高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式同步練Word含解析

2021年高中數(shù)學(xué)人教A版（新教材）選擇性必修第二冊(cè)等差數(shù)列的概念第一課時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式一、選擇題1.設(shè)數(shù)列{an}(n∈N*)是公差為d的等差數(shù)列，若a2＝4，a4＝6，則d等于() 2.已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5等于() 3.在數(shù)列{an}中，若eq\r(an＋1)＝eq\r(an)＋eq\r(2)，a1＝8，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()＝2(n＋1)2 ＝4(n＋1)＝8n2 ＝4n(n＋1)4.《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金棰，長五尺.斬本一尺，重四斤.斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)在有一根金棰，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下一尺，重4斤；在細(xì)的一端截下一尺，重2斤，問各尺依次重多少？”按這一問題的題設(shè)，假設(shè)金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的質(zhì)量是()\f(7,3)斤 \f(7,2)斤\f(5,2)斤 斤5.等差數(shù)列20，17，14，11，…中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是()A.第7項(xiàng) B.第8項(xiàng)C.第9項(xiàng) D.第10項(xiàng)6.已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝1，若{eq\f(1,1＋an)}是等差數(shù)列，則a11等于() \f(1,6)\f(1,3) \f(1,2)7.(多選題)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，則下列說法正確的有()A.數(shù)列{an}是等差數(shù)列 ＝7－2k(k∈N*)－1＝12－2k(k∈N*) ＋an＋1＝18－3n8.(多選題)在數(shù)列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p為常數(shù))，則稱{an}為等方差數(shù)列，下列對(duì)等方差數(shù)列的判斷正確的有()A.若{an}是等方差數(shù)列，則{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列B.數(shù)列{(－1)n}是等方差數(shù)列C.若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}一定是常數(shù)列D.若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{akn}(k∈N*，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列二、填空題9.在△ABC中，B是A和C的等差中項(xiàng)，則cosB＝________.10.已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，則a12＝________.11.現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升.三、解答題12.在等差數(shù)列{an}中，(1)若a5＝15，a17＝39，試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng).(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.13.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說明理由.(2)求an.14.在數(shù)列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*).(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)若λan＋eq\f(1,an)≥λ對(duì)任意的n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.參考答案及解析1.答案：D解析：由a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝6，解得d＝1.2.答案：A解析：設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.3.答案：A解析：由題意得eq\r(an＋1)－eq\r(an)＝eq\r(2)，故數(shù)列{eq\r(an)}是首項(xiàng)為eq\r(a1)＝2eq\r(2)，公差為eq\r(2)的等差數(shù)列，所以eq\r(an)＝2eq\r(2)＋eq\r(2)(n－1)＝eq\r(2)n＋eq\r(2)，故an＝2(n＋1)2.4.答案：B解析：依題意，金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1＝4，則a5＝2，設(shè)公差為d，則2＝4＋4d，解得d＝－eq\f(1,2)，所以a2＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).5.答案：B解析：∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.故數(shù)列中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第8項(xiàng).6.答案：A解析：∵eq\f(1,1＋a3)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,1＋a5)＝eq\f(1,2)，設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋an)))的公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋a1)＋2d＝\f(1,3)，,\f(1,1＋a1)＋4d＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋a1)＝\f(1,6)，,d＝\f(1,12).))∴eq\f(1,1＋an)＝eq\f(1,6)＋(n－1)·eq\f(1,12)，∴eq\f(1,1＋a11)＝eq\f(1,6)＋eq\f(11－1,12)＝eq\f(11＋1,12)＝1，∴a11＝0.7.答案：BC解析：由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差數(shù)列，A不正確；由an－an＋2＝2，知{an}的偶數(shù)項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列，公差都為－2，當(dāng)n＝2k(k∈N*)時(shí)，a2k＝a2＋(k－1)×(－2)＝7－2k，當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)，a2k－1＝a1＋(k－1)×(－2)＝12－2k，故B，C都正確；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＋a3＝5＋8＝13不滿足an＋an＋1＝18－3n，故D錯(cuò)誤.8.答案：ABCD解析：根據(jù)等方差數(shù)列的定義易知A正確；因?yàn)?－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，所以數(shù)列{(－1)n}是等方差數(shù)列，B正確；若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝(an－an－1)·(an＋an－1)＝d[2a1＋(2n－3)d]＝2a1d＋(2n－3)d2＝p.又p為常數(shù)，所以d＝0，C正確；若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p，aeq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,k（n－1）)＝(aeq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,kn－1))＋(aeq\o\al(2,kn－1)－aeq\o\al(2,kn－2))＋(aeq\o\al(2,kn－2)－aeq\o\al(2,kn－3))＋…＋(aeq\o\al(2,kn－k＋1)－aeq\o\al(2,kn－k))＝kp為常數(shù)，D正確.9.答案：eq\f(1,2)解析：∵B是A和C的等差中項(xiàng)，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，cosB＝eq\f(1,2).10.答案：13解析：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＝a1＋3d，,a1＋9d＝11，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2,d＝1.))故a12＝2＋11＝13.11.答案：eq\f(67,66)解析：設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).12.解：(1)因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝15，,a1＋16d＝39，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝7，,d＝2，))所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.令2n＋5＝91，得n＝43.因?yàn)?3為正整數(shù)，所以91是此數(shù)列中的項(xiàng).(2)設(shè){an}的公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝11，,a1＋7d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝－1.))∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.13.解：(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列.理由如下：因?yàn)閍1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列.(2)由(1)可知，eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，所以an＝eq\f(2,n).14.(1)證明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，整理得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝3(n≥2，n∈N*)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.(2)解：由(1)可得eq\f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝eq\f(1,3n－2).(3)解：λan＋eq\f(1,an)≥λ對(duì)任意的n≥2恒成立，即eq\f(λ,3n－2)＋3n－2≥λ對(duì)任意的n≥2恒成立，整理得λ≤eq\f(（3n－2）2,3n－3)，對(duì)任意的n≥2恒成立.令f(n)＝eq\f(（3n－2）2,3n－3)，則只需滿足λ≤f(n)min即可.因?yàn)閒