剛體力學課件

第一篇

力學第５章剛體的定軸轉動第5章剛體的定軸轉動RotatingofaRigidBodyAboutaFixedAxis第1節(jié)剛體的平動和轉動第2節(jié)剛體定軸轉動定律第3節(jié)剛體轉動的功和能第4節(jié)剛體的角動量定理和角動量守恒定律第5節(jié)進動TranslationandRotationofaRigidBody第1節(jié)剛體的平動和轉動1.剛體大小和形狀都保持不變的物體。是一種理想化的模型，但有重要的實際意義。剛體可看成是各質點間相對位置保持不變的特殊的質點系。關于質點系的力學規(guī)律都可用于剛體。13.剛體的轉動剛體定軸轉動的描述轉軸剛體轉軸上各點都保持靜止轉動：剛體各點都繞同一直線

(轉軸)

作圓周運動。最簡單的情況是轉軸的位置和方向都固定不變的轉動，稱為剛體的定軸轉動。在同一時間內,各點對軸的轉角相等，但線速度不同。用角量來描述轉動規(guī)律較為方便。5(1)

角位置定軸轉動的運動方程(3)

角速度(4)

角加速度單位：

弧度(rad)(2)

角位移描述剛體的定軸轉動的物理量22dtddtdqwb==6轉軸剛體q參考方向xp注意:

這里的角量單位都用弧度(rad)定軸轉動中角量與線量的基本關系類似一維運動,各角量的方向由“+”,“–”號表示。矢量式71.力矩（1）在垂直oo

的平面內（2）不在垂直oo

的平面內oo.P對剛體繞oo軸的轉動無貢獻

總可分解成兩個分量：計算時,只需考慮的力矩,即Mz.第2節(jié)剛體定軸轉動定律PrincipleofRotationofaRigidBodyAboutaFixedAxis(參考點在轉軸上)oo.P8——剛體對定軸(z軸)的轉動慣量

由剛體上各質元相對于固定轉軸的分布決定，與外力無關，是表征剛體轉動慣性的特征量。與牛頓第二定律比較：Jmm——反映質點的平動慣性定軸轉動定律:J——反映剛體的轉動慣性113.轉動慣量的計算（1）分立的質量元構成的系統（2）質量連續(xù)分布的系統(如:剛體)Mrdm單位：kgm2質量元dm的計算方法如下：質量為線分布質量為面分布質量為體分布線密度面密度體密度12例1.

求質量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉動

慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過環(huán)心。解：若是半徑為R的薄圓筒（不計厚度）結果如何？OdmOR在圓環(huán)上取質量元dm結果形式不變！13例2.

求質量為m,

半徑為R,厚為l的均勻圓盤的

轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：lr取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),其質量為顯然：轉動慣量與l無關。所以，實心圓柱對其

軸的轉動慣量也是mR2/2。14例3.如圖所示,一個均勻半圓薄板的質量為m,半徑為R.以其直徑邊為轉軸,它的轉動慣量多大？解:取窄條狀面元dS.設面密度為.dShdhd對應的弧長為Rd?15X例4.求長為L、質量為m的均勻細棒

對圖中不同軸的轉動慣量。ABLo解：取如圖坐標dm=dx繞過質心的轉軸的J可見：同一物體繞不同的轉軸的轉動慣量不同。ABL/2L/2CXo16LRmm勻質薄圓盤勻質細直棒轉軸通過中心垂直盤面22J=mR123J=mL1轉軸通過端點與棒垂直兩個常用的結果184.剛體定軸轉動定律的應用19am1m2m1ga1T1m2gT2a2T1/T2/T例：一細繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質量為m1和m2的物體(m1<m2)，如圖所示.設滑輪和繩的質量可忽略不計，繩不能伸長，試求物體的加速度以及懸掛滑輪的繩中張力.解：選取對象m1、m2及滑輪分析運動

m1，以加速度a1向上運動

m2，以加速度a2向下運動分析受力隔離體受力如圖所示.取a1向上為正方向，則有

T1－m1g＝m1a1①以a2向下為正方向，則有

m2g－T2＝m2a2.②根據題意有

T1＝T2＝T，a1＝a2＝a.聯立①和②兩式得由牛頓第三定律知：

T1/＝T1＝T，T2/＝T2＝T，例7.

在半徑為R,質量為m，J=mR2的圓輪上掛一細繩細繩兩端各掛兩物m1>m2。求:兩物的加速度a及輪子的角加速度.m2m1解：m1、m2作為質點處理輪子作剛體處理,m1gT1m2gT2T1T2根據牛頓定律y由定軸轉動定律：解得25.第3節(jié)剛體轉動的功和能WorkandEnergyofaRotatingRigidBody1.剛體的轉動動能多個質點組成的質點系的動能定義為所以，轉動的剛體的動能為:302.力矩的功力在這段元位移中所做的功是即:力對轉動剛體所做的功用力矩的功來計算!所以313.剛體繞固定軸轉動的動能定理在剛體的轉動過程中,合外力矩M對剛體所做的功為:即

合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量——剛體繞固定軸轉動的動能定理324.剛體的重力勢能yhihcxOMCmi質元mi的勢能整個剛體的勢能剛體的重力勢能5.機械能守恒定律對于含有剛體的系統,如果在運動過程中只有保守內力做功,則此系統的機械能守恒。它的全部質量都集中

在質心時所具有的勢能33xOmgC例10.一根長為L,質量為m的均勻細直棒,一端有一

固定的光滑水平軸,因而可以在豎直平面內轉

動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺

角時的角加速度和角速度。解：（用機械能守恒定律重解例5.)在棒擺動過程中系統的機械能守恒。設棒在水平位置時重力勢能為零，由機械能守恒知:與前面解得的結果一致!341.剛體的角動量剛體上的任一質元繞固定軸做圓周運動時相對于轉軸上任意一點O的角動量在軸上的分量的大小均為故剛體對此軸的角動量為即：剛體對定軸的角動量L,等于它對該軸的轉動

慣量J和角速度的乘積。簡寫為第4節(jié)剛體的角動量定理和角動量守恒定律PrincipleofAngularMomentum&LawofConservationofAngularMomentumofaRigidBodyRotatingAboutaFixedAxis35質點的角動量定理為對質點系任意一質點定軸方向0對質點系由上可得定軸轉動定律——剛體繞定軸的角動量定理2.剛體繞定軸的角動量定理內外Jz不變Jz變化36合外力矩M

對剛體繞定軸的沖量矩為與動量定理比較即:對某一定軸的外力矩的作用在某段時間內的累積效果為剛體對同一轉動軸的角動量的增量。(微分形式)剛體繞定軸的角動量定理(積分形式)簡寫為37當合外力矩則——角動量守恒（1）當L=常量，若J=常量，則

=常量。即：剛體保持恒定的角速度

轉動。當L=常量，若J常量，J=常量，則

常量?；騄（2）此定律可推廣到含多個質點、多個剛體的系統3.角動量守恒定律38討論oouvmm碰前碰后例12.勻質細棒質量為m,長為2L,可在鉛直平面內繞通過其中心的水平軸O自由轉動.開始時棒靜止于水平位置,一質量為m'的小球,以速度u垂直落到棒的端點,且與棒作彈性碰撞.

求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解:

以棒和小球為系統.在碰撞過程中,對軸O的外力矩只有小球的重力矩mgL.因碰撞時間極短,此重力矩對時間的累積可忽略不計.

于是,系統對轉軸o的角動量守恒:40以順時針轉動時的角動量方向為正,則因作彈性碰撞,故在碰撞過程中機械能守恒