二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)培優(yōu)教學(xué)案

...wd......wd......wd...二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)〔培優(yōu)教案〕一．課前訓(xùn)練1．拋物線上一局部點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如表所示，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是?！蔡顚懶蛱枴场?－1012……04664…yxO①拋物線與軸的一個交點(diǎn)為yxO②函數(shù)的最大值為6；③拋物線的對稱軸是直線；④在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大。2．假設(shè)二次函數(shù)的圖象如以下列圖，那么以下結(jié)論中正確的個數(shù)是()①；②；③；④。A.1B.2C.3D.4二．知識構(gòu)造三．題型講練例1．拋物線。⑴寫出它的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵當(dāng)為何值時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在軸上方；⑶過拋物線與軸的交點(diǎn)作直線軸，交拋物線于另一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求此拋物線的解析式。分析：⑴考察配方法；⑵欲使拋物線頂點(diǎn)在軸上方，必使頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為正；⑶由直線軸可知兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，進(jìn)而可以求出值?！窘狻竣拧咴谥?，二次項(xiàng)系數(shù)，∴開口向上，∵∴對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為。⑵∵欲使拋物線的頂點(diǎn)在軸上方，必使頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正數(shù)，∴令，那么，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)在軸上方⑶令，那么，∴拋物線與軸交于點(diǎn)∵直線軸，∴。令，那么，解得，，∴∴在中，，，∵，∴，∴∴拋物線的解析式為或。練習(xí)：1．右圖是二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖象，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔填寫序號〕。①；②；③；④2．假設(shè)拋物線與軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么此拋物線與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為。3．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)。⑴求的值；⑵如圖①，設(shè)點(diǎn)為該拋物線在軸上方的一點(diǎn)，假設(shè)直線將四邊形的面積二等分，試證明線段被直線平分并求此時(shí)直線的函數(shù)解析式；⑶設(shè)點(diǎn)是該拋物線在軸上方的兩個動點(diǎn)，試猜想：是否存在這樣的點(diǎn)使得假設(shè)存在，請舉例驗(yàn)證你的猜想；假設(shè)不存在，請說明理由?！矆D②供選用〕【解】⑴∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴。⑵作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)∵直線將四邊形的面積二等分，∴，即，∴∵，，∴，∴，∴線段被直線平分∵由⑴知，∴拋物線的解析式為∴令，那么，∴，，∴∵，∴點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴，，∴設(shè)直線的解析式為，∵直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)∴，∴直線的解析式為⑶存在。設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，∵在中，∴以點(diǎn)為圓心、為半徑作圓，與拋物線在軸的上方一定有交點(diǎn)〔即點(diǎn)〕，連接，再作的平分線，交拋物線于點(diǎn)，連接，此時(shí)由得。例2．拋物線與軸交于兩點(diǎn)，其中且，與軸交于點(diǎn)。⑴求拋物線的解析式；⑵能否找到直線與拋物線交于兩點(diǎn)且使軸恰好平分的面積假設(shè)能，求出滿足的條件；假設(shè)不能，說明理由。【解】⑴令，那么有，∵∴對于一切實(shí)數(shù)，拋物線與軸恒有兩個交點(diǎn)，∵由根與系數(shù)的關(guān)系得…①，…②∴把①代入得…③，把③代入得…④，把③、④代入得化簡整理得，解得，。當(dāng)時(shí)，，與相符；當(dāng)時(shí)，，與不符(舍去)∴拋物線的解析式為。⑵能，理由如下〔如圖〕：假設(shè)符合題意的直線與軸交于點(diǎn)，∵，即，∴∵由題意知兩點(diǎn)必在軸的兩側(cè)，∴，即∵由得……〔*〕∴一定是方程(*)的兩根，∴，∴∵直線與拋物線有兩個交點(diǎn)∴，即，解得∴且為所求。練習(xí)：1．拋物線與軸分別交于兩點(diǎn)(其中)，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔只需填寫序號〕。①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；④，；⑤。2．直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)；另一條拋物線的解析式為。⑴假設(shè)該拋物線經(jīng)過點(diǎn)且拋物線的頂點(diǎn)在直線上，試確定拋物線的解析式；⑵過點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，假設(shè)拋物線的對稱軸經(jīng)過點(diǎn)，試確定直線的解析式。例3．如圖，直線與拋物線交于點(diǎn)和點(diǎn)〔點(diǎn)在軸上〕，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)。⑴求的值及拋物線的解析式；⑵過線段上的動點(diǎn)〔與不重合〕作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)線段的長為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍；⑶設(shè)點(diǎn)是直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，那么在線段上是否存在一點(diǎn)使得四邊形是平行四邊形假設(shè)存在，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由。【解】⑴∵點(diǎn)在直線上∴，∴，∴有直線∵點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)∴設(shè)所求拋物線的解析式為∵點(diǎn)在拋物線上∴，∴，∴所求拋物線的解析式為⑵設(shè)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為和，那么：〔其中〕⑶存在，理由如下：∵，∴欲使四邊形是平行四邊形，必使∵點(diǎn)在直線上且，∴令，那么∴，∴，∴∴令，即，解得(不合題意，舍去)，∵點(diǎn)在直線上，∴令，那么，∴∴當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形是平行四邊形。練習(xí)：1．拋物線。⑴假設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)且，求的值；⑵設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，假設(shè)拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)使得的面積等于，求的值。解:⑴設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么分別是方程的兩根。∴由根與系數(shù)的關(guān)系知，∵兩點(diǎn)分別在原點(diǎn)兩側(cè)，∴，即，∴∵∴，解得，(與矛盾，舍去)∴的值為。⑵∵兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱∴設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為∵兩點(diǎn)都在拋物線上∴∴①＋②：，∴∴當(dāng)時(shí)才存在滿足條件的兩點(diǎn)，∴∴兩點(diǎn)到軸的距離均為∴兩點(diǎn)之間的水平距離為∵令，那么，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴∵∴，解得2．拋物線恰好經(jīng)過軸正半軸上的兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))且與軸交于點(diǎn)。⑴的符號之間有何關(guān)系⑵假設(shè)線段的長度是線段長度的比例中項(xiàng)，證明互為倒數(shù)；⑶在⑵的條件下，假設(shè)且，求的值。解:⑴時(shí)拋物線開口向上，由題意知此時(shí)拋物線與軸正半軸相交；時(shí)拋物線開口向下，由題意知此時(shí)拋物線與軸負(fù)半軸相交；綜上所述，的符號之間的關(guān)系是：同號。⑵設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，其中?！?，，?！哂深}意知是方程的兩根，∴∵由題意知，即，∴∵由⑴知，∴兩邊同時(shí)除以，得，即互為倒數(shù)。⑶當(dāng)時(shí)，由⑵知，∴。解法一：∵，∴，∴，∴。解法二：∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴，，∴∵，∴，∴，∴。四．課堂小結(jié)二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用是歷屆中考的重點(diǎn)，應(yīng)該認(rèn)真深入的探究。五．作業(yè)布置1．假設(shè)二次函數(shù)的圖象如以下列圖，那么以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是()A.B.C.D.關(guān)于的方程的根是。2．假設(shè)二次函數(shù)的圖象如以下列圖，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A.，，，。B.，，，。C.，，，。D.，，，。3．假設(shè)拋物線經(jīng)過四點(diǎn)，那么與的大小關(guān)系是()A.B.C.D.不能確定4．假設(shè)二次函數(shù)的圖象如以下列圖，那么以下結(jié)論中錯誤的有()①；②；③當(dāng)時(shí)，；④方程有兩個大于的實(shí)數(shù)根。A.②③B.②④C.①③D.①④5．如圖，拋物線的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)。⑴求該拋物線的解析式并判斷的形狀；⑵假設(shè)在軸上方的拋物線上存在一點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶拋物線上是否存在點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由。解:⑴∵拋物線的圖象與軸交于兩點(diǎn)∴，∴，∴拋物線的解析式為∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴令，那么，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∵在中，在中，∴，∴有。⑵點(diǎn)的坐標(biāo)是。⑶存在，理由如下：∵由⑴知∴欲使以為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，只需或①假設(shè)，那么以為底邊?！咧本€與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)∴直線的解析式為，即∵，∴