基本不等式的應(yīng)用隨堂跟蹤練習(xí)（含答案）

2.2.2基本不等式的應(yīng)用跟蹤練習(xí)(15分鐘35分)1.已知a>b>0，全集為R，集合M=xb<x<，N={x|<x<a}，P={x|b<x≤}，則M，N，P滿足 ()A.P=M∩(RN) B.P=(RM)∩NC.P=M∪N D.P=M∩N2.某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長(zhǎng)率為a，第三年的增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則 ()A.x= B.x≤C.x> D.x≥3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+，n=a+，則m+n的最小值是 ()A.3 B.4 C.5 D.6【補(bǔ)償訓(xùn)練】若實(shí)數(shù)a，b滿足+=，則ab的最小值為 ()A. B.2 C.2 D.44.周長(zhǎng)為+1的直角三角形面積的最大值為_(kāi)______.

5.某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=_______.

6.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1.證明：(1)ab+bc+ac≤.(2)++≥1.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.若x，y為正數(shù)，且+2y=3，則的最大值為()A. B. C. D.2.將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2m2，形狀為直角三角形的框架，在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是()A.6.5m B.6.8mC.7m D.7.2m3.已知a>0，b>0，若不等式+≥恒成立，則m的最大值為()A.9 B.12 C.18 D.24【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a>0，b>0，且不等式++≥0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于()A.0 B.4 C.-4 D.-24.若x，y為正數(shù)，則+的最小值是 ()A.3 B. C.4 D.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5.已知a>0，b>0，a+b=1，對(duì)于代數(shù)式1+1+，下列說(shuō)法正確的是()A.最小值為9B.最大值是9C.當(dāng)a=b=時(shí)取得最小值D.當(dāng)a=b=時(shí)取得最大值6.某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=x2-200x+80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.以下判斷正確的是()A.該單位每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低B.該單位每月最低可獲利20000元C.該單位每月不獲利，也不虧損D.每月需要國(guó)家至少補(bǔ)貼40000元才能使該單位不虧損三、填空題(每小題5分，共10分)7.在4×□+9×□=60的兩個(gè)□中，分別填入兩個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填上_______和_______.

8.為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C(單位：mg·L-1)隨時(shí)間t(單位：h)的變化關(guān)系為C=，則經(jīng)過(guò)_______h后池水中該藥品的濃度達(dá)到最大.

四、解答題(每小題10分，共20分)9.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.10.運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式.(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.創(chuàng)新訓(xùn)練：1.已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2-2ab+9b2-c=0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，+-的最大值為_(kāi)______.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a>b>c>0，則2a2++-10ac+25c2的最小值是 ()A.2 B.4 C.2 D.52.我們學(xué)習(xí)了二元基本不等式：設(shè)a>0，b>0，≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，利用基本不等式可以證明不等式，也可以利用“和定積最大，積定和最小”求最值.(1)對(duì)于三元基本不等式請(qǐng)猜想：設(shè)a>0，b>0，c>0，≥_______，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立(把橫線補(bǔ)全).

(2)利用(1)猜想的三元基本不等式證明：設(shè)a>0，b>0，c>0，求證：(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：設(shè)a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.（解析版）(15分鐘35分)1.已知a>b>0，全集為R，集合M=xb<x<，N={x|<x<a}，P={x|b<x≤}，則M，N，P滿足 ()A.P=M∩(RN) B.P=(RM)∩NC.P=M∪N D.P=M∩N【解析】選A.由a>b>0結(jié)合基本不等式可得，a>>>b，故P=M∩(RN).2.某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長(zhǎng)率為a，第三年的增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則 ()A.x= B.x≤C.x> D.x≥【解析】選B.由條件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤，所以1+x≤1+，故x≤.3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+，n=a+，則m+n的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【解題指南】利用“1”的代換解題.【解析】選B.因?yàn)閍b=1，所以m=b+=2b，n=a+=2a，所以m+n=2(a+b)≥4=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，等號(hào)成立.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若實(shí)數(shù)a，b滿足+=，則ab的最小值為 ()A. B.2 C.2 D.4【解析】選C.由題意知a>0，b>0，則+≥2=，當(dāng)且僅當(dāng)=，即b=2a時(shí)等號(hào)成立.所以≥，即ab≥2.4.周長(zhǎng)為+1的直角三角形面積的最大值為_(kāi)______.

【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為a，b，則+1=a+b+≥2+，解得ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào)，所以直角三角形面積S≤，即S的最大值為.答案：5.某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=_______.

【解析】總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和f(x)=4x+×4=4x+≥2=160，當(dāng)且僅當(dāng)4x=，即x=20時(shí)取等號(hào).答案：206.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1.證明：(1)ab+bc+ac≤.(2)++≥1.【證明】(1)由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤.(2)因?yàn)?b≥2a，+c≥2b，+a≥2c.故+++(a+b+c)≥2(a+b+c)，即++≥a+b+c.所以++≥1.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.若x，y為正數(shù)，且+2y=3，則的最大值為()A. B. C. D.【解析】選D.由x，y為正數(shù)得3=+2y≥2，所以≤，≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=時(shí)等號(hào)成立.2.將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2m2，形狀為直角三角形的框架，在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是()A.6.5m B.6.8mC.7m D.7.2m【解析】選C.設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形框架的周長(zhǎng)為l，則ab=2，所以ab=4，l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).因?yàn)橐髩蛴们依速M(fèi)最少，故應(yīng)選擇7m長(zhǎng)的鐵絲.3.已知a>0，b>0，若不等式+≥恒成立，則m的最大值為()A.9 B.12 C.18 D.24【解析】選B.由+≥得m≤(a+3b)=++6，又++6≥2+6=12，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=3b時(shí)等號(hào)成立.所以m≤12，所以m的最大值為12.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a>0，b>0，且不等式++≥0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于 ()A.0 B.4 C.-4 D.-2【解析】選C.由++≥0，得k≥，而=++2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，所以-≤-4，因此要使k≥-恒成立，應(yīng)有k≥-4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于-4.4.若x，y為正數(shù)，則+的最小值是 ()A.3 B. C.4 D.【解析】選C.+=++≥4，當(dāng)且僅當(dāng)即x=y=時(shí)等號(hào)成立.【誤區(qū)警示】同一題目中多次用基本不等式，必須保證每次用時(shí)等號(hào)成立的條件相同.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5.已知a>0，b>0，a+b=1，對(duì)于代數(shù)式1+1+，下列說(shuō)法正確的是()A.最小值為9B.最大值是9C.當(dāng)a=b=時(shí)取得最小值D.當(dāng)a=b=時(shí)取得最大值【解析】選AC.=1+1+=·=5+2≥5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，取等號(hào).6.某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=x2-200x+80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.以下判斷正確的是()A.該單位每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低B.該單位每月最低可獲利20000元C.該單位每月不獲利，也不虧損D.每月需要國(guó)家至少補(bǔ)貼40000元才能使該單位不虧損【解析】選AD.由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為=x+-200≥2-200=200，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=400時(shí)等號(hào)成立，故該單位月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元.設(shè)該單位每月獲利為S元，則S=100x-y=100x-=-x2+300x-80000=-(x-300)2-35000，因?yàn)閤∈[400，600]，所以S∈[-80000，-40000].故該單位每月不獲利，需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損.三、填空題(每小題5分，共10分)7.在4×□+9×□=60的兩個(gè)□中，分別填入兩個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填上_______和_______.

【解析】設(shè)兩數(shù)分別為x，y，即4x+9y=60，+==≥×(13+12)=，當(dāng)且僅當(dāng)=，且4x+9y=60，即x=6且y=4時(shí)，等號(hào)成立，故應(yīng)分別填上6，4.答案：64【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)x，y均為正數(shù)，且xy+x-y-10=0，則x+y的最小值是_______.

【解析】由xy+x-y-10=0，得x==+1，所以x+y=+1+y≥2=6，當(dāng)且僅當(dāng)=1+y，即y=2時(shí)，等號(hào)成立.答案：68.為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C(單位：mg·L-1)隨時(shí)間t(單位：h)的變化關(guān)系為C=，則經(jīng)過(guò)_______h后池水中該藥品的濃度達(dá)到最大.

【解析】C==.因?yàn)閠>0，所以t+≥2=4當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=2時(shí)，等號(hào)成立.所以C=≤=5，即當(dāng)t=2時(shí)，C取得最大值.答案：2四、解答題(每小題10分，共20分)9.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】(1)由2x+8y-xy=0，得+=1，又x>0，y>0，則1=+≥2=，得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x=16，y=4時(shí)，等號(hào)成立.所以xy的最小值為64.(2)由2x+8y-xy=0，得+=1，則x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18.當(dāng)且僅當(dāng)x=12且y=6時(shí)等號(hào)成立，所以x+y的最小值為18.10.運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式.(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.【解析】(1)設(shè)所用時(shí)間為t=(h)，y=×2×+14×，x∈[50，100].所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y=+x，x∈[50，100].(或y=+x，x∈[50，100]).(2)y=+x≥26，當(dāng)且僅當(dāng)=x，即x=18時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)x=18時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26元.創(chuàng)新訓(xùn)練：1.已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2-2ab+9b2-c=0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，+-的最大值為_(kāi)______.

【解析】正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2-2ab+9b2-c=0，得===≤，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=3b時(shí)，取最大值.又因?yàn)閍2-2ab+9b2-c=0，所以此時(shí)c=12b2，所以+-=+-=≤=1.當(dāng)且僅當(dāng)a=3，b=1時(shí)，等號(hào)成立.故最大值為1.答案：1【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a>b>c>0，則2a2++-10ac+25c2的最小值是 ()A.2 B.4 C.2 D.5【解析】選B.2a2++-10ac+25c2=(a-5c)2+a2-ab+ab