【全套解析】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 67 數(shù)學(xué)歸納法課件 （理） 新人教A

第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原因，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的基本步驟．2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.1．歸納法由一系列有限的特殊事例得出

的推理方法叫歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為

歸納法和

歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法設(shè){Pn}是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：(1)證明起始命題

(或

)成立；(2)在假設(shè)

成立的前提下，推出

也成立，那么可以斷定{Pn}對一切正整數(shù)成立．一般結(jié)論完全不完全P1P0PkPk＋13．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證題的步驟(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值

時(shí)，命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)

(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)

時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．n＝n0n＝kn＝k＋11．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步應(yīng)驗(yàn)證(

)A．n＝1

B．n＝2C．n＝3 D．n＝4答案：C2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N*)的過程中，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為(

)A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23解析：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊有n＋2項(xiàng)，即有3項(xiàng)和，∴為1＋2＋22.答案：C5．在在數(shù)數(shù)列列{an}中，，a1＝1，且且Sn，Sn＋1,2S1成等等差差數(shù)數(shù)列列(Sn表示示數(shù)數(shù)列列{an}的前前n項(xiàng)和和)，則則S2，S3，S4分別別為為________；由由此此猜猜想想Sn＝________.解析析：：由Sn，Sn＋1,2S1成等等差差數(shù)數(shù)列列，，得得2Sn＋1＝Sn＋2S1，∵S1＝a1＝1，∴∴2Sn＋1＝Sn＋2.熱點(diǎn)點(diǎn)之之一一數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法的的基基本本原原理理數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法是是一一種種只只適適用用于于與與自自然然數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān)的的命命題題的的證證明明方方法法，，它它的的表表述述嚴(yán)嚴(yán)格格而而且且規(guī)規(guī)范范，，兩兩個(gè)個(gè)步步驟驟缺缺一一不不可可.第一一步步是是遞遞推推的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)，，第第二二步步是是遞遞推推的的依依據(jù)據(jù)，，第第二二步步中中，，歸歸納納假假設(shè)設(shè)起起著著“已知知條條件件”的作作用用，，在在第第二二步步的的證證明明中中一一定定要要運(yùn)運(yùn)用用它它，，否否則則就就不不是是數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法.第二二步步的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是“一湊湊假假設(shè)設(shè)，，二二湊湊結(jié)結(jié)論論”.即時(shí)訓(xùn)訓(xùn)練用用數(shù)數(shù)學(xué)歸歸納法法證明明“當(dāng)n為正奇奇數(shù)時(shí)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，第二二步歸歸納假假設(shè)應(yīng)應(yīng)寫成成()A．假設(shè)設(shè)n＝2k＋1(k∈N*)正確，，再推推n＝2k＋3正確B．假設(shè)設(shè)n＝2k－1(k∈N*)正確，，再推推n＝2k＋1正確C．假設(shè)設(shè)n＝k(k∈N*)正確，，再推推n＝k＋1正確D．假設(shè)設(shè)n＝k(k≥1)正確，，再推推n＝k＋2正確解析：：首先要要注意意n為奇數(shù)數(shù)，其其次還還要使使“n＝k”能取到到1，故選選B.答案：：B熱點(diǎn)之之二用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法證證明有有關(guān)問問題用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法可可以證證明與與正整整數(shù)有有關(guān)的的恒等等式、、不等等式、、整除除性問問題和和幾何何問題題等，，應(yīng)用用數(shù)學(xué)學(xué)歸納納法要要注意意其基基本步步驟.熱點(diǎn)之之三歸納、、猜想想與證證明“歸納——猜想——證明”的模式式，是是不完完全歸歸納法法與數(shù)數(shù)學(xué)歸歸納法法綜合合應(yīng)用用的解解題模模式.其一般般思路路是：：通過過觀察察有限限個(gè)特特例，，猜想想出一一般性性的結(jié)結(jié)論，，然后后用數(shù)數(shù)學(xué)歸歸納法法證明明.這種方方法在在解決決探索索性問問題、、存在在性問問題或或與正正整數(shù)數(shù)有關(guān)關(guān)的命命題中中有著著廣泛泛的應(yīng)應(yīng)用.其關(guān)鍵鍵是歸歸納、、猜想想出公公式.即時(shí)訓(xùn)訓(xùn)練設(shè)數(shù)列列{an}滿足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)當(dāng)a1＝2時(shí)，求求a2，a3，a4，并由由此猜猜想出出an的一個(gè)個(gè)通項(xiàng)項(xiàng)公式式；(2)當(dāng)a1≥3時(shí)，證證明對對所有有的n≥1，有an≥n＋2.解：(1)由a1＝2，得a2＝a12－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a32－3a3＋1＝5，由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)項(xiàng)公式：an＝n＋1(n≥1)．(2)證明：用數(shù)數(shù)學(xué)歸納法法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥3＝1＋2，不等式成成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，也就是說，，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1≥(k＋1)＋2.根據(jù)①和②②，對于所所有n≥1，都有an≥n＋2.通過分析近近年的高考考試題可以以看出，不不但考查用用數(shù)學(xué)歸納納法去證明明現(xiàn)成的結(jié)結(jié)論，還考考查用數(shù)學(xué)學(xué)歸納法證證明新發(fā)現(xiàn)現(xiàn)的結(jié)論的的正確性．．?dāng)?shù)學(xué)歸納納法的應(yīng)用用主要出現(xiàn)現(xiàn)在數(shù)列解解答題中，，一般是先先根據(jù)遞推推公式寫出出數(shù)列的前前幾項(xiàng)，通通過觀察項(xiàng)項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的的關(guān)系，猜猜想出數(shù)列列的通項(xiàng)公公式，再