同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))-第一章-函數(shù)極限

...wd......wd......wd...第一篇函數(shù)、極限與連續(xù)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，微積分是以變量為研究對(duì)象，以極限方法為基本研究手段的數(shù)學(xué)學(xué)科.本章首先復(fù)習(xí)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容，繼而介紹極限的概念、性質(zhì)、運(yùn)算等知識(shí)，最后通過(guò)函數(shù)的極限引入函數(shù)的連續(xù)性概念，這些內(nèi)容是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程極其重要的根基知識(shí).第1節(jié)集合與函數(shù)1.1集合1.1.1集合討論函數(shù)離不開(kāi)集合的概念.一般地，我們把具有某種特定性質(zhì)的事物或?qū)ο蟮目傮w稱為集合，組成集合的事物或?qū)ο蠓Q為該集合的元素.通常用大寫字母、、、表示集合，用小寫字母、、、表示集合的元素.如果是集合的元素，那么表示為，讀作“屬于〞；如果不是集合的元素，那么表示為，讀作“不屬于〞.一個(gè)集合，如果它含有有限個(gè)元素，那么稱為有限集；如果它含有無(wú)限個(gè)元素，那么稱為無(wú)限集；如果它不含任何元素，那么稱為空集，記作.集合的表示方法通常有兩種：一種是列舉法，即把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用“｛｝〞括起來(lái)表示集合.例如，有1,2,3,4,5組成的集合，可表示成={1,2,3,4,5}；第二種是描述法，即設(shè)集合所有元素的共同特征為，那么集合可表示為.例如，集合是不等式的解集，就可以表示為.由實(shí)數(shù)組成的集合，稱為數(shù)集，初等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)集有：〔1〕全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集〔或自然數(shù)集〕，記作，即；〔2〕所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作，即；〔3〕全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作，即；〔4〕全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作，即；〔5〕全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作.1.1.2區(qū)間與鄰域在初等數(shù)學(xué)中，常見(jiàn)的在數(shù)集是區(qū)間.設(shè)，且，那么〔1〕開(kāi)區(qū)間；〔2〕半開(kāi)半閉區(qū)間，；〔3〕閉區(qū)間；〔4〕無(wú)窮區(qū)間，，，，.以上四類統(tǒng)稱為區(qū)間，其中〔1〕-〔4〕稱為有限區(qū)間，〔5〕-〔8〕稱為無(wú)限區(qū)間.在數(shù)軸上可以表示為〔圖1-1〕：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕圖1-1在微積分的概念中，有時(shí)需要考慮由某點(diǎn)附近的所有點(diǎn)組成的集合，為此引入鄰域的概念.定義1設(shè)為某個(gè)正數(shù)，稱開(kāi)區(qū)間為點(diǎn)的鄰域，簡(jiǎn)稱為點(diǎn)的鄰域，記作，即.在此，點(diǎn)稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑，圖形表示為〔圖1-2〕：圖1-2另外，點(diǎn)的鄰域去掉中心后，稱為點(diǎn)的去心鄰域，記作，即,圖形表示為〔圖1-3〕：圖1-3其中稱為點(diǎn)的左鄰域，稱為點(diǎn)的右鄰域.1.2函數(shù)的概念1.2.1函數(shù)的定義定義2設(shè)、是兩個(gè)變量，是給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)，通過(guò)對(duì)應(yīng)法那么，有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么稱為是的函數(shù)，記作.其中為自變量，為因變量，為定義域,函數(shù)值的全體成為函數(shù)的值域，記作，即.函數(shù)的記號(hào)是可以任意選取的,除了用外,還可用“〞、“〞、“〞等表示.但在同一問(wèn)題中,不同的函數(shù)應(yīng)選用不同的記號(hào).函數(shù)的兩要素：函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系為確定函數(shù)的兩要素.例1求函數(shù)的定義域.解的定義區(qū)間滿足：；的定義區(qū)間滿足：，解得.這兩個(gè)函數(shù)定義區(qū)間的公共局部是.所以，所求函數(shù)定義域?yàn)?例2判斷以下各組函數(shù)是否一樣.〔1〕，；〔2〕，；〔3〕，.解〔1〕的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?兩個(gè)函數(shù)定義域不同，所以和不一樣.〔2〕和的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù).,所以和是一樣函數(shù).〔3〕，,故兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，所以和不一樣.函數(shù)的表示法有表格法、圖形法、解析法(公式法)三種.常用的是圖形法和公式法兩種.在此不再多做說(shuō)明.函數(shù)舉例:例3函數(shù)，函數(shù)為符號(hào)函數(shù)，定義域?yàn)椋涤?如圖1-4：圖1-4例4函數(shù)，此函數(shù)為取整函數(shù)，定義域?yàn)椋O(shè)為任意實(shí)數(shù),不超過(guò)的最大整數(shù)，值域.如圖1-5：圖1-5特別指出的是，在高等數(shù)學(xué)中還出現(xiàn)另一類函數(shù)關(guān)系，一個(gè)自變量通過(guò)對(duì)于法那么有確定的值與之對(duì)應(yīng)，但這個(gè)值不總是唯一.這個(gè)對(duì)應(yīng)法那么并不符合函數(shù)的定義，習(xí)慣上我們稱這樣的對(duì)應(yīng)法那么確定了一個(gè)多值函數(shù).1.2.2函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)椋?〔1〕函數(shù)的有界性定義3假設(shè)存在常數(shù)，使得對(duì)每一個(gè)，有，那么稱函數(shù)在上有界.假設(shè)對(duì)任意，總存在，使，那么稱函數(shù)在上無(wú)界.如圖1-6：圖1-6例如函數(shù)在上是有界的:.函數(shù)在內(nèi)無(wú)上界，在內(nèi)有界.〔2〕函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,及為區(qū)間上任意兩點(diǎn),且.如果恒有,那么稱在上是單調(diào)增加的；如果恒有,那么稱在上是單調(diào)遞減的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)〔圖1-7〕.圖1-7〔3〕函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果在上有,那么稱為偶函數(shù)；如果在上有,那么稱為奇函數(shù).例如，函數(shù)，由于，所以是偶函數(shù)；又如函數(shù)，由于，所以是奇函數(shù).如圖1-8：圖1-8從函數(shù)圖形上看，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(4)函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果存在一個(gè)不為零的數(shù),使得對(duì)于任一有,且,那么稱為周期函數(shù),稱為的周期.如果在函數(shù)的所有正周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么我們稱這個(gè)正數(shù)為的最小正周期.我們通常說(shuō)的周期是指最小正周期.例如，函數(shù)和是周期為的周期函數(shù)，函數(shù)和是周期為的周期函數(shù).在此，需要指出的是某些周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如，常量函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，故任意實(shí)數(shù)都是其周期，但它沒(méi)有最小正周期.又如，狄里克雷函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)，，必有，故任意有理數(shù)都是其周期，但它沒(méi)有最小正周期.1.3反函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的函數(shù)定義中，假設(shè)函數(shù)為單射,假設(shè)存在，稱此對(duì)應(yīng)法那么為的反函數(shù).習(xí)慣上,的反函數(shù)記作.例如，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為，圖像為〔圖1-9〕圖1-9反函數(shù)的性質(zhì)：〔1〕函數(shù)單調(diào)遞增(減)，其反函數(shù)存在，且也單調(diào)遞增〔減〕.〔2〕函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.下面介紹幾個(gè)常見(jiàn)的三角函數(shù)的反函數(shù)：正弦函數(shù)的反函數(shù)，正切函數(shù)的反函數(shù).反正弦函數(shù)的定義域是，值域是；反正切函數(shù)的定義域是，值域是，如圖1-10：9圖1-101.4復(fù)合函數(shù)定義4設(shè)函數(shù)，函數(shù)，那么稱為由復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中為中間變量.注：函數(shù)與函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是，否那么不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如，函數(shù)，.在形式上可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù).但是的值域?yàn)?，故沒(méi)有意義.在后面的微積分的學(xué)習(xí)中，也要掌握復(fù)合函數(shù)的分解，復(fù)合函數(shù)的分解原那么：從外向里，層層分解，直至最內(nèi)層函數(shù)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四那么運(yùn)算.例5對(duì)函數(shù)分解.解由，復(fù)合而成.例6對(duì)函數(shù)分解.解由，，復(fù)合而成.1.5初等函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中我們已經(jīng)接觸過(guò)下面各類函數(shù)：常數(shù)函數(shù)：〔為常數(shù)〕；冪函數(shù)：；指數(shù)函數(shù)：；對(duì)數(shù)函數(shù)：；三角函數(shù)：；反三角函數(shù)：.這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).定義5由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四那么運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的并用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).例如，，，等都是初等函數(shù).需要指出的是，在高等數(shù)學(xué)中遇到的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，但是分段函數(shù)不是初等函數(shù)，因?yàn)榉侄魏瘮?shù)一般都有幾個(gè)解析式來(lái)表示.但是有的分段函數(shù)通過(guò)形式的轉(zhuǎn)化，可以用一個(gè)式子表示，就是初等函數(shù).例如，函數(shù)，可表示為.習(xí)題1-11.求以下函數(shù)的定義域.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.2.以下各題中，函數(shù)和是否一樣，為什么〔1〕，；〔2〕，；〔3〕，；〔4〕，.3.的定義域?yàn)?，求以下函?shù)的定義域.〔1〕；〔2〕；〔3〕.4.設(shè)，求，.5.判斷以下函數(shù)的奇偶性.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕.6.設(shè)以下考慮的函數(shù)都是定義在區(qū)間上的，證明：〔1〕兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；〔2〕兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)和奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).7.以下函數(shù)中哪些是周期函數(shù)如果是，確定其周期.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.8.求以下函數(shù)的反函數(shù).〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕.9.以下函數(shù)是有哪些函數(shù)復(fù)合而成的.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.10.設(shè)，，求，，.第2節(jié)極限極限在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位，微積分思想的構(gòu)架就是用極限定義的.本節(jié)主要研究數(shù)列極限、函數(shù)極限的概念以及極限的有關(guān)性質(zhì)等內(nèi)容.2.1數(shù)列的極限2.1.1數(shù)列的概念定義1假設(shè)按照一定的法那么，有第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)，那么，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).例如；；；都是數(shù)列，它們的一般項(xiàng)依次為，，，.我們可以看到，數(shù)列值隨著n變化而變化，因此可以把數(shù)列看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)，即另外，從幾何的角度看，數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取a1，a2，，，，在數(shù)軸上表示為〔圖1-11〕：圖1-112.1.2數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的思想早在古代就已萌生，我國(guó)?莊子?一書中著名的“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭〞，魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在?九章算術(shù)注?中首創(chuàng)“割圓術(shù)〞，用圓內(nèi)接多邊形的面積去逼近圓的面積，都是極限思想的萌芽.設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；依次進(jìn)展下去，一般把內(nèi)接正邊形的面積記為，可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：，，，…，，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，也無(wú)限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.在上面的例子中，數(shù)列如圖1-12：圖1-12當(dāng)時(shí)，無(wú)限接近于常數(shù)0，那么0就是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.再如數(shù)列：當(dāng)時(shí)，無(wú)限接近于常數(shù)1，那么1就是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限；而數(shù)列：當(dāng)時(shí)，在1和-1之間來(lái)回震蕩，無(wú)法趨近一個(gè)確定的常數(shù)，故數(shù)列當(dāng)時(shí)無(wú)極限.由此推得數(shù)列的直觀定義：定義2設(shè)是一數(shù)列，是一常數(shù).當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)〔即〕，無(wú)限接近于，那么稱為數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限，記作或an→a〔n→∞〕．在上例中，，，對(duì)于數(shù)列，其極限為，即當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于.如何度量與無(wú)限接近呢一般情況下，兩個(gè)數(shù)之間的接近程度可以用這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值來(lái)度量，并且越小，表示與越接近.例如數(shù)列，通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近0，即0是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.下面通過(guò)距離來(lái)描述數(shù)列的極限為0.由于當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，越來(lái)越小，從而越來(lái)越接近于0.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于0.例如，給定，要使，只要即可.也就是說(shuō)從101項(xiàng)開(kāi)場(chǎng)都能使成立.給定，要使，只要即可.也就是說(shuō)從10001項(xiàng)開(kāi)場(chǎng)都能使成立.一般地，不管給定的正數(shù)多么的小，總存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立.這就是數(shù)列當(dāng)時(shí)極限的實(shí)質(zhì).根據(jù)這一特點(diǎn)得到數(shù)列極限的準(zhǔn)確定義.定義3設(shè)是一數(shù)列，是一常數(shù).如果對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，那么稱是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于.記作.反之，如果數(shù)列的極限不存在，那么稱數(shù)列發(fā)散.在上面的定義中，可以任意給定，不等式表達(dá)了與無(wú)限接近程度.此外與有關(guān)，隨著的給定而選定.表示了從項(xiàng)開(kāi)場(chǎng)滿足不等式.對(duì)數(shù)列的極限為也可以略寫為：數(shù)列的極限為的幾何解釋：將常數(shù)與數(shù)列在數(shù)軸上用對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示出來(lái)，從項(xiàng)開(kāi)場(chǎng)，數(shù)列的點(diǎn)都落在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外〔圖1-13〕.圖1-13例1證明數(shù)列極限.證明由于對(duì)，要使即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知例2證明數(shù)列極限.證明由于對(duì)，要使即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知.注：在利用數(shù)列極限的定義來(lái)證明數(shù)列的極限時(shí)，重要的是要指出對(duì)于任意給定的正數(shù)，正整數(shù)確實(shí)存在，沒(méi)有必要非去尋找最小的.例3證明數(shù)列極限.證明由于對(duì)，要使即取對(duì)數(shù)得.取，當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知.2.2數(shù)列極限的性質(zhì)定理1(極限的唯一性)收斂數(shù)列的極限必唯一證明〔反證法〕假設(shè)同時(shí)有及且，不妨設(shè)a<b按極限的定義對(duì)于>0由于，存在充分大的正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有有.由于，存在充分大的正整數(shù)使當(dāng)時(shí)有有.取，那么當(dāng)時(shí)，同時(shí)有和成立，這是不可能的，故假設(shè)不成立.收斂數(shù)列的極限必唯一.定理2(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列收斂那它一定有界即對(duì)于收斂數(shù)列，必存在正數(shù)，對(duì)一切，有證明設(shè)，根據(jù)數(shù)列極限的定義取1存在正整數(shù)N當(dāng)時(shí)不等式都成立于是當(dāng)時(shí).取，那么數(shù)列中的一切都滿足不等式這就證明了數(shù)列是有界的定理2說(shuō)明了收斂數(shù)列一定有界，反之不成立.例如，數(shù)列有界，但是不收斂.定理3(收斂數(shù)列的保號(hào)性)如果,且(或)那么存在正整數(shù)N當(dāng)時(shí)有(或)證明就的情形由數(shù)列極限的定義對(duì),,當(dāng)時(shí)有從而.推論如果數(shù)列從某項(xiàng)起有(或)且那么(或).定理4(夾逼準(zhǔn)那么)如果數(shù)列、及滿足以下條件(1)(2)那么數(shù)列的極限存在且證明因?yàn)橐愿鶕?jù)數(shù)列極限的定義0當(dāng)時(shí)有.又當(dāng)時(shí)有現(xiàn)取那么當(dāng)時(shí)有同時(shí)成立又因所以當(dāng)時(shí)有即這就證明了例4求證.證明由于，而，，由夾逼準(zhǔn)那么知，.如果數(shù)列滿足條件就稱數(shù)列是單調(diào)增加的.如果數(shù)列滿足條件就稱數(shù)列是單調(diào)減少的單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列定理5(單調(diào)有界準(zhǔn)那么)單調(diào)有界數(shù)列必有極限例5求數(shù)列的極限.解證明數(shù)列的有界性.令那么其中，.設(shè)，那么.由歸納法知，對(duì)所有的，有故有界.證明數(shù)列的單調(diào)性.，，那么.設(shè)，那么.由歸納法知，對(duì)所有的，有故單調(diào)遞增.由單調(diào)有界準(zhǔn)那么知，數(shù)列存在極限，設(shè)為.在兩邊取極限，得,解得或.由于收斂數(shù)列保號(hào)性知舍去.故所求數(shù)列的極限是.2.3函數(shù)的極限由于數(shù)列可以看做是自變量為的函數(shù)：.所以數(shù)列的極限為，可以認(rèn)為是當(dāng)自變量取正整數(shù)且無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于常數(shù).對(duì)一般的函數(shù)而言，在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)就叫做在自變量在這一變化過(guò)程的極限.這說(shuō)明函數(shù)的極限與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)，自變量的變化趨勢(shì)不同，函數(shù)的極限也會(huì)不同.下面主要介紹自變量的兩種變化趨勢(shì)下函數(shù)的極限.2.3.1自變量時(shí)函數(shù)的極限引例觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)〔圖1-14〕.圖1-14從圖1-14可以看出，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近于0〔確定的常數(shù)〕.由此推得函數(shù)在時(shí)極限的直觀定義：定義4設(shè)當(dāng)x大于某一正數(shù)時(shí)有定義，當(dāng)x無(wú)限增大時(shí),函數(shù)值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù),稱為當(dāng)x→+∞時(shí)的極限.記作或．引例中，類比于數(shù)列極限的定義推得當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限的直觀定義：定義5設(shè)當(dāng)x大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，那么稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作.對(duì)定義5的簡(jiǎn)單表達(dá)：類比當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義：定義6設(shè)當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，那么稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作.對(duì)定義6的簡(jiǎn)單表達(dá)：在引例中，結(jié)合定義5和定義6，推得函數(shù)在時(shí)的極限定義：定義7設(shè)當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，那么稱是函數(shù)在時(shí)的極限，記作.對(duì)定義7的簡(jiǎn)單表達(dá)：結(jié)合定義7，函數(shù)在時(shí)的極限存在的充要條件是：例6證明.證明由于對(duì)，要使即取當(dāng)時(shí)，有由極限的定義知.從幾何上看，表示當(dāng)時(shí)，曲線位于直線和之間〔圖1-15〕.圖1-15這時(shí)稱直線為曲線的水平漸近線.例如，那么是曲線的水平漸近線.2.3.2自變量時(shí)函數(shù)的極限引例1觀察函數(shù)和在時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)〔圖1-16〕：圖1-16從圖1-16中得出，函數(shù)和在時(shí)函數(shù)值都無(wú)限接近于2，那么稱2是函數(shù)和在時(shí)的極限.從上例中看出，雖然和在處都有極限，但在處不定義.這說(shuō)明函數(shù)在一點(diǎn)處是否存在極限與它在該點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān).因此，在后面的定義中假定函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在時(shí)函數(shù)極限的直觀定義：定義7函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值無(wú)限接近于確定的常數(shù)，稱為函數(shù)在時(shí)的極限.在定義7中，函數(shù)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，表示能任意小，在此同樣可以通過(guò)對(duì)于任意給定的正數(shù)，表示.而可以表示為〔>0〕，表達(dá)了接近的程度.由此得到函數(shù)在時(shí)函數(shù)極限的準(zhǔn)確定義：定義8函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)滿足不等式時(shí)，函數(shù)滿足不等式，稱為函數(shù)在時(shí)的極限.記作或.定義8簡(jiǎn)單表述為：函數(shù)在時(shí)極限為的幾何解釋：對(duì)，當(dāng)時(shí)，曲線位于直線和之間，如圖1-17：圖1-17例7證明為常數(shù).證明由于對(duì)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有故例8證明證明由于對(duì)，要使，即取，當(dāng)時(shí)，都有故在函數(shù)的極限中，既包含從左側(cè)向靠近，又包含從右側(cè)向靠近.因此，在求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限時(shí)，由于在處兩側(cè)函數(shù)式子不同，只能分別討論.左側(cè)向靠近的情形，記作.從右側(cè)向靠近的情形，記作.在定義8中，假設(shè)把空心鄰域改為，那么稱為函數(shù)在時(shí)的左極限.記作或.類似地，假設(shè)把空心鄰域改為，那么稱為函數(shù)在時(shí)的右極限.記作或.我們把左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.根據(jù)在時(shí)極限的定義推出在時(shí)的極限存在的充要條件是左、右極限都存在并且相等，即：.例9討論函數(shù)當(dāng)時(shí)極限不存在.解函數(shù)圖形〔圖1-18〕如下：圖1-18載處的左極限為；右極限為.由于，故不存在.2.3.3函數(shù)的極限的性質(zhì)類比數(shù)列極限的性質(zhì)，可以推得函數(shù)極限的性質(zhì).由于函數(shù)極限自變量的變化趨勢(shì)有不同的形式，下面僅以為代表討論.性質(zhì)1〔唯一性〕假設(shè)，那么極限值是唯一的.性質(zhì)2〔局部有界性〕假設(shè)，假設(shè)存在常數(shù)及，當(dāng)時(shí)，有.性質(zhì)3〔保號(hào)性〕假設(shè)，且〔或〕，假設(shè)存在，當(dāng)時(shí)，有〔或〕.性質(zhì)4〔夾逼準(zhǔn)那么〕設(shè)、、是三個(gè)函數(shù)，假設(shè)存在，當(dāng)時(shí)，有，，那么.2.4無(wú)窮大與無(wú)窮小在研究函數(shù)的變化趨勢(shì)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到兩種特殊情形：一是函數(shù)的極限為零，二是函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大，即是本節(jié)討論的無(wú)窮小和無(wú)窮大，以為代表討論.2.4.1無(wú)窮小假設(shè)，那么稱函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮小.例如，那么是時(shí)的無(wú)窮小.，那么是時(shí)的無(wú)窮小.在此需要指出的是：〔1〕無(wú)窮小不是很小的數(shù)，它表示當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)值可以任意小的函數(shù).〔2〕在說(shuō)一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小時(shí)，一定要指明自變量的變化趨勢(shì).同一函數(shù)，在自變量的不同變化趨勢(shì)下，極限不一定為零；在常數(shù)里面.〔3〕0是唯一的無(wú)窮小.2.4.2無(wú)窮大函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)滿足不等式時(shí)，函數(shù)值滿足不等式，那么稱函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮大.按照函數(shù)極限的定義，當(dāng)時(shí)無(wú)窮大的函數(shù)極限是不存在的.為了便于表達(dá)函數(shù)的這一性態(tài)，習(xí)慣上稱作函數(shù)的極限是無(wú)窮大，記作.假設(shè)把定義中改為，稱函數(shù)極限為正無(wú)窮大〔或負(fù)無(wú)窮大〕，記作.在此，同樣注意無(wú)窮大不是很大的數(shù)，不能和很大的數(shù)混為一談.例如由于，為時(shí)的無(wú)窮大，如圖1-19.圖1-19從圖形上看，當(dāng)時(shí)，曲線無(wú)限接近于直線.一般地，假設(shè)，那么直線為曲線的鉛直漸近線.在上例中，是曲線的鉛直漸近線.2.4.3無(wú)窮小的性質(zhì)性質(zhì)1充要條件是，其中為時(shí)的無(wú)窮小.證明，，當(dāng)時(shí)，都有.令，那么，即，說(shuō)明為時(shí)的無(wú)窮小.此時(shí).性質(zhì)2在自變量的同一變化過(guò)程中，假設(shè)為無(wú)窮大，那么為無(wú)窮??；假設(shè)為無(wú)窮小，且，那么為無(wú)窮大.例如由于，那么.性質(zhì)3有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小.性質(zhì)4有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.例10求極限.解由于，是有界函數(shù)，而.由性質(zhì)4得推論1常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.習(xí)題1-21.根據(jù)數(shù)列的變化趨勢(shì)，求以下數(shù)列的極限：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.2.根據(jù)數(shù)列極限的定義，證明：〔1〕；〔2〕.〔3〕；〔4〕.3.設(shè)，求證.4.設(shè)數(shù)列有界，，求證.5.根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.6.求以下函數(shù)在指定點(diǎn)處的左、右極限，并判斷在改點(diǎn)處極限是否存在.〔1〕，在處；〔2〕，在處；〔3〕，在處.7.指出以下函數(shù)在什么情況下是無(wú)窮小，什么情況下是無(wú)窮大.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.8.求以下函數(shù)的極限.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.9.求函數(shù)的圖形的漸近線.10.利用極限存在準(zhǔn)那么證明：〔1〕；〔2〕；〔3〕數(shù)列的極限存在；〔4〕數(shù)列，的極限存在.第3節(jié)極限的運(yùn)算本節(jié)討論極限的求法，主要內(nèi)容是極限的四那么運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法那么，以及利用這些法那么，求某些特定函數(shù)的極限.由于函數(shù)極限自變量的變化趨勢(shì)有不同的形式，下面僅以為代表討論.3.1極限的四那么運(yùn)算法那么定理1如果，那么〔1〕；〔2〕；〔3〕假設(shè)，那么證明只證.由于，那么，,其中是時(shí)的無(wú)窮小.于是.由于仍然是時(shí)的無(wú)窮小，那么.其它情況類似可證.注：本定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形.例1求解例2求解注：在運(yùn)用極限的四那么運(yùn)算的商運(yùn)算時(shí)，分母的極限.但有時(shí)分母的極限，這時(shí)就不能直接應(yīng)用商運(yùn)算了.例3求解由于，分母中極限為0，故不能用四那么運(yùn)算計(jì)算.由于，根據(jù)無(wú)窮小的性質(zhì)，知例4求解由于時(shí)，分子、分母的極限都為0，記作型.分子分母有公因子，可約去公因子，所以總結(jié)：在求有理函數(shù)除法的極限時(shí)，〔1〕當(dāng)時(shí)，應(yīng)用極限四那么運(yùn)算法那么，；〔2〕當(dāng)，且時(shí)，由無(wú)窮小的性質(zhì)，；〔3〕當(dāng)，且時(shí)，約去使分子、分母同為零的公因子，再使用四那么運(yùn)算求極限.例5求解由于時(shí)，分子、分母的極限都為，記作型.用去除分子及分母，即例6求〔1〕〔2〕解〔1〕用去除分子及分母，得.〔2〕用去除分子及分母，求極限得總結(jié)：型的函數(shù)極限的一般規(guī)律是：當(dāng)，，為正整數(shù)，那么.例7求解這是型，可以先通分，再計(jì)算.例8求解這是型無(wú)理式，可以先進(jìn)展有理化，再計(jì)算..3.2兩個(gè)重要極限3.2.1作單位圓〔圖1-20〕,圖1-20取圓心角，設(shè)，由圖1-20可知，的面積，即，整理，得.不等式兩邊同時(shí)除以，取倒數(shù)，得.當(dāng)取值范圍換成區(qū)間，不等式符號(hào)不改變.當(dāng)時(shí)，，有夾逼準(zhǔn)那么知注意：在利用求函數(shù)的極限時(shí)，要注意使用條件：〔1〕極限是型；〔2〕式中帶有三角函數(shù)；〔3〕中的變量一致，都趨向于0.例9求解例10求解例11求解3.2.2考慮〔正整數(shù)〕的情形.記，下面證明是單調(diào)有界數(shù)列.由于.類似地，.比較和的展開(kāi)式，除前兩項(xiàng)外，的每一項(xiàng)都小于的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，且比多了最后的正數(shù)項(xiàng)，所以，即是單調(diào)遞增數(shù)列.由于.即是有界數(shù)列.由極限存在準(zhǔn)那么知，當(dāng)時(shí)，的極限存在，通常用字母來(lái)表示,即.可以證明，當(dāng)取實(shí)數(shù)而趨向〔或〕時(shí)，函數(shù)的極限也存在，且等于.故當(dāng)時(shí)，.令，當(dāng)時(shí)，，上式可變?yōu)椋蕵O限的另一種形式是注意：在利用求函數(shù)極限時(shí)，要注意使用條件：〔1〕極限是型；〔2〕和中的變量一致，且括號(hào)內(nèi)與括號(hào)右上角處互為倒數(shù).例12求解例13求解例14求解3.3無(wú)窮小的比較引例當(dāng)時(shí)，、、都是無(wú)窮小，而極限，，.引例中，在時(shí)，三個(gè)函數(shù)都是無(wú)窮小，但比值的極限結(jié)果不同，這反映了不同的無(wú)窮小趨于0的速度“快慢〞不同.定義在時(shí)，和為無(wú)窮小，〔1〕如果那么稱是為高階無(wú)窮小，記作；〔2〕如果那么稱是為低階無(wú)窮?。弧?〕如果那么稱與為同階無(wú)窮?。弧?〕如果那么稱是關(guān)于的階無(wú)窮??；〔5〕如果那么稱與為等價(jià)無(wú)窮小，記作.顯然等價(jià)無(wú)窮小是同階無(wú)窮小的特殊情形，即.在上面的例子中，由于，那么當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小，記作；由于，那么當(dāng)時(shí)，是的低階無(wú)窮?。挥捎?，那么當(dāng)時(shí)，是的同階無(wú)窮??；由于，那么當(dāng)時(shí)，是的等價(jià)無(wú)窮小.在此，列舉出當(dāng)時(shí)，常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小有；；；；；；；.在上述幾個(gè)無(wú)窮小的概念中，最常見(jiàn)的是等價(jià)無(wú)窮小，下面給出等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)：定理2的充要條件是.證明以自變量時(shí)的極限為例.必要性設(shè)，那么.故，即.充分性設(shè)，那么，故.注：其他自變量的變化趨勢(shì)下同上.定理3，，且存在，那么.證明以自變量時(shí)的極限為例.定理3說(shuō)明，在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的的極限時(shí)，分子或分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替.例15求解當(dāng)時(shí)，，，那么例16求解當(dāng)時(shí)，，，那么例17求解〔錯(cuò)誤做法〕當(dāng)時(shí)，.那么〔正確做法〕當(dāng)時(shí)，.那么說(shuō)明：在代數(shù)和中各等價(jià)無(wú)窮小不能分別替換，在因式中可以用等價(jià)無(wú)窮小的替換.習(xí)題1-31.求以下極限：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕；〔9〕；〔10〕；〔11〕；〔12〕；〔13〕〔常數(shù)〕；〔14〕；〔15〕；〔16〕〔常數(shù)〕；〔17〕；〔18〕；〔19〕；〔20〕；〔21〕；〔22〕；〔23〕；〔24〕.2.，求常數(shù).3.，求常數(shù).第4節(jié)函數(shù)的連續(xù)性在自然界中，有許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、植物的生長(zhǎng)等.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性.4.1函數(shù)連續(xù)的概念4.1.1函數(shù)的增量定義1設(shè)變量從它的一個(gè)值變到另一個(gè)值，其差稱作變量的增量，記作，即.例如，一天中某段時(shí)間，溫度從到，那么溫度的增量.當(dāng)溫度升高時(shí)，；當(dāng)溫度降低時(shí)，；當(dāng)時(shí)間的改變量很微小時(shí)，溫度的變化也會(huì)很小；當(dāng)時(shí)，.定義2對(duì)于函數(shù)，如果在定義區(qū)間內(nèi)自變量從變到，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值由變化到，那么稱為自變量的增量，記作，即或.〔1-4-1〕為函數(shù)的增量，記作，即或.〔1-4-2〕注：增量不一定是正的，當(dāng)初值大于終值時(shí)，增量就是負(fù)的.4.1.2函數(shù)連續(xù)的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在這鄰域內(nèi)從變到時(shí)，函數(shù)增量〔圖1-21〕.圖1-21假定不變，讓變動(dòng)，也隨之變化.如果當(dāng)無(wú)限變小時(shí)，也無(wú)限變小.根據(jù)這一特點(diǎn)，給出函數(shù)在處連續(xù)的概念.定義3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果，〔1-4-3〕那么稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，即是.而，由就是，即.定義3可以改寫為如下定義：定義4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果，〔1-4-4〕那么就稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).由定義4知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須滿足以下三個(gè)條件：函數(shù)在點(diǎn)處有定義；存在，即；例1討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解由于，而，故.由連續(xù)性的定義知，函數(shù)在處連續(xù).由于函數(shù)在處極限存在等價(jià)于在處左、右極限都存在并且相等，結(jié)合這一特點(diǎn)，下面定義左、右連續(xù)的概念.如果，那么稱函數(shù)在點(diǎn)處的左連續(xù).如果，那么稱函數(shù)在點(diǎn)處的右連續(xù).如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必有，那么有，這說(shuō)明了函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，既包含了在點(diǎn)處左連續(xù)，又包含了在點(diǎn)處右連續(xù).定理1函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù).注：此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性.例2討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解函數(shù)圖形如圖1-22.圖1-22由于，故在處左連續(xù).，故在處不右連續(xù).因此由定理1知，函數(shù)在處不連續(xù).以上是介紹函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的概念，下面介紹連續(xù)函數(shù)的概念.定義5如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),稱為內(nèi)的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)，那么稱在閉區(qū)間上連續(xù).例3證明函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的.證明任取，那么由于，當(dāng)時(shí)，由無(wú)窮小的性質(zhì)知，.由定義1，在處連續(xù).而是在內(nèi)任取的，故在內(nèi)是連續(xù)的.類似地，可以驗(yàn)證在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.4.2函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)定義6如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，那么稱在處連續(xù)，稱為的連續(xù)點(diǎn).根據(jù)定義3，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件知.換句話說(shuō)，只要其中一個(gè)條件不滿足，函數(shù)就在處連續(xù).因此在處出現(xiàn)連續(xù)的情形有以下三種：在處無(wú)定義；〔2〕在處雖然有定義，但是不存在；〔3〕在處有定義，存在，但是.在處只要符合上述三種情形之一，那么函數(shù)在處必連續(xù).下面舉例函數(shù)連續(xù)的例子.〔1〕函數(shù)在處無(wú)定義，所以是的連續(xù)點(diǎn).〔2〕符號(hào)函數(shù)，在處，由于，.由于在處函數(shù)左、右極限不相等，故不存在，因此是此函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).〔3〕函數(shù)，在處，由于，而故，是此函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).從上面的例子看出，函數(shù)在處雖然都是連續(xù)，但產(chǎn)生連續(xù)的原因各不一樣.根據(jù)這一特點(diǎn)，下面對(duì)連續(xù)點(diǎn)進(jìn)展分類:如果與都存在，那么稱為的第一類連續(xù)點(diǎn)，否那么稱為第二類連續(xù)點(diǎn).在第一類連續(xù)點(diǎn)中，如果，那么稱為的可去連續(xù)點(diǎn)；如果，那么稱為的跳躍連續(xù)點(diǎn).在上面的例子中，在〔2〕中是跳躍連續(xù)點(diǎn)，在〔3〕中是可去連續(xù)點(diǎn).在第二類連續(xù)點(diǎn)中，如果與至少有一個(gè)為，那么稱為的無(wú)窮連續(xù)點(diǎn)；如果與至少有一個(gè)是不斷振蕩的，那么稱為的振蕩連續(xù)點(diǎn).在上例〔1〕中，是無(wú)窮連續(xù)點(diǎn).再如，為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)在-1和1之間出現(xiàn)無(wú)限次的振蕩，如圖1-23：圖1-23那么為振蕩連續(xù)點(diǎn).4.3初等函數(shù)的連續(xù)性定理2設(shè)函數(shù)與在處連續(xù)，那么其和、差、積、商〔分母在處函數(shù)值不為零〕在處也連續(xù).定理3設(shè)函數(shù)由和復(fù)合而成.且在處連續(xù)，處極限存在，那么.注：內(nèi)函數(shù)的極限存在,外函數(shù)在該極限點(diǎn)連續(xù)，那么求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)極限符號(hào)可以與外函數(shù)符號(hào)互換.例4求解由和復(fù)合而成.且，在處連續(xù)，那么在定理3中，如果把條件改為在處連續(xù)，且結(jié)論仍然成立，即.例5求解由和復(fù)合而成.在處連續(xù)，；在處連續(xù)，那么由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四那么運(yùn)算和有限次的復(fù)合構(gòu)成的，結(jié)合定理2和定理3知，初等函數(shù)在定義區(qū)間是連續(xù)的.定理4初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.例6求解例7求解例8求解令，那么，當(dāng)時(shí)，.那么里7、例8也說(shuō)明了當(dāng)時(shí)，，.例9求解由于，當(dāng)時(shí)，，故.一般地，形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù).如果那么.4.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在4.1中已經(jīng)介紹了函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)的概念，下面繼續(xù)討論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).4.4.1最值定理定理5〔最值定理〕閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值.此定理說(shuō)明，如果函數(shù)，如圖1-24：圖1-24那么至少存在一點(diǎn)，，，都有，那么是上的最小值.至少存在一點(diǎn)，，，都有，那么是上的最大值.注：定理5中條件“閉區(qū)間〞和“連續(xù)〞很重要，如果缺少一個(gè)，定理5不一定成立.例如，函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)雖然連續(xù)，但是沒(méi)有最大值和最小值〔圖1-25〕.函數(shù)在閉區(qū)間上不連續(xù)，不存在最大值和最小值〔圖1-26〕.圖1-25圖1-26由于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)存在最大值和最小值，因此閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必定有界.推論：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界.4.4.2介值定理定理6〔介值定理〕函數(shù)在上連續(xù)，和分別是在上的最大值和最小值，那么至少存在一點(diǎn)，使得〔圖1-27〕.圖1-27定理7〔零點(diǎn)定理〕函數(shù)在上連續(xù)，且，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得〔圖1-28〕.圖1-28例10證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.解設(shè)，顯然在上連續(xù)，而，，由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)，使得.即在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.例11設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且,,證明至少存在一點(diǎn)，使得.解設(shè)，顯然在上連續(xù)，而，，由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)，使得.即.注：在應(yīng)用零點(diǎn)定理時(shí)，一定要注意檢驗(yàn)函數(shù)是否滿足定理使用的條件.習(xí)題1-41.用定義證明在內(nèi)是連續(xù)的.2.討論以下函數(shù)在指定點(diǎn)處的連續(xù)性，如果連續(xù)，說(shuō)明連續(xù)點(diǎn)的類型；如果是可去連續(xù)點(diǎn)，補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使其連續(xù).〔1〕，在處；〔2〕，在處；〔3〕，在處；〔4〕，在處.3.討論函數(shù)的連續(xù)性，如果連續(xù)，說(shuō)明連續(xù)點(diǎn)的類型.4.函數(shù)在處連續(xù)，求的值.5.求以下極限.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕；〔9〕；〔10〕；〔11〕；〔12〕.6.方程至少有一個(gè)實(shí)根.7.證明：假設(shè)與都在上連續(xù)，且，，那么存在點(diǎn)，使得.8.證明方程〔〕至少有一個(gè)正根，且它不超過(guò).9.證明函數(shù)在之間至少有2個(gè)零點(diǎn).第5節(jié)極限與連續(xù)的應(yīng)用5.1經(jīng)濟(jì)應(yīng)用5.1.1需求與供給函數(shù)設(shè)為商品社會(huì)需求量，為商品的價(jià)格，那么稱為需求函數(shù).設(shè)商品的社會(huì)供給量為，那么社會(huì)供給量與商品價(jià)格之間的函數(shù)為供給函數(shù).某商品的價(jià)格水平位，商品的社會(huì)需求量和商品的供給量到達(dá)平衡，稱為均衡價(jià)格，即.此時(shí)，為均衡數(shù)量.例1某種商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為，，求該商品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和均衡數(shù)量.解設(shè)均衡價(jià)格為，滿足，即，解得.從而均衡數(shù)量5.1.2成本、收益、利潤(rùn)函數(shù)某商品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源的價(jià)格或費(fèi)用總額.它由固定資本(生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi),用于維修、添制設(shè)備等)和可變資本(每單位產(chǎn)品消耗原材料、勞力等費(fèi)用)組成.由此可見(jiàn)總成本函數(shù)是產(chǎn)量〔或銷量〕的函數(shù)，即.總收益是指銷售一定數(shù)量商品所得的收入，它既是銷量的函數(shù)，又是價(jià)格的函數(shù)，即.生產(chǎn)〔或銷售〕一定數(shù)量商品的總利潤(rùn)在不考慮稅收的情況下，它是總收入與總成本之差，即.例2某產(chǎn)品的價(jià)格為，需求函數(shù)為，成本函數(shù)為，求利潤(rùn)與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大及最大利潤(rùn)是多少解有需求函數(shù)知，故收益函數(shù)為，利潤(rùn)函數(shù)因此，當(dāng)時(shí)取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為25.5.2工程應(yīng)用根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，建設(shè)函數(shù)關(guān)系式〔建設(shè)數(shù)學(xué)模型〕，并根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，確定函數(shù)的定義域.例3放射性元素鍶的半衰期是25年，存量與時(shí)間的關(guān)系式為：.即任意質(zhì)量的鍶在25年后，其質(zhì)量將為原來(lái)的一半，其中為原始量.假設(shè)一份鍶樣品的質(zhì)量為24mg，求鍶在年后質(zhì)量表達(dá)式；求.解〔1〕質(zhì)量為24mg，求鍶在年后質(zhì)量表達(dá)式：.〔2〕.例4設(shè)冰從升到所需要的熱量〔單位：〕模型為試問(wèn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否連續(xù)并解釋其幾何意義.解此分段函數(shù)的分界點(diǎn)為，因此只討論處的連續(xù)性即可.由于，，故，函數(shù)在處的不連續(xù).這是由于冰水混合物在時(shí)吸收熱量而不改變溫度.習(xí)題1-51.某型號(hào)手機(jī)價(jià)格為每只1000元時(shí)能賣出15只，當(dāng)價(jià)格為每只800元時(shí)，能賣出20只.手機(jī)的價(jià)格上下與其需求量多少是線性關(guān)系，試建設(shè)該型號(hào)手機(jī)的需求量與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系.2.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1000元，可變資本4元，單位售價(jià)8元.求：〔1〕總成本函數(shù)；〔2〕單位成本函數(shù)；〔3〕銷售收入函數(shù)；〔4〕利潤(rùn)函數(shù).3.某商品的銷售量與單價(jià)的關(guān)系為，試將總收益表示為銷售量的函數(shù).4.某礦廠A要將生產(chǎn)出的礦石運(yùn)往鐵路旁的冶煉廠B冶煉.該礦距冶煉廠所在鐵路垂直距離為a公里,它的垂足C到B的距離為b公里.又知鐵路運(yùn)價(jià)為m元/噸·公里,公路運(yùn)價(jià)是n元/噸·公里(m<n),為節(jié)省運(yùn)費(fèi),擬在鐵路上另修一小站M作為轉(zhuǎn)運(yùn)站,那么總運(yùn)費(fèi)的多少?zèng)Q定于M的位置.試求出運(yùn)費(fèi)與距離的函數(shù)關(guān)系.5.一個(gè)商場(chǎng)的停車場(chǎng)第一個(gè)小時(shí)及以內(nèi)收費(fèi)5元，以后每小時(shí)及以內(nèi)加收費(fèi)3元，每天最多收費(fèi)20元，討論此函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)及它們的意義.6.空氣通過(guò)盛有吸收劑的圓柱形器皿，該器皿吸收的量與的體積分?jǐn)?shù)及吸收層厚度成正比.今有體積分?jǐn)?shù)為8%的空氣，通過(guò)厚度為10cm的吸收層后，體積分?jǐn)?shù)為2%.問(wèn)〔1〕假設(shè)吸收層厚度為30cm，出口處空氣中的體積分?jǐn)?shù)是多少〔2〕假設(shè)要使出口處空氣中的體積分?jǐn)?shù)為1%，吸收層厚度應(yīng)為多少第6節(jié)MATLAB軟件應(yīng)用6.1函數(shù)作圖在高等數(shù)學(xué)中，經(jīng)常利用函數(shù)圖形研究函數(shù)的性質(zhì)，在此，我們應(yīng)用MATLAB命令來(lái)實(shí)現(xiàn)這一操作.應(yīng)用MATLAB命令描繪函數(shù)圖形常用命令是ezplot，其實(shí)用方法為：對(duì)于一元函數(shù)在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命令：ezplot(f,[a,b])；對(duì)于平面方程在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命ezplot(f,[a,b,c,d])；對(duì)于參數(shù)方程在指定區(qū)間上做函數(shù)圖形命令：ezplot(f,g,[,]).例1作出在上的圖形.解輸入命令：ezplot(sin(x),[-pi,pi])；輸出結(jié)果如圖1-28.例2作出在上的圖形.解輸入命令：ezplot(asin(x),[-1,1])；輸出結(jié)果如圖1-29。圖1-29圖1-30例3作出在上的圖形.解輸入命令：ezplot(t-sin(t),1-cos(t),[0,2*pi])；輸出結(jié)果如圖1-30.圖1-316.2極限的計(jì)算在MATLAB命令中，提供limit函數(shù)來(lái)求取數(shù)列的極限，其調(diào)用格式為：的MATLAB命令：L=limit(an,n,inf);的MATLAB命令：L=limit(f,x,inf);的MATLAB命令：L=limit(f,x,-inf);的MATLAB命令：L=limit(f,x,a);的MATLAB命令：L=limit(f,x,a,’right’);的MATLAB命令：L=limit(f,x,a,’left’).例4計(jì)算.解輸入命令：symsn；L=limit(1/n,n,inf)；輸出結(jié)果：L=0.例5計(jì)算.解輸入命令：symsx；L=l