隨機(jī)抽樣【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修講義（機(jī)構(gòu)適用）

高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第九章統(tǒng)計(jì)（人教A版2019）隨機(jī)抽樣【基礎(chǔ)梳理】要點(diǎn)一、像人口普查那樣，對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都驚醒調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查.在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)查對(duì)象的全體成為總體，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象成為個(gè)體.

從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.我們把從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣本，樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本量.調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)稱樣本數(shù)據(jù).

要點(diǎn)二、簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N

(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n

(1≤n<N)個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)人樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.

一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為，,

.，，則稱

==

為總體均值，又稱總體平均數(shù)，如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記

為，,

...，其中;出現(xiàn)的頻數(shù):

(i=1,

2,

....k)，則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式

=

如果從總體中抽取-一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別

為，，...

，則稱

為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)

為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù).

要點(diǎn)三、分層隨機(jī)抽樣

一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.【課堂探究】例1.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001,002,???,599,600從中抽取60個(gè)樣本，如下提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第328432若從表中第6行第6列開始向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)（

）A.

522

B.

324

C.

535

D.

578【答案】D【解析】解：第6行第6列的數(shù)開始的數(shù)為808，不合適，436，789不合適，535，577，348，994不合適，837不合適，522，535重復(fù)不合適，578則滿足條件的6個(gè)編號(hào)為436，535，577，348，522，578，則第6個(gè)編號(hào)為578，故答案為：D．【分析】由已知利用隨機(jī)數(shù)表讀數(shù)，即可求出滿足條件的第6個(gè)編號(hào).例2下列問題中，最適合用分層抽樣方法抽樣的是(

)A.

某電影院有32排座位，每排有40個(gè)座位，座位號(hào)是1～40.有一次報(bào)告會(huì)坐滿了聽眾，報(bào)告會(huì)結(jié)束以后為聽取意見，要留下32名聽眾進(jìn)行座談

B.

從10臺(tái)冰箱中抽出3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查

C.

某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，洼地4000畝，現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計(jì)全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量

D.

從50個(gè)零件中抽取5個(gè)做質(zhì)量檢驗(yàn)【答案】C【解析】A的總體容量較大，宜采用系統(tǒng)抽樣方法；B的總體容量較小，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法比較方便；C總體容量較大，且各類田地的產(chǎn)量差別很大，宜采用分層抽樣方法；D與B類似．

故答案為：C.【分析】由分層抽樣的特點(diǎn)可以得到答案。【課后練習(xí)】1.某大學(xué)中文系共有本科生5000人，期中一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生比為5:4:3:1，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為260的樣本，則應(yīng)抽二年級(jí)的學(xué)生（

）A.

100人

B.

60人

C.

80人

D.

20人【答案】C【解析】要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為260的樣本,

則應(yīng)抽二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為：45+4+3+1×260=80(人).

故答案為：C.

【分析】要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為260的樣本，根據(jù)一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生比為5：4：3：1，利用二年級(jí)的所占的比數(shù)除以所有比數(shù)的和再乘以樣本容量即可求出2.某單位有業(yè)務(wù)員和管理人員構(gòu)成的職工160人，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，若樣本中管理人員有7人，則該單位的職工中業(yè)務(wù)員有多少人（

）A.

32人

B.

56人

C.

104人

D.

112人【答案】C【解析】樣本中業(yè)務(wù)員的人數(shù)為20-7=13設(shè)該單位的業(yè)務(wù)員人數(shù)為n，由題意可得n160=1320故該單位的職工中業(yè)務(wù)員的人數(shù)為104人.故答案為：C.【分析】設(shè)該單位的職工中業(yè)務(wù)員的人數(shù)為n，計(jì)算出樣本中業(yè)務(wù)員的人數(shù)，根據(jù)題意列等式解出n的值.3.S大學(xué)藝術(shù)系表演專業(yè)的報(bào)考人數(shù)連創(chuàng)新高，2010年報(bào)名剛結(jié)束，某考生想知道這次報(bào)考該專業(yè)的人數(shù)．已知該專業(yè)考生的考號(hào)是按0001，0002，???的順序從小到大依次排列的，他隨機(jī)了解了50名考生的考號(hào)，經(jīng)計(jì)算，這50個(gè)考號(hào)的和是25025，估計(jì)2010年報(bào)考S大學(xué)藝術(shù)系表演專業(yè)的考生大約有（

）A.

2000人

B.

1500人

C.

1000人

D.

500人【答案】C【解析】由題意知，考生的考號(hào)從0001，0002???從小到大排列，50個(gè)考生的考號(hào)和為25025，考號(hào)的平均數(shù)為：2502550≈則估計(jì)考號(hào)中位數(shù)為500，故考生大約有2×500=1000故答案為：C．【分析】由題意先求出平均數(shù)，再估計(jì)中位數(shù)，即可求出考生的大約人數(shù).4.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間[0,10]內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位北京市民，他們的幸福感指數(shù)為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（A.

7

B.

C.

8

D.

【答案】C【解析】由題意，這10個(gè)人的幸福指數(shù)已經(jīng)從小到大排列，因?yàn)?5%×所以這10個(gè)人的75%分位數(shù)是從小到大排列后第8個(gè)人的幸福指數(shù)，即故答案為：C【分析】先計(jì)算75%分位數(shù)的位置，再求出這個(gè)數(shù)即可5.從某班50名同學(xué)中選出5人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將50名同學(xué)按01，02，?，50進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（

）（注：表為隨機(jī)數(shù)表的第1行與第2行）0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A.

24

B.

36

C.

46

D.

47【答案】A【解析】由題知，從隨機(jī)數(shù)表的笫1行第5列和第6列數(shù)字開始，由表可知依次選取43，36，47，46，24.故答案為：A【分析】按要求兩個(gè)數(shù)字為一個(gè)號(hào)，不大于50且前面未出現(xiàn)的數(shù)，依次寫出即可6.某公司有員工15名，其中包含經(jīng)理一名．保潔一名，為了調(diào)查該公司員工的工資情況，有兩種方案．方案一：調(diào)查全部15名員工的工資情況；方案二：收入最高的經(jīng)理和收入最低的保潔工資不納入調(diào)查范圍，只調(diào)查其他13名員工的工資．這兩種調(diào)查方案得到的數(shù)據(jù)，一定相同的是（

）A.

中位數(shù)

B.

平均數(shù)

C.

方差

D.

極差【答案】A【解析】由題意，公司15名員工的工資情況組成15個(gè)數(shù)據(jù)，按大小順序排列，排在中點(diǎn)的數(shù)是中位數(shù)，取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，剩余13個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，排在中間的還是原來的數(shù)，所以中位數(shù)不變；平均數(shù)是與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系的量，方差也是與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系的量，所以會(huì)變化；極差是與最大值和最小值有關(guān)系的量，所以也會(huì)發(fā)生變化.故答案為：A.【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)和方差、極差的定義進(jìn)行判斷，即可求解.年初，我國(guó)突發(fā)新冠肺炎疫情，疫情期間中小學(xué)生“停課不停學(xué)”.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)情況如甲圖所示，各學(xué)段學(xué)生在疫情期間“家務(wù)勞動(dòng)”的參與率如乙圖所示.為了進(jìn)一步了解該地區(qū)中小學(xué)生參與“家務(wù)勞動(dòng)”的情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取4%小學(xué)初中高中學(xué)段的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則抽取的樣本容量、抽取的高中生家中參與“家務(wù)勞動(dòng)”的人數(shù)分別為(

)A.

2750，200

B.

2750，110

C.

1120，110

D.

1120，200【答案】C【解析】解：由題意得，抽取的樣本容量為(15500+7500+5000)×4%=1120抽取的高中生家中參與“家務(wù)勞動(dòng)”的人數(shù)為5000×4%故答案為：C【分析】由于利用分層抽樣的方法按4%的比例從各部分抽取，所以樣本容量等于全部人數(shù)與4%的積，高中生家中參與“家務(wù)勞動(dòng)”的人數(shù)為抽取的高中生人數(shù)乘以年開始，我省將試行“3+1+2“的普通高考新模式，即除語文、數(shù)學(xué)、外語3門必選科目外，考生再從物理、歷史中選1門，從化學(xué)、生物、地理、政治中選2門作為選考科目．為了幫助學(xué)生合理選科，某中學(xué)將高一每個(gè)學(xué)生的六門科目綜合成績(jī)按比例均縮放成5分制，繪制成雷達(dá)圖．甲同學(xué)的成績(jī)雷達(dá)圖如圖所示，下面敘述一定不正確的是（

）A.

甲的物理成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分最多

B.

甲有2個(gè)科目的成績(jī)低于年級(jí)平均分

C.

甲的成績(jī)從高到低的前3個(gè)科目依次是地理、化學(xué)、歷史

D.

對(duì)甲而言，物理、化學(xué)、地理是比較理想的一種選科結(jié)果【答案】C【解析】由雷達(dá)圖可知，甲的物理成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分約為，化學(xué)成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分約為1，生物成績(jī)約等于年級(jí)平均分，歷史成績(jī)低于年級(jí)平均分，地理成績(jī)領(lǐng)先年級(jí)平均分約為1，政治成績(jī)低于年級(jí)平均分，A、B、D符合題意；而甲的成績(jī)從高到低的前3個(gè)科目依次是地理、化學(xué)、生物（物理），C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故答案為：C．【分析】根據(jù)圖表依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷.9.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是（

）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A.

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

C.

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事產(chǎn)品崗位的90后人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的5%

D.

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的90后人數(shù)比80前人數(shù)多【答案】C【解析】A選項(xiàng)，由圖可知90后占了56%，故正確；B選項(xiàng)，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術(shù)崗位中所占比例為0.56×39.6%=0.22176>0.2，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)還包括80后，80前，