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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線方程為,一直線與拋物線交于兩點(diǎn),其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線的方程為()A. B. C. D.2.以下三個(gè)命題:①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;③對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō),越小,判斷“與有關(guān)系”的把握越大;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.03.設(shè)集合則()A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.45.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg6.已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線上一點(diǎn),為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.已知為非零向量,“”為“”的()A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.149.已知,且,則()A. B. C. D.10.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.511.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的角所對(duì)的邊分別為,且,,若,則的值為__________.14.在三棱錐中,,,兩兩垂直且,點(diǎn)為的外接球上任意一點(diǎn),則的最大值為______.15.已知雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,則雙曲線的焦距為______.16.在等比數(shù)列中,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若,求的取值范圍;(2)若,對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.18.(12分)“綠水青山就是金山銀山”,為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識(shí),高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組,分為兩組,討論學(xué)習(xí).甲組一共有人,其中男生人,女生人,乙組一共有人,其中男生人,女生人,現(xiàn)要從這人的兩個(gè)興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.(1)設(shè)事件為“選出的這個(gè)人中要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生,而且這兩個(gè)男生必須來(lái)自不同的組”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和期望19.(12分)如圖,在四棱柱中,底面為菱形,.(1)證明:平面平面;(2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.20.(12分)已知等差數(shù)列滿足,.(l)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,為的中點(diǎn),是上的點(diǎn).(1)若平面,證明:平面.(2)求二面角的余弦值.22.(10分)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
設(shè),,利用點(diǎn)差法得到,所以直線的斜率為2,又過(guò)點(diǎn),再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【詳解】解:設(shè),∴,又,兩式相減得:,∴,∴,∴直線的斜率為2,又∴過(guò)點(diǎn),∴直線的方程為:,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題,解題方法是“點(diǎn)差法”,即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系.2.C【解析】
根據(jù)抽樣方式的特征,可判斷①;根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),可判斷②;根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟,可判斷③.【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同,且樣本間無(wú)明顯差異,故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣,即①為假命題;②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱,則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0;故②為真命題;③對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō),越小,“與有關(guān)系”的把握程度越小,故③為假命題.故選:.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】
直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.4.D【解析】
先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題,化歸基本量,尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.5.D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯(cuò)誤.故選D.6.D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上的一點(diǎn),為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn),且都位于第一象限,且,可知為的三等分點(diǎn),且,點(diǎn)在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).7.B【解析】
由數(shù)量積的定義可得,為實(shí)數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷;再根據(jù)判斷,由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以;若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.8.D【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】分析:首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題中所給的角的范圍,求得的值,之后借助于倍角公式,將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子,代入從而求得結(jié)果.詳解:根據(jù)題中的條件,可得為銳角,根據(jù),可求得,而,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用,在解題的過(guò)程中,需要對(duì)已知真切求余弦的方法要明確,可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解,也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.10.C【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.11.D【解析】
根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn);利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象;由直線恒過(guò)定點(diǎn),通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定;利用過(guò)某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為:原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知,直線恒過(guò)點(diǎn)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過(guò)點(diǎn)的曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為由圖象可知,當(dāng)時(shí),與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè),,則,解得:設(shè),,則,解得:,則本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問(wèn)題;涉及到過(guò)某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問(wèn)題;解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)稱性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題,通過(guò)確定直線恒過(guò)的定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行求解.12.C【解析】
根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因?yàn)椋?,因?yàn)椋?由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因?yàn)?,解得或(舍?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標(biāo)對(duì)所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.14.【解析】
先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì),求出外接球的半徑,結(jié)合向量的運(yùn)算,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點(diǎn)到外心距離最大的問(wèn)題,即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪鼻?,故三棱錐的外接球就是對(duì)應(yīng)棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn),如下圖所示:容易知外接球半徑為.設(shè)線段的中點(diǎn)為,故可得,故當(dāng)取得最大值時(shí),取得最大值.而當(dāng)在同一個(gè)大圓上,且,點(diǎn)與線段在球心的異側(cè)時(shí),取得最大值,如圖所示:此時(shí),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查球體的幾何性質(zhì),幾何體的外接球問(wèn)題,涉及向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算,屬綜合性困難題.15.1【解析】
由雙曲線的漸近線,以及求得的值即可得答案.【詳解】由于雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,即①,把代入,得,即②又③聯(lián)立①②③,得.所以.故答案是:1.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),注意題目“雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為”這一條件的運(yùn)用,另外注意題目中要求的焦距即,容易只計(jì)算到,就得到結(jié)論.16.1【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)分類討論,,,即可得出結(jié)果;(2)先由題意,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即可,再求出,的最小值,解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】(1)由得,若,則,顯然不成立;若,則,,即;若,則,即,顯然成立,綜上所述,的取值范圍是.(2)由題意知,要使得不等式恒成立,只需,當(dāng)時(shí),,所以;因?yàn)?,所以,解得,結(jié)合,所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法,以及由不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題,熟記分類討論的思想、以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可,屬于??碱}型.18.(Ⅰ);(Ⅱ)分布列見解析,.【解析】
(Ⅰ)直接利用古典概型概率公式求.(Ⅱ)先由題得可能取值為,再求x的分布列和期望.【詳解】(Ⅰ)(Ⅱ)可能取值為,,,,,的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的計(jì)算,考查隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知,只需證明平面即可.由為菱形可得,連接和與的交點(diǎn),由等腰三角形性質(zhì)可得,即能證得平面;(2)由題意知,平面,可建立空間直角坐標(biāo)系,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,再分別求出平面的法向量,平面的法向量,即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值.【詳解】(1)如圖,設(shè)與相交于點(diǎn),連接,又為菱形,故,為的中點(diǎn).又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等邊三角形,可得,故平面,所以,,兩兩垂直.如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則,,則,,,,,,設(shè)為平面的法向量,則即可取,設(shè)為平面的法向量,則即可取,所以.所以二面角的余弦值為0.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的應(yīng)用,以及利用向量法求二面角,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20.(1);(2).【解析】試題分析:(1)設(shè)等差數(shù)列滿的首項(xiàng)為,公差為,代入兩等式可解。(2)由(1),代入得,所以通過(guò)裂項(xiàng)求和可求得。試題解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由題意可得,解得.所以.(2)因?yàn)椋?所以.21.(1)證明見解析(2
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