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-名B&D］中，點(diǎn)E,F分別在棱DD,BB^上，且2DE=ED「BF=2FB「(1)證明：點(diǎn)(1)證明：點(diǎn)C］在平面AEF內(nèi);(2)若AB二2,AD=1,AA1二3，求二面角A-EF-兔的正弦值.答案(答案(1)證明見(jiàn)解析；(2)<42【解析】【分析】連接C1E、C1F，證明出四邊形AECF為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)；以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1D1、C1B1、C1C所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C1-xyz,利用空間向量法可計(jì)算出二面角A-EF-￡的余弦值，進(jìn)而可求得二面角A-EF-￡的正弦值.1【詳解】(1)在棱CC］上取點(diǎn)G，使得CG二CG,連接DG、FG、普、C1F，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,adhbc且AD二BC，BB1〃CC1且BB廣CC1，CG=1CG,BF二2FB、，???CG=-CC=-BB=BF且CG=BF,1213131所以，四邊形BCGF為平行四邊形，則AF//DG且AF=DG,同理可證四邊形DECG為平行四邊形，?CE//DG且CE二DG,?CE//AF且CE二AF，則四邊形AECF為平行四邊形，因此，點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)；(2)以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1D1、C1B1、C1C所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則A(2,1,3)、A(2,1,0)、E(2,0,2)、F(0,1,1),AE=(0,—1,—1)，AF=(—2,0,—2)，AE=(0,—1,2)，AF=(—2,0,1),1設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,y,z),1y1,z1m-AE=0[—y—z=0，得SJ■—門(mén)取z=—1，得x=ym-AF=0[—2x—2z=0111JJT11，則m=(1,1,—1),設(shè)平面A1EF的法向量為n=(X2,與n-AE=0s1，得sn-AF=01—y+2z=02丄20，取z廣2，得x2=1,—2x+z=02222『2=4，則n=(1,4,2),cos<m,n>=設(shè)二面角A—EF—A1的平面角為0，則|cos0|=~77，二sin0=J1-cos28=f2因此’二面角A-EF-A1的正弦值為字點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)在平面的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.2°.已知橢圓C：蕓+m=1(0<m<5)的離心率為子，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)?(1)求C的方程;(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且IBP1=1BQI,BP丄BQ，求APQ的面積.x216y25【答案⑴25+云=1；(2)2-【解析】【分析】因?yàn)镃:竺+丘=1(0<m<5)，可得a=5，b=m，根據(jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；25m2點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且IBPI=IBQI，Bp丄BQ，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，交點(diǎn)為M，設(shè)x=6與x軸交點(diǎn)為N，可得△PMBBNQ，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AQ的直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和兩點(diǎn)距離公式，即可求得APQ的面積.【詳解】（1）：C:蘭+蘭=1（0<m<5）25m2…a=5，b=m，<15~7~55解得<15~7~55解得m=4或mz二-4（舍）,根據(jù)離心率e蘭+旦=1二C的方程為：25(5丫14丿--3（2）點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且IBP1=1BQI,BP丄BQ,過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，交點(diǎn)為M，設(shè)x=6與x軸交點(diǎn)為N根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖a廠Jt?戈Ibp|=|BQI，BP丄BQ，ZPMB=ZQNB=90。，又.ZPBM+ZQBN=90°，ZBQN+ZQBN=90°,.?ZPBM=ZBQN，根據(jù)三角形全等條件“AAS”，可得：5PMB=△BNQ，TOC\o"1-5"\h\zx216y24+=1，2525.B(5,0)，.PM|=|BN|=6-5=1，設(shè)P點(diǎn)為(xP，yp)，x216y2可得p點(diǎn)縱坐標(biāo)為yp=1，將其代入25+~2^=1，x216可得：—+=1，可得：2525解得：xp=3或Xp.P點(diǎn)為（3，1）或（-3，1），①當(dāng)P點(diǎn)為(3,1)時(shí)，故MB二5-3二2,△PMB二HBNQ,.?IMB1=1NQ\=2,可得：Q點(diǎn)為(6,2),畫(huà)出圖象，如圖A(-5,0),Q(6,2),可求得直線AQ的直線方程為：2x-11y+10=0,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P到直線根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P到直線AQ的距離為：d=2x3-11x1+10|；22+112根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：|AQ|=、：(6+5》+(2-0》=5、厲,.apq面積為：2x5"=2；②當(dāng)P點(diǎn)(一3，1)時(shí),故MB=5+3=8,△PMB=^BNQ,.\MB\=\NQ\=8，可得：Q點(diǎn)為(6,8),畫(huà)出圖象，如圖A(—5,0),Q(6,8),可求得直線AQ的直線方程為：8x-11y+40=0,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P到直線AQ根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P到直線AQ的距離為：d=8x(-3)-11x1+4082+112<185<185，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：|AQ|=\：(6+5E+(8—0E,???APQ面積為：2X*185x185=綜上所述，APQ面積為：|.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和求三角形面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心率定義和數(shù)形△結(jié)合求三角形面積，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù)f(x)=X3+bx+c，曲線y二/(x)在點(diǎn)(|,f(|))處的切線與y軸垂直.(1)求b.(|)若/(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：/(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.3【答案】(1)b=-4；(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】131111(2)由(1)可得f'(x)二31111(2)由(1)可得f'(x)二3x2--二2(x+2)(x—2)，易知f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞減，在(-8,-1)，1111111(I，+8)上單調(diào)遞增，且f(-1)=c—才,f(一|)=c+4,f(|)=c—4,f(1)=c+，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】(1)因?yàn)閒'(x)二3x2+b，

由題意，f由題意，f'(2)=0，即3x(1)2<2丿則b=-扌；3(2)由(1)可得f(x)=x3--x+c,TOC\o"1-5"\h\z311f'(x)=3x2-=3(x+_)(x-_),-221111令f'(x)>o,得x>2或x<-2；令f'(x)<o,得-2<x<2，所以f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞減，在(-g,-2),(2,+8)上單調(diào)遞增,111111且f(-1)=c-f(--)=c+f(-)=c-f(1)=c+-,-2-2--若f(x)所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)x,則f(-1)>0或f⑴<0,011即C>或C<—丁.-1111111當(dāng)c>-時(shí)，f(-1)=c-->0,f(-2)=c+->0,f(2)=c-->0,f(1)=c+->0又f(-4c)=-64c3+3c+c=4c(1一16c2)<0,由零點(diǎn)存在性定理知/(x)在(--c，-1)上存在唯個(gè)零點(diǎn)x,0即f(x)在(-8,-1)上存在唯——個(gè)零點(diǎn)，在(-1,+8)上不存在零點(diǎn)，此時(shí)f(x)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；1111111當(dāng)c<-—時(shí)，f(-1)=c-<0,f(-)=c+<0,f()=c-<0,f(1)=c+<0,--2-2--又f(--c)=6-c3+3c+c=-c(1-16c2)>0,由零點(diǎn)存在性定理知f(x)在(1,-4c)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)x0,即f(x)(