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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.3.在等腰直角三角形中,,為的中點(diǎn),將它沿翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.4.“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶,“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn),己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是()A. B. C.10 D.5.tan570°=()A. B.- C. D.6.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋魪膱A:的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn),則取自的概率為()A. B. C. D.7.已知直線與圓有公共點(diǎn),則的最大值為()A.4 B. C. D.8.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.9.已知滿足,則的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.11.設(shè),,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.對(duì)定義在上的函數(shù),如果同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:(1)對(duì)任意的總有;(2)當(dāng),,時(shí),總有成立.則稱函數(shù)稱為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.14.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中第一題:“今有共買(mǎi)物,人出八,盈三錢(qián);人出七,不足四,問(wèn)人數(shù)物價(jià)各幾何?”借用我們現(xiàn)在的說(shuō)法可以表述為:有幾個(gè)人合買(mǎi)一件物品,每人出8元,則付完錢(qián)后還多3元;若每人出7元,則還差4元才夠付款.問(wèn)他們的人數(shù)和物品價(jià)格?答:一共有_____人;所合買(mǎi)的物品價(jià)格為_(kāi)______元.15.若,i為虛數(shù)單位,則正實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.16.函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),試求曲線在點(diǎn)處的切線;(2)試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:,恒成立.19.(12分)如圖,在三棱柱中,、、分別是、、的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影為,求到平面的距離.20.(12分)已知(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)記,若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn),求證:.21.(12分)已知函數(shù)(,),且對(duì)任意,都有.(Ⅰ)用含的表達(dá)式表示;(Ⅱ)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.22.(10分)如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,,,是的三等分點(diǎn),是的中點(diǎn).分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點(diǎn),得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,,分別為,的中點(diǎn).(1)證明:平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意得圓心為,的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,又,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,化簡(jiǎn)整理得,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點(diǎn):1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算;2、復(fù)數(shù)的模.3.D【解析】
如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),這樣根據(jù)幾何關(guān)系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設(shè)外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn),設(shè)幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計(jì)算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時(shí),一般可以用補(bǔ)形法,因正方體,長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.4.D【解析】
直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型:,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.5.A【解析】
直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
畫(huà)出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對(duì)應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因?yàn)橹本€,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算,考查線性可行域的畫(huà)法,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點(diǎn),得到,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楸硎緢A,所以,解得,因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn),所以圓心到直線的距離,即,解得,此時(shí),因?yàn)?,在遞增,所以的最大值.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.8.C【解析】
由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),圓的方程的有關(guān)計(jì)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力.9.C【解析】
設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè),則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的斜率,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由圖可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線平行于軸時(shí),此時(shí)成立;取所有負(fù)值都成立;當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取正值中的最小值,,此時(shí);故的取值范圍為;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問(wèn)題,解題時(shí)作出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵.對(duì)于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.10.C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因?yàn)椋业膱D象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)椋?,又,,則|,即,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.11.A【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無(wú)法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.12.C【解析】
由每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和在遞增,而在遞減.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見(jiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由不等式恒成立問(wèn)題采用分離變量最值法:對(duì)任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,從而可得.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上G函數(shù),所以對(duì)任意的總有,則對(duì)任意的恒成立,解得,當(dāng)時(shí),又因?yàn)?,,時(shí),總有成立,即恒成立,即恒成立,又此時(shí)的最小值為,即恒成立,又因?yàn)榻獾?故答案為:【點(diǎn)睛】本題是一道函數(shù)新定義題目,考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查了學(xué)生分析理解能力,屬于中檔題.14.753【解析】
根據(jù)物品價(jià)格不變,可設(shè)共有x人,列出方程求解即可【詳解】設(shè)共有人,由題意知,解得,可知商品價(jià)格為53元.即共有7人,商品價(jià)格為53元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)文化及一元一次方程的應(yīng)用,屬于中檔題.15.【解析】
利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì),即可得答案.【詳解】由已知可得:,,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組,解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),可以求出曲線在點(diǎn)處的切線,利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程;(2)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論,可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)椋?所以切線方程為;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增當(dāng)時(shí),恒成立,函數(shù)定義域?yàn)椋衷趩握{(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),函數(shù)定義域?yàn)椋趩握{(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),設(shè)的兩個(gè)根為且,由韋達(dá)定理易知兩根均為正根,且,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋謱?duì)稱軸,且,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增【點(diǎn)睛】本題考查了曲線切線方程的求法,考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查了分類(lèi)思想.18.(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)將不等式化為,利用零點(diǎn)分段法,求得不等式的解集.(2)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證,恒成立,由的最小值為,得到只要證,即證,利用絕對(duì)值不等式和基本不等式,證得上式成立.【詳解】(1)∵,∴,即當(dāng)時(shí),不等式化為,∴當(dāng)時(shí),不等式化為,此時(shí)無(wú)解當(dāng)時(shí),不等式化為,∴綜上,原不等式的解集為(2)要證,恒成立即證,恒成立∵的最小值為-2,∴只需證,即證又∴成立,∴原題得證【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、解法,基本不等式等知識(shí);考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化,分類(lèi)與整合思想.19.(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)連接,連接、交于點(diǎn),并連接,則點(diǎn)為的中點(diǎn),利用中位線的性質(zhì)得出,,利用空間平行線的傳遞性可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)推導(dǎo)出平面,并計(jì)算出,由此可得出到平面的距離為,即可得解.【詳解】(1)連接,連接、交于點(diǎn),并連接,則點(diǎn)為的中點(diǎn),、分別為、的中點(diǎn),則,同理可得,.平面,平面,因此,平面;(2)由于在底面的投影為,平面,平面,,為正三角形,且為的中點(diǎn),,,平面,且,因此,到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,同時(shí)也考查了點(diǎn)到平面距離的計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20.(1)沒(méi)有極值點(diǎn);(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求導(dǎo)可得,再求導(dǎo)可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷;(2)轉(zhuǎn)化問(wèn)題為存在且,使,可得,由(1)可知,即,則,整理可得,則,設(shè),則可整理為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,即可求證.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).(2)由題,,若存在實(shí)數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn),即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面證明,只需證明:,令,則證,即.設(shè),那么,所以,所以,即【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),考查利用導(dǎo)函數(shù)解決雙變量問(wèn)題,考查運(yùn)算能力與推理論證能力.21.(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關(guān)系,求函數(shù)導(dǎo)數(shù),要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗(yàn)證,可得當(dāng)時(shí),對(duì)任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在兩個(gè)極值點(diǎn),,則須有有兩個(gè)不相等的正數(shù)根,所以或解得或無(wú)解,所以的取值范圍,可得,由題意知,令,則.而當(dāng)時(shí),,即,所以在上單調(diào)遞減,所以
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