平面向量重難點解析

...wd......wd......wd...平面向量重難點解析課文目錄2．1平面向量的實際背景及基本概念2．2平面向量的線性運算2．3平面向量的基本定理及坐標表示2．4平面向量的數(shù)量積2．5平面向量應用舉例目標：1、理解和掌握平面向量有關的概念；2、熟練掌握平面向量的幾何運算和坐標運算；3、熟悉平面向量的平行、垂直關系和夾角公式的應用；4、明確平面向量作為工具在復數(shù)、解析幾何、實際問題等方面的應用；重難點：重點：向量的綜合應用。難點：用向量知識，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價轉化?！疽c精講】1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向線段表示-----(幾何表示法)；②用字母、等表示(字母表示法)；③平面向量的坐標表示〔坐標表示法〕：分別取與軸、軸方向一樣的兩個單位向量、作為基底。任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得，叫做向量的〔直角〕坐標，記作，其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，特別地，，，。；假設，，那么，3.零向量、單位向量：①長度為0的向量叫零向量，記為；②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.〔注：就是單位向量〕4.平行向量：①方向一樣或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定與任一向量平行.向量、、平行，記作∥∥.共線向量與平行向量關系：平行向量就是共線向量.性質：是唯一〕〔其中〕5.相等向量和垂直向量：①相等向量：長度相等且方向一樣的向量叫相等向量.②垂直向量——兩向量的夾角為性質：〔其中〕6.向量的加法、減法：①求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么。平行四邊形法那么：〔起點一樣的兩向量相加，常要構造平行四邊形〕三角形法那么——加法法那么的推廣：……即個向量……首尾相連成一個封閉圖形，那么有……②向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即：=+()；差向量的意義：=,=,那么=③平面向量的坐標運算：假設，，那么，，。④向量加法的交換律：+=+；向量加法的結合律：(+)+=+(+)⑤常用結論：〔1〕假設，那么D是AB的中點〔2〕或G是△ABC的重心，那么7．向量的模：1、定義：向量的大小，記為||或||2、模的求法：假設，那么||假設，那么||3、性質：〔1〕；〔實數(shù)與向量的轉化關系〕〔2〕，反之不然〔3〕三角不等式：〔4〕〔當且僅當共線時取“=〞〕即當同向時，；即當同反向時，〔5〕平行四邊形四條邊的平方和等于其對角線的平方和，即8．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ〔1〕|λ|=|λ|||；〔2〕λ>0時λ與方向一樣；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ=；〔3〕運算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ交換律：;分配律：()·=(·)=·();——①不滿足結合律：即②向量沒有除法運算。如：，都是錯誤的〔4〕兩個非零向量，它們的夾角為，那么=坐標運算：，那么〔5〕向量在軸上的投影為：︱︱，〔為的夾角，為的方向向量〕其投影的長為〔為的單位向量〕〔6〕的夾角和的關系：〔1〕當時，同向；當時，反向〔2〕為銳角時，那么有；為鈍角時，那么有9．向量共線定理：向量與非零向量共線〔也是平行〕的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ。10．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進展分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量。向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即假設A(x，y)，那么=〔x,y〕；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即假設A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕，那么=(x2-x1,y2-y1)11.向量和的數(shù)量積：①·=||·||cos，其中∈[0，π]為和的夾角。②||cos稱為在的方向上的投影。③·的幾何意義是：的長度||在的方向上的投影的乘積，是一個實數(shù)〔可正、可負、也可是零〕，而不是向量。④假設=〔，〕,=〔x2，〕,那么⑤運算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ〔a·b〕，〔a+b〕·c=a·c+b·c。⑥和的夾角公式：cos=＝⑦||2=x2+y2，或||=⑧|a·b|≤|a|·|b|。12.兩個向量平行的充要條件：符號語言：假設∥，≠，那么=λ坐標語言為：設=〔x1,y1〕，=(x2,y2)，那么∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實數(shù)λ是唯一存在的，當與同向時，λ>0；當與異向時，λ<0。|λ|=，λ的大小由及的大小確定。因此，當，確定時，λ的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。13.兩個向量垂直的充要條件：符號語言：⊥·=0坐標語言：設=(x1,y1),=(x2,y2)，那么⊥x1x2+y1y2=0【典型例題】例1、如圖，，為單位向量，與夾角為1200，與的夾角為450，||=5，用，表示。解題思路分析：以，為鄰邊，為對角線構造平行四邊形把向量在，方向上進展分解，如圖，設=λ，=μ，λ>0，μ>0那么=λ+μ∵||=||=1∴λ=||，μ=||OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由得：∴∴例2、△ABC中，A〔2，-1〕，B〔3，2〕，C〔-3，-1〕，BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標。解題思路分析：用解方程組思想設D〔x，y〕，那么=〔x-2，y+1〕∵=〔-6，-3〕，·=0∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0①∵=(x-3，y-2)，∥∴-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0②由①②得：∴D〔1，1〕，=〔-1，2〕例3、求與向量=，-1〕和=〔1，〕夾角相等，且模為的向量的坐標。解題思路分析：用解方程組思想法一：設=〔x，y〕，那么·=x-y，·=x+y∵<，>=<，>∴∴即①又||=∴x2+y2=2②由①②得或〔舍〕∴=法二：從分析形的特征著手∵||=||=2·=0∴△AOB為等腰直角三角形，如圖∵||=，∠AOC=∠BOC∴C為AB中點∴C〔〕說明：數(shù)形結合是學好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質可以簡化計算。例4、在△OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，設線段AN與BM交于點P，記=，=，用，表示向量。解題思路分析：∵B、P、M共線∴記=s∴①同理，記∴=②∵,不共線∴由①②得解之得：∴說明：從點共線轉化為向量共線，進而引入?yún)?shù)〔如s，t〕是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質得到關于s，t的方程。例5、長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點，P為AB上一點利用向量知識判定點P在什么位置時，∠PED=450；假設∠PED=450，求證：P、D、C、E四點共圓。解題思路分析：利用坐標系可以確定點P位置如圖，建設平面直角坐標系那么C〔2，0〕，D〔2，3〕，E〔1，0〕設P〔0，y〕∴=〔1，3〕，=〔-1，y〕∴·=3y-1代入cos450=解之得〔舍〕，或y=2∴點P為靠近點A的AB三等分處當∠PED=450時，由〔1〕知P〔0，2〕∴=〔2，1〕，=〔-1，2〕∴·=0∴∠DPE=900又∠DCE=900∴D、P、E、C四點共圓說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：①建設平面直角坐標系；②設點的坐標；③求出有關向量的坐標；④利用向量的運算計算結果；⑤得到結論?！究键c剖析】考點一：向量的概念、向量的基本定理【內(nèi)容解讀】了解向量的實際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動的，平移后所得向量與原向量一樣；兩個向量無法比較大小，它們的?？杀容^大小。如果和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使=λ1+λ2.注意：假設和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，【命題規(guī)律】有關向量概念和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考察的難度屬中檔類型。例1、〔2007上?！持苯亲鴺讼抵校謩e是與軸正方向同向的單位向量．在直角三角形中，假設，那么的可能值個數(shù)是〔〕Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4解：如圖，將A放在坐標原點，那么B點坐標為(2,1)，C點坐標為(3,k)，所以C點在直線x=3上，由圖知，只可能A、B為直角，C不可能為直角．所以k的可能值個數(shù)是2，選B點評：此題主要考察向量的坐標表示，采用數(shù)形結合法，巧妙求解，表達平面向量中的數(shù)形結合思想。例2、〔2007陜西〕如圖，平面內(nèi)有三個向量、、,其中與與的夾角為120°，與的夾角為30°,且||＝||＝1，||＝，假設＝λ+μ〔λ，μ∈R〕,那么λ+μ的值為.解：過C作與的平行線與它們的延長線相交，可得平行四邊形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四邊形的邊長為2和4，2+4=6點評：此題考察平面向量的基本定理，向量OC用向量OA與向量OB作為基底表示出來后，求相應的系數(shù)，也考察了平行四邊形法那么?？键c二：向量的運算【內(nèi)容解讀】向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法那么、三角形法那么進展向量的加減運算；掌握實數(shù)與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關系；掌握向量的數(shù)量積的運算，體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進展平面向量積的運算，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關系。【命題規(guī)律】命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考察重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標運算，有時也會與其它內(nèi)容相結合。例3、(2008湖北文、理)設a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),那么(a+2b)·c=〔〕A.(－15,12)B.0C.－3D.－11解：(a+2b)，(a+2b)·c，選C點評：此題考察向量與實數(shù)的積，注意積的結果還是一個向量，向量的加法運算，結果也是一個向量，還考察了向量的數(shù)量積，結果是一個數(shù)字。例4、(2008廣東文)平面向量，且∥，那么=〔〕A．〔-2，-4〕B.〔-3，-6〕C.〔-4，-8〕D.〔-5，-10〕解：由∥，得m＝－4，所以，＝〔2，4〕＋〔－6，－12〕＝〔－4，－8〕，應選〔C〕。點評：兩個向量平行，其實是一個向量是另一個向量的倍，也是共線向量，注意運算的公式，容易與向量垂直的坐標運算混淆。例5、(2008海南、寧夏文)平面向量=〔1，－3〕，=〔4，－2〕，與垂直，那么是〔〕A.－1 B.1 C.－2 D.2解：由于∴，即，選Ａ點評：此題考察簡單的向量運算及向量垂直的坐標運算，注意不要出現(xiàn)運算出錯，因為這是一道根基題，要爭取總分值。例6、(2008廣東理)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.假設,,那么〔〕A． B. C. D.解:,,,由A、E、F三點共線,知而滿足此條件的選擇支只有B，應選B.點評：用三角形法那么或平行四邊形法那么進展向量的加減法運算是向量運算的一個難點，表達數(shù)形結合的數(shù)學思想。例7、〔2008江蘇〕向量和的夾角為，，那么．解：=，7點評：向量的模、向量的數(shù)量積的運算是經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容，難度不大，只要細心，運算不要出現(xiàn)錯誤即可。考點三：定比分點【內(nèi)容解讀】掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并能熟練應用，求點分有向線段所成比時，可借助圖形來幫助理解?！久}規(guī)律】重點考察定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向量應用的廣泛性，經(jīng)常也會與三角函數(shù)，解析幾何一并考察，假設出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。例8、(2008湖南理)設D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且那么與()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解：由定比分點的向量式得:同理，有：以上三式相加得所以選A.點評：利用定比分點的向量式，及向量的運算，是解決此題的要點.考點四：向量與三角函數(shù)的綜合問題【內(nèi)容解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考察了向量的知識，三角函數(shù)的知識，到達了高考中試題的覆蓋面的要求?！久}規(guī)律】命題以三角函數(shù)作為坐標，以向量的坐標運算或向量與解三角形的內(nèi)容相結合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結合的問題，屬中檔偏易題。例9、〔2008深圳福田等〕向量,函數(shù)(1)求的最小正周期;(2)當時,假設求的值．解：(1).所以，T＝.(2)由得，∵，∴∴∴點評：向量與三角函數(shù)的綜合問題是當前的一個熱點，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標形式給出與三角函數(shù)有關的條件，并結合簡單的向量運算，而考察的主體局部那么是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識點.例10、〔2007山東文〕在中，角的對邊分別為．〔1〕求；〔2〕假設，且，求．解：〔1〕 又 解得．，是銳角． ．〔2〕由， ， ． 又． ．． ．點評：此題向量與解三角形的內(nèi)容相結合，考察向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。例11、〔2007湖北〕將的圖象按向量平移，那么平移后所得圖象的解析式為〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．解：由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對對應點，，那么，代入到解析式中可得選Ａ點評：此題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識，以平移公式切入，為中檔題。注意不要將向量與對應點的順序搞反，或死記硬背以為是先向右平移個單位，再向下平移2個單位，誤選Ｃ考點五：平面向量與函數(shù)問題的交匯【內(nèi)容解讀】平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結合的問題為主，要注意自變量的取值范圍?！久}規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題。例12、〔2008廣東六校聯(lián)考〕向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．〔1〕求〔2〕設函數(shù)+，求函數(shù)的最值及相應的的值。解：〔=1\*ROMANI〕由條件：，得：〔2〕因為：，所以：所以，只有當：時，，或時，點評：此題考察向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的知識，經(jīng)過配方后，變成開口向下的二次函數(shù)圖象，要注意sinx的取值范圍，否那么容易搞錯?？键c六：平面向量在平面幾何中的應用OxACBaOxACBa例13圖yACBaQP【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。例13、如圖在RtABC中，BC=a，假設長為2a的線段PQ以A為中點，問與的夾角取何值時，的值最大并求出這個最大值。解：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建設如以下列圖的平面直角坐標系。設|AB|=c，|AC|=b，那么A〔0，0〕，B〔c，0〕，C〔0，b〕.且|PQ|=2a，|BC|=a.設點P的坐標為〔x，y〕，那么Q〔-x，-y〕，∴cx-by=a2cos.∴=-a2+a2cos.故當cos=1，即=0〔方向一樣〕時，的值最大，其最大值為0.點評：此題主要考察向量的概念，運算法那么及函數(shù)的有關知識，平面向量與幾何問題的融合?？疾鞂W生運用向量知識解決綜合問題的能力。平面向量全章檢測說明：本試卷分第一卷和第二卷兩局部.第一卷60分，第二卷90分，共150分，答題時間120分鐘.第一卷〔選擇題，共60分〕一、選擇題〔每題5分，共60分，請將所選答案填在括號內(nèi)〕1．在△ABC中，一定成立的是 〔〕A．a(chǎn)sinA=bsinB B．a(chǎn)cosA=bcosB C．a(chǎn)sinB=bsinA D．a(chǎn)cosB=bcosA2．△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，那么△ABC為 〔〕A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形3．在△ABC中，較短的兩邊為,且A=45°,那么角C的大小是 〔〕 A．15° B．75 C．120° D．60°4．在△ABC中，,那么·等于 〔〕 A．－2 B．2 C．±2 D．±45．設A是△ABC中的最小角，且，那么實數(shù)a的取值范圍是 〔〕 A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)＞－1 C．－1＜a≤3 D．a(chǎn)＞06．在△ABC中,三邊長AB=7，BC=5，AC=6，那么·等于 〔〕A．19 B．－14 C．－18 D．－197．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的什么條件 〔〕A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要8．假設△ABC的3條邊的長分別為3，4，6，那么它的較大的銳角的平分線分三角形所成的兩個三角形的面積比是 〔〕 A．1∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．3∶49．向量，，假設與垂直，那么實數(shù)= 〔〕A．1 B．－1 C．0 D．210．向量a=，向量b=，那么|2a－b|的最大值是 〔〕 A．4 B．－4 C．2 D．－211．a(chǎn)、b是非零向量，那么|a|=|b|是(a+b)與(a－b)垂直的 〔〕 A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．有一長為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，那么坡底要伸長 〔〕 A．1公里 B．sin10°公里 C．cos10°公里 D．cos20°公里第二卷〔非選擇題，共90分〕二、填空題〔每題4分，共16分，答案填在橫線上〕13．在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=.14．在△ABC中，AB=l，∠C=50°，當∠B=時，BC的長取得最大值.15．向量a、b滿足〔a－b〕·〔2a+b〕=－4，且|a|=2，|b|=4，那么a與b夾角的余弦值等于.16．a(chǎn)⊥b、c與a、b的