《電路分析》課件1第3章

第3章線性電路的一般分析方法和基本定理3.1支路電流法3.2網孔電流法3.3節(jié)點電位(電壓)法3.4疊加定理3.5戴維南定理3.6最大功率傳輸定理小結習題33.1支路電流法支路電流與支路電壓是電路分析的基本對象。直接以支路電流作變量，分別對節(jié)點和網孔列寫KCL方程和KVL方程的方法，即為支路電流法。圖3.1為一線性電阻電路，假定各電阻和電源值均已知，求各支路電流。圖3.1復雜電路舉例根據KCL，可對四個節(jié)點列出四個KCL方程：節(jié)點a:節(jié)點b：節(jié)點c：節(jié)點d：(3-1)

從這些方程很容易發(fā)現，任一方程都可由其余三個方程相加并每次改變符號后得到，因而它們并不是相互獨立的，但任何三個方程都是彼此獨立的。故可得出結論：對具有四個節(jié)點的電路只能列出三個獨立的KCL方程，因此只能有三個獨立節(jié)點，余下的一個節(jié)點稱為非獨立節(jié)點。至于哪些點作獨立節(jié)點原則上是任意的。例如在圖3.1所示電路中，若選節(jié)點a、b、c為獨立節(jié)點，則式(3-1)的前三項即為獨立的KCL方程。推而廣之，對具有n個節(jié)點的電路，只能有且一定有n=-1個獨立節(jié)點，也只能且一定能列出n-1個獨立的KCL方程。欲求解六個支路電流，需再建立三個KVL方程。為確保方程的獨立性，每次選擇的回路中至少應包含一條新支路。在此前提下，選用哪些回路是任意的。實踐證明：對于平面電路，列寫的KVL獨立方程數正好等于網孔數。故列寫三個網孔的KVL方程即可。

按順時針方向繞行并結合歐姆定律可得網孔Ⅰ：網孔Ⅱ：網孔Ⅲ：(3-2)

此三個方程以外的其它方程，不難證實不是獨立的。如選取最大回路列寫方程，有R1I1-R2I2-R3I3=US1-US2-US3該方程由式(3-2)三項相加得到，同樣，再取別的回路，也不會得到的獨立方程。取式(3-1)其中的任意三項與式(3-2)聯立求解，即可得出六個支路電流。支路電流法的一般步驟可歸納如下：(1)在給定電路圖中設定各支路電流的參考方向。(2)選擇n-1個獨立節(jié)點，寫出n-1個KCL方程。(3)選網孔為獨立回路，并設定其繞行方向，列寫出各網孔的KVL方程。(4)聯立求解上述獨立方程，得出各支路電流。

例3.1

求圖3.2所示電路中的各支路電流。

解

(1)由于該電路只有兩個節(jié)點，故只能列一個KCL獨立方程，選節(jié)點b為參考點，則節(jié)點a：I1+I2-I3=０

(2)按順時針方向列出兩個網孔的KVL獨立方程2I1-4I2=15-104I2+12I3=10圖3.2例3.1圖(3)聯立求解（Δ=-80,Δ1=-120,Δ2=40,Δ3=-80）,得I1=1.5Ａ,I2=-0.5Ａ,I3=1Ａ其中I2為負值，說明假定方向與實際方向相反。

例3.2

電路如圖3.3所示,用支路電流法列寫出求解各支路電流所需的聯立方程組。圖3.3例3.2圖

解設網孔繞向如圖3.3所示，可列一個獨立節(jié)點方程和兩個網孔方程，即I1-I2-I3=０網孔Ⅰ：R1I1+R2I2-US=０網孔Ⅱ：-R2I2+(R3+R4)I3–μU1=０建立輔助方程，將控制量Ｕ1用支路電流表示，即U1=R1I1

將以上四個方程聯立即為所求。練習與思考

3.1-1電路如圖3.4所示，試用支路電流法列寫出其所需方程組。圖3.4題3.1-1圖

3.1-2在圖3.5所示電路中，若要求各支路電流，試列出所需的聯立方程組。圖3.5題3.1-2圖3.2網孔電流法支路電流法列寫方程盡管很容易，但當方程數超過三個時計算卻很麻煩，故有必要尋求用列寫較少方程求解支路電流的方法，網孔法和節(jié)點法即能達此目的。假想沿網孔環(huán)流的電流稱為網孔電流，如圖3.6所示電路中的IⅠ、IⅡ，其參考方向是任意假定的。直接以網孔電流為變量列寫方程求解電路的方法稱為網孔電流法。圖3.6網孔電流法對于圖3.6所示電路，若用支路電流法求解，則需列3個方程如下：(3-3)設定網孔電流后，由圖3.6可知，各支路電流都可以由網孔電流表示，即I1=IⅠ，I3=IⅡ,I2=IⅠ－IⅡ，可見，若能求出網孔電流，便可求出各支路電流。必須指出：(1)設想的網孔電流只是一種計算手段。實際上在一條支路中并不能觀察到兩個網孔電流，客觀存在的仍是一個合成的支路電流。

(2)設想的網孔電流并不違背KCL定律，因為網孔電流沿著閉合路徑流動，當它流經某一個節(jié)點時，必然是從該節(jié)點流入，又從該節(jié)點流出。因此，它們能自動地服從KCL定律。

(3)各網孔電流之間相互獨立，不受ＫＣＬ約束，也不能互求，因此網孔電流變量具有獨立性，可作為電路分析的變量。

將式(3-3)中的各支路電流用網孔電流替代，經整理，則有(3-4)（R1+R2）IⅠ－R2IⅡ=US1－US2－R2IⅠ+(R2+R3)IⅡ=US3+US2

很明顯，需要求解的方程數目減少了。顯然，式（3-4）是以網孔電流IⅠ、IⅡ為變量且將回路的繞行方向取成與網孔電流的參考方向一致情況下所列寫的KVL方程。在式（3-4）中，令則式（3-4）可寫成R11IⅠ+R12IⅡ=US11R21IⅠ+R22IⅡ=US22

(3-5)式（3-5）中各方程稱為網孔電壓方程，簡稱網孔方程。其中R11、R22分別稱為網孔Ⅰ、Ⅱ的自電阻，等于各自網孔中全部電阻之和，恒為正值。R12、R21稱為互電阻，可正可負；當相鄰兩網孔電流通過公共支路時的方向一致，則互電阻為正值；不一致時，互電阻為負值。在選定網孔電流都是順時針（或都是逆時針）方向的情況下，互電阻都是負的。US11、US22為網孔Ⅰ、Ⅱ中所有電壓源電壓的代數和。各電壓源前面符號的確定原則是：按網孔電流的箭頭方向走，先遇到負極的電壓源前面取“+”號，反之取“-”號。

式(3-5)為網孔電流法常用的規(guī)范方程形式，很有規(guī)律，便于記憶，有助于對具體電路通過觀察而寫出所需的方程組。上面討論的是具有三個網孔的情況，當網孔多于兩個時(設為m個)，則規(guī)范方程形式應為(3-6)網孔電流法的一般步驟可歸納如下：（1）設定各網孔電流的參考方向，通常取同為順時針（或同為逆時針）。（2）建立與網孔數相等的KVL方程組。通常先計算出自電阻、互電阻及各網孔電壓源的代數和，再按規(guī)范方程形式寫出方程組（簡單的也可直接列方程組）。（3）求解方程組，可得各網孔電流值。（4）依支路電流與網孔電流的關系求出各支路電流（或其它所要求）。對含理想電流源和受控源電路的處理辦法及技巧將在例題中具體體現。例3.3

試求圖3.7(a)所示電路中的電流I

。圖3.7例3.3圖

解

(1)將原電路變換成圖3.7(b)所示電路（減少一個網孔），設各網孔電流如圖中所示，則有(2)將上述數值代入規(guī)范方程，則有(3)聯立求解（Δ=24,Δ1=36,Δ2=10,Δ3=26）,得則例3.4

試求圖3.8(a)所示電路中各支路電流及電流源兩端電壓U

。圖3.8例3.4圖

解可將原電路改畫成如圖3.8(b)所示電路，讓理想電流源只屬于右邊網孔。設定各網孔電流方向如圖3.8(b)中所示。則ＩⅡ=2A，故只對網孔Ⅰ列KVL方程即可。于是有５IⅠ+3ＩⅡ=４以IⅡ=2Ａ代入上式，得５IⅠ+3×2=４所以各支路電流為電流源兩端電壓為U=5×2+3×1.6=14.8V

例3.5

試求圖3.9所示電路中的各支路電流。

解（1）設電流源兩端電壓為U，并設各網孔電流如圖3.9(b)中所示，則有圖3.9例3.5圖(2)將上述數值代入規(guī)范方程，則有４IⅠ-IⅡ-IⅢ=10-U

-IⅠ+４IⅡ-IⅢ=0-IⅠ-IⅡ+４IⅢ=U

(3)因U為未知量，故需再增加一個方程，依網孔電流與電流源的關系，有IⅠ-IⅢ=1(4)聯立求解（Δ=-20,Δ1=-50,Δ2=-20,Δ3=-30），得(5)各支路電流為

解法2將原電路改畫成圖3.10所示電路，仍有三個網孔，但1A電流源為網孔Ⅰ所獨有，即I1=1A，不必再求，只須列寫網孔Ⅱ、Ⅲ的KVL方程。依圖有圖3.10回路電流法－IⅠ+4IⅡ－2IⅢ=0－2IⅠ－2IⅡ+6IⅢ=10將IⅠ=1A代入并整理后，可得

4IⅡ－2IⅢ=1－2IⅡ+6IⅢ=12聯立求解（Δ=20,Δ1=30,Δ2=50）得

IⅡ=1.5A

IⅢ=2.5A各支路電流為

I１=IⅢ=2.5A

I2=IⅡ=1.5A

I3=IⅠ=1A

I4=IⅡ－IⅠ=0.5A

I5=IⅢ－IⅡ=1A

I6=IⅢ－IⅠ=1.5A

例3.6

用網孔電流法分析圖3.11所示電路。

解對含受控源電路，將受控源與獨立源同樣處理，用待求的網孔電流表示受控源中的受控量，即增加輔助方程。

(1)依圖中設定的網孔電流方向，則有圖3.11例3.6圖(2)將上述數值代入規(guī)范方程，則有(3)建立輔助方程(4)將上述四個方程整理后，可得(5)聯立求解(Δ=10,Δ1=25,Δ2=8,Δ3=11)，得

例3.7

求圖3.12所示電路中的I1、I2、I3。

解

(1)很明顯，15Ａ電流源為左邊網孔所獨有，故IⅠ=15Ａ。

(2)網孔Ⅱ的KVL方程為即圖3.12例3.7圖(3)根據網孔電流的關系有而Ｕ1=3(IⅢ-IⅡ)代入并整理后,可得聯立求解（Δ=15,Δ1=165,Δ2=255）,得所以練習與思考

3.2-1

電路如圖3.13所示，試列寫出其網孔方程組，并寫出各支路電流與網孔電流的關系式。圖3.13題3.2-1圖

3.2-2

電路如圖3.14所示，試用網孔電流法求通過6Ω電阻的電流I。圖3.14題3.2-2圖3.2-3

電路如圖3.15所示，試用網孔電流法求電流I。圖3.15題3.2-3圖3.2-4

試列寫出如圖3.16所示電路的網孔電流方程組。圖3.16題3.2-4圖3.3節(jié)點電位(電壓)法網孔電流法與支路電流法相比，由于避免了列寫節(jié)點電流方程，因而簡化了計算。但對于節(jié)點少而網孔多的電路，用節(jié)點電位法(亦稱節(jié)點電壓法)則更顯簡捷。直接以獨立節(jié)點電位為變量列寫其KCL方程進行求解的方法稱為節(jié)點電位法。獨立方程的個數就等于獨立節(jié)點的個數,即n－1個。非獨立節(jié)點就是計算各獨立節(jié)點電位的參考點。哪些節(jié)點作獨立節(jié)點原則上也是任意的。圖3.17節(jié)點電位法對于圖3.17電路，假定取節(jié)點4作為參考點，即令φ4=0,則節(jié)點1、2、3為獨立節(jié)點。設各支路電流的參考方向如圖中所示，則對三個獨立節(jié)點可列KCL方程為節(jié)點1節(jié)點2節(jié)點3(3-7)為使方程中含有變量φ1、φ2和φ3,則根據歐姆定律，可得(3-8)將式(3-8)代入式(3-7),并經整理后，得(3-9)

式(3-9)中各方程稱為節(jié)點電位方程,從這個方程組解出節(jié)點電位值后,代入式(3-8),就可求出各支路電流。應當指出：(1)節(jié)點電位方程是KCL方程,只是將電流表示成電導與電位相乘的形式而已。

(2)各獨立節(jié)點電位之間相互獨立，不受KVL約束。它們不能互求，因此節(jié)點電位變量具有獨立性，可作為電路分析的變量。在式(3-9)中,令這樣式(3-9)可寫成(3-10)其中Ｇ11、G22、Ｇ33稱為節(jié)點1、23的自電導，它們等于與各節(jié)點相連接的各支路電導之和,恒為正值。Ｇ12、G13、Ｇ23稱為互電導,恒為負值。ＩS11、ＩS22、ＩS33為流入各節(jié)點的電流源電流的代數和，確定各電流源正負的原則是：流入節(jié)點者取“+”號，流出節(jié)點者取“-”號。

式(3-10)為節(jié)點電位法常用的規(guī)范方程形式，很有規(guī)律,便于記憶，有助于對具體電路通過觀察寫出所需要的方程組。同樣式(3-10)可以推廣為更多節(jié)點的情況。(3-11)節(jié)點電位法的一般步驟可歸納如下：（1）確定參考節(jié)點（其余均為獨立節(jié)點）。（2）建立與獨立節(jié)點數相等的KCL方程組。通常先計算出自電導、互電導及流入各節(jié)點電流源的代數和，再按規(guī)范方程形式寫出方程組（簡單的也可直接列方程組）。（3）求解方程組，可得各節(jié)點電位值。（4）依歐姆定律和各節(jié)點電位值求出各支路電流（或其它所要求）。對含理想電壓源和受控源電路的處理辦法及技巧將在例題中具體體現。例3.8

求圖3.18所示電路中的電流I。解

(1)建立方程組：圖3.18例3.8圖故得節(jié)點方程為節(jié)點1節(jié)點2節(jié)點3(2)聯立求解（Δ=12,Δ1=18,Δ2=5,Δ3=13），得(3)

例3.9用節(jié)點電位法分析圖3.19所示電路。

解因與2A電流源串聯的1Ω電阻不會影響該支路電流，故在列寫節(jié)點方程時均不予考慮。由于參考點可以任意設定，則該題將有四種求解方案，一一列舉，以資比較。

(1)選節(jié)點1為參考點，即φ1=0，給理想電壓源支路設一電流I，建立節(jié)點方程組節(jié)點2 2φ2－φ3=I節(jié)點3－φ2+2φ3

－φ4=－2節(jié)點4－φ3+2φ4=－I圖3.19例3.9圖由于I為未知量，需再增加一個輔助方程Φ2－φ4=3聯立求解上述四方程（Δ=－4,Δ2=－2，Δ3=8，Δ4=10），得φ2=0.5V，φ3=－2V,φ4=－2.5V

(2)選節(jié)點2為參考點，即φ2=0，則φ4=-3V，建立節(jié)點方程組節(jié)點1 2φ1-φ4=2節(jié)點3 2φ3-φ4=-2即

2φ1=2+φ4=2-3=-1,φ1=-0.5V

2φ3=-2+φ4=-2-3=-5,φ3=-2.5V(3)選節(jié)點3為參考點，設φ3=0，建立節(jié)點方程組節(jié)點1 2φ1-φ2-φ4=2

節(jié)點2 -φ1+2φ2=I

節(jié)點4 -φ1+2φ4=-I

輔助方程φ2-φ4=3聯立求解（Δ=-4,Δ1=-8,Δ2=-10,Δ4=2）,得

φ1=2V，φ2=2.5V，φ4=-0.5V(4)選節(jié)點4為參考點，即φ4=0,則φ2=3V，建立節(jié)點方程組節(jié)點1 2φ1-φ2=2

節(jié)點3 -φ2+2φ3=-2聯立求解，得φ1=2.5V，φ3=0.5V

從以上四種設定不同參考點進行求解的過程可見，將和理想電壓源相連的節(jié)點設為參考點所列方程數目少，如(2)和(4)兩種方案，求解過程簡捷。

例3.10

試用節(jié)點電位法，求圖3.20所示電路中的電流Ｉ。

解該電路只有兩個節(jié)點，用節(jié)點電位法最為簡便，只需列一個獨立節(jié)點方程，設下邊節(jié)點為參考點時，有這個方程的普遍形式為或(3-12)圖3.20例3.10圖

式(3-12)稱為彌爾曼定理，實際上是節(jié)點電位法的一種特殊情況。在式(3-12)中，電壓源的各項實際上是代數和。凡參考正極連接獨立節(jié)點的，該項取“+”，反之取“-”。將相關數值代入，解之，可得

例3.11

電路如圖3.21所示，試求節(jié)點電位φ1。

解注意６Ｓ和3Ｓ串聯后的總電導應為2Ｓ。圖3.21例3.11圖將上述數據代入規(guī)范方程可得輔助方程為Ｉ=0.8φ2

整理上述方程后，可得3φ1+1.4φ2=４-φ1+1.4φ2=-８聯立求解（Δ=5.6,Δ1=16.8,Δ2=-20），得φ1=3Ｖ

例3.12

用節(jié)點電位法分析圖3.22(a)所示電路。

解設參考點如圖3.22(b)中所示，由于受控電壓源是理想的CCVS，因此在列節(jié)點方程時，應先設定出其中的電流Ｉ0，然后列寫節(jié)點方程及相關的輔助方程。圖3.22例3.12圖將上述數據代入規(guī)范方程，可得９φ1-４φ3=25-Ｉ0

４φ2-3φ3=3+Ｉ0

-４φ1-3φ2+７φ3=-11輔助方程為經整理，可得聯立求解，得練習與思考3.3-1

電路如圖3.23所示，用節(jié)點法求φ1、φ2值。圖3.23題3.3-1圖3.3-2

電路如圖3.24所示,試列寫出其節(jié)點電位方程組。圖3.24題3.3-2圖3.3-3

電路如圖3.25所示，試用節(jié)點電位法求各支路電流。圖3.25題3.3-3圖3.3-4

列寫如圖3.26所示電路的節(jié)點電位方程，并整理。圖3.26題3.3-4圖3.3-5

若節(jié)點方程組為1.6φ1-0.5φ2-φ3=1-0.5φ1+1.6φ2-0.1φ3=０-φ1-0.1φ2+3.1φ3=０試畫出其電路圖。

3.3-6

與理想電流源串聯的電阻，在用網孔法求解時要考慮其數值，而用節(jié)點法求解時卻不必考慮其數值，為什么?

本節(jié)內容對應習題為3.11~3.17。3.4疊加定理

疊加定理體現了線性電路的基本性質，是分析線性電路的理論基礎，也是線性電路的一個重要定理。下面用圖3.27(a)的線性電阻電路加以說明(不作嚴密推證)。該電路的網孔電流方程為網孔Ⅰ：(R1+R2)IⅠ-R2

III=US

網孔Ⅱ：IⅡ=-IS

聯立求解，可得(3-13)

由式(3-13)可見，電流I1由相互獨立的兩部分組成，除a、b值完全由電路結構與元件參數確定外，一部分只與US有關，另一部分只與IS有關。當IS=0（即電流源開路，電路其余部分保持不變），由US單獨作用，如圖3.27（b)所示，此時有

當US=0時(即將電壓源短路，其余保持不變)，由IS單獨作用，如圖3.27(c)所示，此時有由以上兩式得

此結果與式(3-13)完全一致，據此可得出結論：兩個獨立源US和IS同時作用在電路中產生的響應電流I1，等于每個獨立源單獨作用時在電路中產生的響應I1′

和I1”的代數和。圖3.27疊加定理由上述結論可得疊加定理：線性電路中，任一支路的響應(電壓或電流)都等于電路中各獨立源(激勵)單獨作用時在該支路所產生響應的代數和。用疊加定理分析電路的步驟實際上就是單個獨立源作用于電路中，求支路電流或電壓的步驟的重復，故不贅述。應用疊加定理時應注意以下幾點：

(1)當一個獨立源單獨作用時，其它獨立源應為零值（即獨立電壓源應短路，而獨立電流源應開路），但均應保留其內阻。

(2)疊加時，必須注意各個響應分量是代數和，因此要考慮總響應與各分響應的參考方向（或參考極性）。凡與總響應的取向一致，疊加時取“+”號，反之取“-”號。

(3)用疊加定理分析含受控源的電路時，不能把受控源和獨立源同樣對待。因為受控源不是激勵，只能當成一般元件將其保留。

(4)該定理只適用于求解線性電路中的電壓和電流，而不能用來計算電路的功率，因為功率與電流或電壓之間不是線性關系（而是平方關系）。線性電路除疊加性外，還有一個重要性質就是齊次性（或稱齊次定理）。其內容為：當線性電路中只有一個激勵時，響應與激勵成正比。具體應用見例3.15。例3.13

用疊加定理求圖3.28(a)所示電路中的I1和U。圖3.28例3.13圖

解因圖中獨立源數目較多，每一獨立源單獨作用一次，需要做4次計算，比較麻煩。故可采用獨立源“分組”作用的辦法求解。

(1)兩個電壓源同時作用時，可將兩電流源開路，如圖3.28(b)所示。依圖有(2)兩個電流源同時作用時，可將兩電壓源短路。如圖3.28(c)所示。因2A電流源單獨作用時，3A電流源開路（使得中間回路斷開），故I1″僅由3A電流源決定。依圖有所以

例3.14

用疊加定理求圖3.29(a)所示電路中的U和I

。解

(1)12V電壓源單獨作用時的電路如圖3.29(b)所示，根據KVL有12=(2+2)I′+2I′=6I′所以

I′=2ＡＵ′=-2Ｉ′+12=８V圖3.29例3.14圖(2)3A電流源單獨作用時的電路如圖3.29(c)所示，依圖有U″=2(3+I″)+2I″=6+4I″U″=-2I″即6+4Ｉ″=-2I″I″=-1ＡU″=2Ｖ

所以U=U′+U″=８+2=1０ＶI=I′+I″=2-1=1Ａ

例3.15

求圖3.30所示電路中的各支路電流。

解該電路為梯形電路，利用齊次定理求解比較方便。設，則與UＳ=129V相比較，電源電壓增大了129/32.25倍，即K=129/32.25=４，因此，各支路電流也相應增大４倍。所以

本例中所用的這種方法稱為“倒推法”，對于計算梯形電路元件較多時尤顯方便。圖3.30例3.15圖

例3.16

工業(yè)生產自動化控制系統(tǒng)中的數模變換梯形DAC解碼網絡如圖3.31(a)所示。其中20、21、22分別與輸入的二進制數的第一、二、三位相對應。當某位為“1”時，對應的開關接電壓US上；當某位為“０”時，對應開關接地。圖中開關位置表明輸入為“110”。從輸出電壓Uo的數值就可得知輸入二進制的對應代碼。試說明其工作原理。圖3.31例3.16圖

解其工作原理可用疊加定理來說明。

(1)當開關22接US其它都接地時，如圖3.31(b)所示，可等效成圖(c)，依圖有(2)當開關21接US其它都接地時，如圖3.31(d)所示，可等效成圖(e)，依圖有其中US/3為圖3.31(e)中b點與地之間的電壓。(3)當開關20接US其它都接地時，如圖3.31(f)所示，可等效成圖（g)，依圖有其中為圖3.31(g)中a與地的電壓，為圖3.31(g)中b點與地的電壓。(4)因此，當三個開關全接US，即輸入的二進制代碼為“111”時，可得若US=12V，則此時Uo=4+2+1=7為對應二進制代碼“111”的輸入電壓值(模擬量)，若輸入二進制代碼為“110”，則為對應二進制代碼“110”的輸出電壓值(模擬量)。同理，依次對應二進制代碼101、100、011、010、001、000的輸入電壓值(模擬量)為“5”、“4”、“3”、“2”、“1”、“0”。

例3.17

圖3.32所示電路中的線性無獨立源網絡，其內部結構不知道。已知在US和IS共同作用時，實驗數據為

(1)US=1V，

IS=1A，Uo=０。

(2)US=10V，IS=０，Uo=1V。試求US=０，IS=10Ａ時的Uo值。

解本例是應用疊加定理研究線性網絡激勵與響應關系的實驗方法。由于US和IS為兩個獨立的電源，根據疊加定理，Uo可寫成Uo=K1US+K2IS

代入兩組數據，得K1×1+K2×1=０K1×10+K2×０=1聯立求解得K1=0.1，K2=-0.1因此Uo=0.1US-0.1IS

US=0，IS=1０Ａ時的Uo為Uo=0.1×0-0.1×10=-1V圖3.32例3.17圖練習與思考3.4-1

試用疊加定理求圖3.33所示電路中的I1和I2。圖3.33題3.4-1圖3.4-2

試用疊加定理求圖3.34所示電路中的U2。圖3.34題3.4-2圖3.4-3

試用疊加定理求圖3.35所示電路中的電流Ｉ。圖3.35題3.4-3圖

3.4-4圖3.36所示電路，N為含獨立源的電阻電路。已知，當US=０時，I=４mＡ，當US=10Ｖ時,I=-2mA。求當US=-15Ｖ時的I值。圖3.36題3.4-4圖3.5戴維南定理分析電路時經常遇到只研究某一支路電壓（或電流）的情況，此時雖然也可以使用網孔法或節(jié)點法求解，但通常都不如用戴維南定理方便。為方便敘述，先介紹二端網絡的含義。通常把具有兩個端鈕的電路稱為二端網絡，按其中是否含獨立源，分有源和無源兩種。對于圖3.37(a)電路，只研究R支路的電流（或電壓）時，則將R以外部分（圖中虛線框內）看成一個有源二端網絡而畫成如圖3.37(b)形式。并將所研究部分（圖中的R支路）稱做外電路。圖3.37有源二端網絡戴維南定理指出：一個線性有源二端網絡N如圖3.38(a)所示，對外電路而言，總能等效成一個電壓源模型，如圖3.38(b)所示；其電壓等于有源二端網絡的開路電壓Uoc，如圖3.38(c)所示；其內阻R0等于網絡N中所有獨立源均為零時所得無源網絡N0的等效內阻Rab，如圖3.38(d)所示；把Uoc串聯R0的模型稱為戴維南等效電路。圖3.38戴維南定理戴維南定理可以通過替代定理結合疊加定理很容易得到證明，但因涉及到證明替代定理，故只給出定理不作證明。用戴維南定理可將一個任意復雜的有源二端網絡用一個實際電壓源等效代替，其關鍵是：正確理解定理和求Uoc、R0，Uoc的計算方法視電路形式而定。前面介紹過的串并聯等效、分壓分流關系、網孔法、節(jié)點法、疊加定理等均可使用。總而言之，哪種方法求Uoc簡便(作為讀者，簡便應理解為得心應手更恰當)就用那種方法。R０計算將在后面專門介紹。具體運算步驟其實就包含在定理中，這將在后面的例題中體現，此處不再贅述。注意：畫戴維南等效電路時，電壓源的極性必須與開路電壓的極性保持一致。另外，當等效內阻不能用電阻串、并聯公式計算時，可用下列三種方法求得：

(1)外加電壓法：使網絡N中所有獨立源均為零值(受控源均保持不變)，得一無源二端網絡N0，然后在N0兩端鈕上施加電壓U，產生端鈕電流I，如圖3.39所示，則其實，這種方法在例2.13中已經用到過。圖3.39用外加電壓法求R0

(2)短路電流法：分別求出有源網絡N的開路電壓Uoc和短路電流ISC(注意：求ISC時有源網絡N內所有獨立源和受控源均保持不變)。由圖3.40(b)可見由此可得

應注意：當Uoc=ISC=0時，此法失效。對含受控源電路，求R0多用上述兩種方法。（3）外接已知電阻測電壓法：在有源二端網絡的兩端接上阻值已知的電阻RL，然后分別測出網絡與RL斷開、接通時的電壓Uoc和U，則

用電流源模型也可以等效代替線性有源二端網絡，這就是諾頓定理。戴維南定理和諾頓定理統(tǒng)稱為等效電源定理，因篇幅所限就不細說諾頓定理了。圖3.40用短路電流法求R0例3.18

用代文寧定理求圖3.41(a)電路中I、U。圖3.41例3.18圖

解根據代文寧定理，將R支路以外的其余部分所構成的二端網絡，用一個電壓源Uoc和電阻R0相串聯去等效代替。

(1)求Uoc：將R支路斷開，如圖3.41(b)所示。用節(jié)點電位法可求得(2)求R0：將2V電壓源短路，而將1A電流源開路，如圖3.41(c)所示?？汕蟮?/p>

(3)戴維南電路與待求支路連接后如圖3.41(d)所示，則

例3.19試用戴維南定理求圖3.42(a)所示電路中流過4Ω電阻的電流I。圖3.42例3.19圖

解若直接求4Ω電阻以左的等效電壓源，則計算開路電壓將會很麻煩。故可逐次應用戴維南定理。先求圖3.42(a)中ab以左的代文寧等效電路，于是有Uab=1×2+2=４ＶRab=2Ω這樣可得圖3.42(b)。再求圖中cd以左的戴維南等效電路，于是有Ucd=1×(2+2)+４=８VRcd=2+2+2=６Ω這樣可得圖3.42(c)。再求圖中ef以左的戴維南等效電路，于是有最后得圖3.42(d)。由圖可求得例3.20

用代文寧定理求圖3.43(a)中的電流I1。

圖3.43例3.20圖

解先將9Ω支路斷開，并將CCCS變換成CCVS，如圖3.43(b)所示。

(1)求Uoc：由圖3.43(b)可得即4Ｉ′=20-16Ｉ′所以Ｉ′=1A(2)求短路電流ISC，由圖3.43(c)，用節(jié)點電位法可得所以φ1=17.6Ｖ則(3)由所求Uoc和ISC求R０

(4)戴維南電路與待求支路連接后如圖3.43(d)所示，于是得例3.21

求圖3.44(a)所示的戴維南等效電路。

解

(1)由圖3.44(a),依KVL,可得Uoc=-20I1-10I1+４可解得Uoc=1Ｖ。(2)用短路法求R０。將圖ａ、ｂ端短路，并設短路電流為ISC如圖3.44(ｂ)所示。由圖知,I1′=０，則這樣圖3.44(ｂ)可等效為圖3.44(ｃ)，由圖可求得所以(3)用外加電壓法求R０。拿掉4V電壓源，在ａ、ｂ間加電壓Ｕ，如圖(ｄ)所示，依圖有依KCL

所以(4)由計算結果可畫出代文寧等效電路如圖3.44(e)所示。圖3.44例3.21圖例3.22

試證明圖3.45(a)所示電路的等效電路為圖3.45(b)。圖3.45例3.22圖解(1)原圖可等效為圖3.45(c)，依圖有即(2)用外加電壓法求R０。將電壓源短路，外加U1，如圖3.45(d)所示，依圖有即則練習與思考3.5-1

求圖3.46所示電路的代文寧等效電路。圖3.46題3.5-1圖3.5-2

求圖3.47所示電路的代文寧等效電路。圖3.47題3.5-2圖3.5-3

求圖3.48所示電路中流過6Ω電阻的電流I

。圖3.48題3.5-3圖3.5-4

求圖3.49所示電路的戴維南等效電路。圖3.49題3.5-4圖3.６最大功率傳輸定理

實際應用中，給電子設備供電的電源，無論多么復雜，由于都有兩個引出端，因此，從理論上講它就是一個線性有源二端網絡。那么，總可以用一個電壓源模型來等效。通常一個實際電壓源(設其Ｕo和Ｒ0都是定值)所產生的功率總可以分成兩部分，其中一部分消耗在內阻Ｒ0上，另一部分傳送給負載。在通信和電子工程中，總希望負載得到的功率越大越好。究竟怎樣才能使負載得到的功率為最大，這個最大功率又是多少，這就是最大傳輸定理所要回答的問題。對于圖3.50(a)所示電路，在Uo和R0都是定值的前提下，只有負載電阻RL是可變的，故負載上得到的最大功率將直接由RL的取值來決定。圖3.50最大功率傳輸定理

電路中的電流為負載電阻上的功率為(3-14)當RL變化時，負載上要得到最大功率必須滿足的條件為即故解得RL=R０。即當RL=R０時，負載上得到的功率最大。將RL=R０代入式(3-14)即可得最大功率為(3-15)

用圖3.50(b)所示電路，同樣可在ISC和R0為定值的前提下，推得當RL=R０時，負載上得到的功率為最大，其最大功率為式(3-16)實際上是式(3-15)的另一種形式。綜上所述可得最大功率傳輸定理：實際電壓源（或電流源）向負載供電，當負載電阻RL等于電源內阻R0時，負載可獲得最大功率。稱RL=R0為最大功率輸出條件。把RL=R0時的電路狀態(tài)稱為“匹配”，此時電源所產生的功率一半供給負載，一半消耗在內阻上，效率為50%。不過在通信和電子工程中，由于傳輸的功率不大，因而寧可犧牲效率也要求電路處于匹配狀態(tài)。但在電力工程中則絕對不允許電路工作在匹配狀態(tài)。注意：推導最大功率傳輸定理的前提是：U0和R0均為定值，而RL可調。因此不能把最大功率傳輸定理理解成：為使負載獲得最大功率，應使R0=RL。

例3.23

在圖3.51(a)所示電路中，若已知：當R5=８Ω時，I5=20Ａ；當R5=2Ω時，I5=50Ａ，問R5為何值時，它消耗的功率最大?此時最大功率為多少?圖3.51例3.23圖

解依戴維南定理，將R5以外用Uoc和R0相串聯等效代替，如圖3.51(b)所示，依圖有依題給條件可列方程組聯立求解，得Uoc=200VR0=2Ω根據最大功率傳輸定理可知，當Ｒ5=R0=2Ω時，Ｒ5可獲得最大功率，為

例3.24

求圖3.52(a)所示含受控源二端網絡向外電路所能提供的最大功率Pmax。圖3.52例3.24圖

解

(1)根據圖3.52(b)，用網孔電流法求開路電壓Uoc，所列方程組為10IⅠ-８IⅡ=12-８IⅠ+14IⅡ=2I1

I1=IⅠ-IⅡ聯立求解（Δ=80,Δ1=192,Δ2=120）,得IⅠ=2.4A，IⅡ=1.5A，I1=0.9A

Uoc=4IⅡ=６Ｖ(2)根據圖3.52(c)，用網孔電流法求短路電流ISC。方程組為10IⅠ-８IⅡ=12-８IⅠ+10IⅡ=2I1

IⅠ=IⅠ-IⅡ

聯立求解，可得(3)根據Uoc和ＩSC求R0(4)戴維南等效電路如圖3.52(d)所示。根據最大功率傳輸定理

例3.25

求圖3.53(a)所示電路中RL為何值時能取得最大功率，該最大功率是多少?圖3.53例3.25圖

解(1)斷開ＲL支路用疊加定理求Uoc。電壓源單獨作用時，如圖3.53(b)所示，電流源單獨作用時，如圖3.53(c)所示，根據分流關系，有所以(2)求R０，將16V電壓源和1Ａ電流源均變?yōu)榱?，如圖3.53(d)所示，可得(3)戴維南電路與待求支路連接后如圖3.53(e)所示，由最大功率傳輸定理知，當

ＲL=R0=9Ω時，可獲得最大功率，這時，ＲL吸收的功率為練習與思考

3.6-1

如圖3.54所示電路，ＲL多大時，其上可獲得最大功率，并求出最大功率值。

3.6-2如圖3.55所示電路，求ＲL上可能獲得的最大功率。

3.6-3

如圖3.56所示電路，用電流表和一只電阻去測量某有源二端網絡，當開關S在位置2時，電流表讀數為６ｍＡ；當開關S在位置1時，電流表讀數為2ｍＡ(電流表內阻可忽略不計)。試求：(1)該有源二端網絡的代文寧等效電路。(2)Ｒ為何值時才能獲得最大功率，最大功率是多少?圖3.54題3.6-1圖圖3.55題3.6-2圖圖3.56題3.6-3圖小結

1.支路電流法

以支路電流作變量列寫獨立節(jié)點的KCL方程，再補充和網孔數相同的KVL方程，聯立后足以解出全部支路電流，這就是支路電流法。此法優(yōu)點：直觀，所求就是支路電流。缺點：當支路數目較多時，變量多，求解過程麻煩，不宜于手工計算。

2.網孔電流法

以假想網孔電流作變量列寫和網孔數相同的KVL方程，聯立求解出網孔電流，再由網孔電流與支路電流的關系求支路電流或其它電路變量，這就是網孔電流法。對含理想電流源的，在不能將其轉移成某個網孔電流時，可采取設其兩端電壓，進而增加輔助方程。對含受控源的，要將受控變量用待求的網孔電流變量表示作為輔助方程。此法優(yōu)點：同一電路所需方程數目較支路電流法少，列寫方程的規(guī)律易于掌握。缺點：不直觀。

3.節(jié)點電位(電壓)法

以獨立節(jié)點的電位作為變量依KCL(連同歐姆定律)列寫KCL方程，求解出節(jié)點電位，進而求得各支路電流或其它電路變量，這就是節(jié)點電位法。對于兩節(jié)點間含理想電壓源的，通常是給理想電壓源支路設一未知電流，增加輔助方程。特殊情況是在電路未指定參考點的時候，可設定理想電壓源的任一端為參考點，則另一節(jié)點電位成為已知，因而可少列一個方程。對含受控源的，要增加用節(jié)點電位表示控制量的輔助方程。此法優(yōu)點：所需方程個數少于支路電流法，特別是節(jié)點少而支路多的電路用此法尤顯方便，列寫方程的規(guī)律易于掌握。缺點：對于一般給出的電阻參數、電壓源形式的電路求解方程工作量較大。

4.疊加定理

疊加定理是線性電路疊加特性的概括表征，其重要性不僅在于用此法分析電路本身，而且在于它為線性電路的定性分析和一些具體計算方法提供了理論依據。用疊加定理求解電路時，應特別注意兩點：（1）當一個獨立源單獨作用時讓其它獨立源為零的處理方法；（2）總響應是各分響應的代數和。

5.戴維南定理

戴維南定理表明一個有源二端網絡總可用一個電壓源模型去代替。解題三步驟：求開路電壓——除源求等效內阻——畫出等效電路接上待求支路，由最簡單電路求待求量。對含受控源的，計算等效電壓源時，要注意控制量隨二端網絡對外端口的開路應作相應的變化(短路、開路、改變方向或極性)；求等效內阻時，只能用外加電壓法或短路電流法。

6.最大功率傳輸定理

最大功率傳輸定理闡明了在通信技術中，變化的負載為獲得最大功率而應當滿足的條件，即RL=R0。此最大功率為Uo2/4R0或1/4R0ISC2。習題33.1

試用支路法求圖示電路各支路電流。題3.1圖

3.2用支路法求圖示電路各支路電流，并用功率平衡法檢驗結果是否正確。題3.2圖

3.3

用支路電流作變量列寫出求解圖示電路中各支路電流所需的方程組。題3.3圖

3.4

晶體管放大器等效電路如圖所示，試列寫其支路電流方程組。題3.4圖3.5

用網孔法求圖示電路中各電阻支路的電流。題3.5圖

3.6電路如圖所示，試用網孔電流法求流過５Ω電阻的電流Ｉ。