初中數(shù)學(xué)競賽講義：第20講-直線與圓

第二十

直線與直線與圓的位置有相交、相切離三種情形既可從直線與圓交點的個數(shù)來判定也可以從圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較來考察．討論直線與圓的位置關(guān)系的重點是直線與圓相切，直線與圓相切涉及切線的性質(zhì)和判定、切線長定理、弦切角的概念和性質(zhì)線定理等豐富的知識，這些豐富的知識對應(yīng)著以下基本圖形、基本結(jié)論：注：點圓的位置關(guān)系和直線圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法距離與半徑的比)，我們稱“由數(shù)定形股定理的逆理也具有這一特點．【題解【例1如圖是圓的徑CB切于，切⊙O于D，交BA延長線于E若，，的為．思點從點，可用切線長定理，從E點看，可用切割線定理，而連OD，則OD⊥，有相似三角形，先求出O的徑．注連圓心與切點是一條常用的輔助線用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形圓的證明與計算中有廣泛的應(yīng)用．【例】如，ABAC⊙O相于BC，A=50°，點圓上異于B的一個動點，則BPC的數(shù)是()A65°B．115°C°和°D．130和°西省中考)思點略【例】如等△ABC的一腰為徑的⊙O交BC于DD作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是的切線．問(1)若點在AB上向點B移，以為心OB為徑的圓的交BC于DE⊥的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成請明理由；33(2)如果AB=AC=5cm，，么圓心在AB的什么位置時，O與AC相?5(2001年黑龍江省中考)思點(1)結(jié)論探索題(2)是條件探索題，從切線的判定方法和性質(zhì)入手，分別畫圖，方能求解．【例】如已eq\o\ac(△,Rt)中，°是AB邊的動點(與點A、B不合)，Q是BC邊的動(點、不合)．當(dāng)∥，且為的點時，求線段PC的；當(dāng)PQ與AC不平行時eq\o\ac(△,，)CPQ能為直角三角形?若可能，求出線段CQ的的取值范圍；若不可能，請說明理由．

(廣州市中考題思點對于(，易發(fā)現(xiàn)只有點能為直角頂點，建立一個研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段的點就是符合要求的點P，直線與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍．注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見問題，判定的基本方法有：從直線與圓交點個數(shù)入手；利用角證明，即證明半徑和直線垂直；運用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑．一個圓的問題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進而可得不同的證法，對于分層次設(shè)問的問題，需整體考慮；︵【例】如圖，在正方形ABCD中AB=1，是以點B為心為半徑的圓的一段︵弧，點是上任意一點（點與A、D不合E作A所在圓的切線，交邊DC于點F，G為點．當(dāng)°，求證點為段中點；設(shè)AE=x，，關(guān)x函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3將DEF沿線EF翻后eq\o\ac(△,D)eq\o\ac(△,)EF，如圖，當(dāng)F=1

時，討ADD與eq\o\ac(△,)F是1否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由．思點圖有多條B的線，由切線長定理可得多對等長線段，這是(1)、(2)的基礎(chǔ)，對于(，由2)出x的，確定E點置，這是解題的關(guān)鍵．注：本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)等三角形判定與性質(zhì)等豐富的知識結(jié)合了待定系數(shù)法數(shù)互助等思想方法，具有較強的選拔功能．學(xué)訓(xùn)圖AB為的徑在AB延長線上PM切于M點OA=

，，那么△PMB的長為．．、PB切⊙O于AB∠°點是⊙O上異于AB的意一點，則∠ACB=．．如圖EC是O的條切線是切點ADO兩點，如果F=46，∠DCF=32，則A的數(shù)是．．如圖，以ABC的為徑O交BC于，點作O切線交ACE，要使DE⊥，則ABC的邊必須滿足的條件是．．ll2

表示直線給下列四個論斷①l∥l②l1

切⊙O于Al

切⊙O于B；④AB是O直徑．若以其中三個論斷作為條件，余下的一個作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個數(shù)()．2．D4．如圖，圓心O在長為的方形ABCD的角線BD上⊙O過B點與AD、DC⌒⌒⌒⌒邊均相切，則⊙O的徑是)A2(

B2(2

．

．．直角梯形ABCD中AD∥，°AD+BC<DC若腰DC上一點P，使⊥，則這樣的()A不存在B只有一個C．只有兩個D．無數(shù)個．如圖，圓內(nèi)接ABC的外角ACH的分與圓交于D點⊥于P，⊥BH于，列結(jié)論：①；②AD=DB；③＝BHDH為的切線，其中一定成立的是)A①②④B．①③④C．③④D．①②③．如圖，⊙O是ABC的外接圓，已知∠ACB=45°，∠ABC=120，O的徑為1，求弦AC的長；若為CB的長線上一點，試確定P點位置，使與⊙O相，并證明你的結(jié)論．10如圖是O的直徑，點在BA延長線上，弦于，PC．求證：PC是O切線；若OE：EA=1，且＝6，求⊙O的徑；求∠PCA的．(1)如圖已知直線AB過心交O于AB線AF交于F(與B合)，直線l

交⊙O于交于E且AF垂直足GACAD證∠∠CAG；AC·AD=AEAF在問題(1)，當(dāng)直線l

向上平行移動與O相時，其他條件不變．請你在圖b中出變化后的圖形并對照圖a標(biāo)字母；問題中的兩個結(jié)論是否成?如果成立，請給出證明；如不成立，請說明理由．12如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠°，⊙O分別與、AC相于、，心在PCC．D．PCC．D．BC上若，，則⊙O的徑等于．13如圖是圓O的徑，點M半徑OA的點，點P在段AM上運動(不與點M重合，點在半圓O上動，且總保持PQ=PO過點Q作⊙的線交BA的長于點．當(dāng)∠QPA=60°時，請你對QCP的狀出猜想，并給予證明．當(dāng)⊥AB時QCP的狀是三形．由(1)、(2)得出的結(jié)論，請進一步猜想當(dāng)點P在段AM上動到任何位置時QCP一定是三形．14如圖，已知AB為⊙O的徑切⊙O，CD切⊙O于D，交BA的長線于E，若，ED=2則的為)A2B．3．3D415如圖PB是的條切線A切，直線交O于CD交E，⌒⌒AF為⊙O的徑，下列結(jié)論：∠∠AOP(2)BC=DF；(3)PCPD=PE·，中正確結(jié)論的個數(shù))A3個B．2個C個D．16如圖，已知△ABC，點A作接圓的切線交的長線于點P，

，D2在AC上且

1CD2

，延長交AB于E，則

的值為()A

14

B

21242217圖知為半圓O的徑AP為點A的圓的切線．AB上取一點點CA不合作圓的切線CD交AP于D點C作⊥AB為結(jié)BD交CE于．⌒當(dāng)點C為AB的點如圖，求證CF；⌒當(dāng)點C不的點時(如圖判斷CF與相等關(guān)系是否保持不變證明你的結(jié)論．18如圖，ABC中∠C=90°，BC=3，點D在AC邊，以D為心的⊙與于點E．求證：ABC設(shè)⊙與BC于點F當(dāng)CF=2時，求CD長；設(shè)a試給一個a值D與BC沒公共點并說明你給出a的符合的要求19如圖PA、與切A、點是意一條割線，且交⊙O點、，點D．證：

20如圖，O與x軸交于A、兩，與交于、兩點，圓心ˊ的坐標(biāo)是(，一1)，半徑是5，求A、、、四點的坐標(biāo)；求經(jīng)過點D的線的解析式；問過點A的線與過點D的線是否垂?若直，請寫出證明過程；若不垂直，試說明理由．21當(dāng)進入博物館的展覽