2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題線段和差最值問題匯總-將軍飲馬問題及其11種變形匯總

2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題線段和差最值問題匯丿——將軍飲馬專題古老的數(shù)學(xué)問題"將軍飲馬”，“費(fèi)馬點(diǎn)"，"胡不歸問題"，“阿氏附等都運(yùn)用了化折為直的數(shù)學(xué)思想這類問題也是中考試題當(dāng)中比較難的一類題目.常常出現(xiàn)在填空題圧軸題或解答題壓軸題中，那么如何股解這類壓軸題呢？【問題概述】最短路徑問題是圖論研憲中的一個(gè)經(jīng)典算法問題.旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的〉中兩結(jié)點(diǎn)之間的是短路徑.算法具體的形式包括；1?定起點(diǎn)的最短路徑問題，即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題.2.確定終點(diǎn)的最短路徑問題：與確定起點(diǎn)的問題相反，該問題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求齡短路徑的問題.3?定起點(diǎn)終點(diǎn)的杲短路徑佝題：即己知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑.4.全局最短路徑問題：求國(guó)中所有的垠短路徑.【問題JM型】“將軍飲馬”.“造橋選址”?！旧婕爸R(shí)】“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關(guān)系”,“軸對(duì)稱”,“平移”.【出溜背景】直線、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圈、坐標(biāo)軸、拋物線等.【解題思踣】“化曲為直”禺型一M兩定一動(dòng)，偷過敵營(yíng).【問題1】作袪作圖Q原理QA■i在直線I上求一點(diǎn)P,建RA^PB值最小。連曲，與/交點(diǎn)即為P.A、B兩直之閭線段最短-P4-PB最小值為AB.題型二兩定一動(dòng)，將軍飲馬.【問題2】"將軍飲馬”作法.作圖2原理*?B；左立線1上求一點(diǎn)P,使EAPB佰最小.作萬關(guān)于丿的對(duì)稱點(diǎn)B'遙ABr,與/交點(diǎn)即為P.A兩點(diǎn)之間線段最短.刃-PB最小值為AB^/>?；

例h如圖，AMJLEF,BMEF,垂足為H、N,MN=12tn.AM=5m,BN=4imP是EF上任總一點(diǎn).則PA+PB的棗小值是m.分析斗這是最基本的將軍飲馬問題,A,B是定點(diǎn)，F(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)，屈于兩定一動(dòng)將軍飲馬型，根據(jù)常見的”定點(diǎn)定線作對(duì)稱”.可作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)彌點(diǎn)機(jī)根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接WB,此時(shí)AT+PBHU為炸,最短.而要求A'B,則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決.解答J作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)過點(diǎn)"作AT1BN的延長(zhǎng)線于C?易知O=M[=NC=5m.BC=9m.NC=MN=12ftb在RtA/VBC中?MB=15ib,即PA+PB的最小值是15m.S/K丿、?KX?f/pAi\L9A9C例2,如圖.在等邊Z\ABC中，AB=點(diǎn).且AE=2,求EM+EC的最小值解：點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)連接BE,交AD于點(diǎn)則ME+MD小.過點(diǎn)B作BH丄AC于點(diǎn)H,則EH=AH-AE=3-2?CH2=&2-?2=3不在直角△PHE申，PE=JBH2十HE2=J(3\r(3))2+12=2&對(duì)應(yīng)練習(xí)JE1.如圖，在ZiABC中,AC=BC=2,ZACB=90°,D是BC邊的屮點(diǎn).E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn).則EC+ED的攝小值是-2?在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6,點(diǎn)E、F分別是邊A取就的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，存在PE+PF的最小值.則這個(gè)最小值是.3.如臥點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3.y\當(dāng)AABC的周長(zhǎng)最短時(shí).求y的值。AD3DOOBQ2D0DBQ2D0D4?如圖，正方形ABCD的而積是12,△ABE是等邊三角形?點(diǎn)E在正方形ABQ）內(nèi).在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)F,則PD+PE的最小值為。題型三,兩動(dòng)一定，無路可逃。【問題3】作法作圖原理/.在直線11■12上分別求點(diǎn)、人N,使的周長(zhǎng)最小.分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的対稱點(diǎn)P'和r\tp‘p\與兩直線交點(diǎn)即為MN.?????廠兩點(diǎn)之間綻段最短.PW'ZPN的最小值為線段0P,f的長(zhǎng)。例1：F為JOB內(nèi)一定點(diǎn).N分別為射線OA,0B上一點(diǎn).當(dāng)APMN周長(zhǎng)最小時(shí)，△旳=80二⑴ZAOB=o(2)求證：0P平分乙MPN分析：這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題，我們應(yīng)該先將\l，N的位置找到，再來思考zAOB的度數(shù)，顯然作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)F,關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)FS連接FP",其與0A兗點(diǎn)即為虬0B交點(diǎn)即為N,如下圖，易知厶DPC與厶AOB互補(bǔ)，則求出厶DPC的度數(shù)即可.解答扌(1)法1,如圖，Zl+z2=100\"=ZPTZ3=2ZXZ2=zr+z4=2z4,則乙3十厶1=50°.ZDPC=13OSZAOB=5(T?A再分析￡考慮到笫二小問要證明0P平分dIPN,我們就連接OP,則要證Z5=Z6,顯然很困難，這時(shí)候,考慮到對(duì)稱性，我們?cè)龠B接0P'?OPS則z5=z7.z6=z8.問題迎刃而解.(1)法2?易知0r=0r.r7+z8=z5+z6=80\^or=100\宙對(duì)稱性知，乙9=乙1匚乙10=乙12,乙AOB=/9+JO=50°(2)由OP=OP\zP0L=100?知,?z7=z8=40*,Z5=Z6=4O\0P平分zMPhLOP=6,OP=6,當(dāng)厶PMN的周長(zhǎng)最小值為例2:如圖.在五邊形ABCDE中.厶BAE=136SzB=zE=90r在BC、DE上分別找一點(diǎn)旅N,使得心HN的周長(zhǎng)礙小時(shí)，則ZAMN+ZANM的度數(shù)為?分析7這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題?必然是作A點(diǎn)關(guān)于BC、DE的對(duì)稱點(diǎn)A，、.V,連接MA篤與BC、DE的交點(diǎn)即為4ANN周長(zhǎng)最小時(shí)從N的位垃.解答：如圖,?么BAE=136爲(wèi)???dbYA+zNA"A=4,由對(duì)稱性知「zMAA*=zMArA.AAJT=zNA/rA.Z/W+zANM=2z.M.YA+2zNAwA=88°對(duì)應(yīng)練習(xí)慝1.如圖，ZA0B=30°,ZAOB內(nèi)有一定點(diǎn)P.且0P=10.在OA上有一點(diǎn)匕0B上有一點(diǎn)R°若厶PQR若厶PQR周長(zhǎng)最小.則最小周長(zhǎng)是名少？2?如國(guó)，ZAOB=30°.點(diǎn)N分別是射線OA、OB±的動(dòng)點(diǎn)，OP平分NAOB,且3.如圖，ZM0N=40°,P為△冊(cè)內(nèi)一定點(diǎn)小為OH上的點(diǎn)，B為ON上的點(diǎn)?當(dāng)APAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)；（1）找到爪B點(diǎn)，保留作圖痕跡；（2）求此時(shí)ZAPB等于多少度。如果ZM0N=<9,ZAPB又等于多少度？4?點(diǎn)C為"0B內(nèi)一點(diǎn).（1）在0A求作點(diǎn)D,08上求作點(diǎn)E.使的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)畫出圖形：（2）在（1）的條件下，若ZAOB=3Q^■OC=lO.求bCDE周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)NDCF的度敵.題型四t兩定兩動(dòng)，雙雙落網(wǎng).

【問題4】作法、作圖、:原理1△在直線h、h上分別求點(diǎn)M、N■使四邊形P00的周長(zhǎng)最小。分別作點(diǎn)Q、P關(guān)于玄線h、k的對(duì)稱點(diǎn)Q*和Pf連Q‘P\與兩宜線交點(diǎn)即為ALN.??兩?點(diǎn)之間線段最短?四邊形POMN周長(zhǎng)的最小值為線段O9P9的長(zhǎng)。加上Q卩的長(zhǎng)，：?例b己知A(乙4)、B(4,2).C在y軸上，D在*軸上，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小值九?此時(shí)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?題型五￡兩定一動(dòng)，造橋選址?！締栴}5】?儲(chǔ)橋選址”、作圖原理??W—m?b言線m/7n1Em%s「上分別求點(diǎn)M、心使MN丄m,￡AM-MN-BN的直最小.將點(diǎn)H向下平移」￡V的長(zhǎng)度單位得-1'.逹-4'B,交■于直M過.V作劑于V?、B兩點(diǎn)之間線段星短./爐胚45V的最小值為Af?例X如丙.A和B兩地在一條河的兩岸?現(xiàn)要在河上造一座橋喬早在何處才能使從A到B的路徑AWB最短？（假定河的兩岸是平行的直線.橋要與河垂直）?B解：如圖.平移A到加使AAj等于河寬.連接AlB空河岸FN作橋MN.此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.理由：另任作橋M.N|,連接AM,.BNlAiNj.由平移性質(zhì)可知「AM=A[N,AA|=MN=M】Ni，AM,=AiNi.AM+MN*BN轉(zhuǎn)化7JAA!+A,B>而AMi+M.N.+BN】轉(zhuǎn)化為AAi+A[N[+BN[?在△A.N]B中.由線段公理知AjNi+BX^AlB因此AM|+MiNi+BNi>AM+MN+BN例2:如圖.叭n是小河兩岸.河寬20米.A.B是河旁兩個(gè)村.莊,要在河上造一座橋，要便A、BZ何的路徑最短應(yīng)該如何選址（橋須與河岸垂直）？簡(jiǎn)析；橋長(zhǎng)為定值，可以想像把河岸m向下平移與n重合，同時(shí)把點(diǎn)A向下平移河寬.此時(shí)轉(zhuǎn)化成n上的一點(diǎn)到A、B的路徑Z和最短.即轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)A'到定點(diǎn)B的屋短路徑?如下國(guó)，思路泉把動(dòng)線AM平移至A'*A'N+BN即轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)A'與定點(diǎn)B之間的最路徑°不題的關(guān)鍵是定長(zhǎng)線段皿把動(dòng)線段分隔?此時(shí)須通過平移把動(dòng)線段A'N、BN變?yōu)檫B續(xù)路徑.也可以把點(diǎn)B向上平移20米與點(diǎn)A連接。例3：如圖，CD是直線尸x上的一條定長(zhǎng)的動(dòng)線段，且CD=2,點(diǎn)A（4,0）,連接AC.AD.設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,求皿為何值時(shí).△ACD的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值。解忻：兩條動(dòng)線段AC、AD居于動(dòng)點(diǎn)所在直線的兩側(cè)，不符合基本圖形中定形（點(diǎn)線圖》應(yīng)在動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)。首先把AC沿直線CD翻折至另1側(cè).如下圖：現(xiàn)在把周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為A5C+CD+AD,還需解決一個(gè)問僵動(dòng)線段NC與AD之間被定長(zhǎng)線段CD阻斯，動(dòng)線段必須轉(zhuǎn)化成連續(xù)的路徑。同上題的道理.把XC沿CD方向平移CD的長(zhǎng)度即可，如下RK現(xiàn)在己經(jīng)粋化為的雖短路徑問題.屬定點(diǎn)到定點(diǎn)，當(dāng)心D與AD共線時(shí)A—D+AD最短.即為線段AA''的長(zhǎng)。對(duì)應(yīng)練習(xí)J81.荊州護(hù)城河在CC'處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相等，從A處到達(dá)B處，潘經(jīng)過兩座橋DM、EEr,護(hù)城河及兩橋都是東西、南北方向，橋與河岸垂直.如何確定兩座橋的位且，可使A到B點(diǎn)路徑最短？IK^Al兩足一動(dòng)，投故更國(guó)a【何豐昏￥fffe作囹JR理…r…丄t騒衛(wèi)N在直紅.'上求商點(diǎn)XLVLU圧左)，連堀…井便■昭、fy~ys的彊最小”洛直-4旬右甲移?:t長(zhǎng)奩單也得￡?作屮黃于I陽描直連jT乩交直線J予盍祐將y點(diǎn)向左平移.亍單也睿MJ屮K4f兩點(diǎn)之掏踐段最短./M-AL4EV的最小也詢JTf班泅r例1：如圏1茶拋物線戶獲+加中上3。嗣頂點(diǎn)為＜U-0,兗只軸于芯乩交y軸TD,其中B點(diǎn)的坐標(biāo)酣＜3,0)?＜13瑯拋物踐的解祈式⑵如圖M.過點(diǎn)A射曲線9拋物線交-J'-AE.査丫軸n其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為蟲若直域Pa為拋物線的對(duì)稱抽.點(diǎn)?為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，H1M上是否存在一點(diǎn)H,ft九0RH陰世隔成的四邊形周衽最小.若存在.或出這舉最止值及G、H的坐標(biāo)：泊爪存在，請(qǐng)說明理由.⑴如罔1玉拋物線上星否存在一點(diǎn)T,ilAT^xflW^.垂繪為衲?過白制作直統(tǒng)MN7BD,交線矗AD于沁連接加?ttADNM-iBMD.若存在「求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不薦禮說明理由.例2：在平而直角坐標(biāo)系中，A.8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為J(3,2),B(l,5).<D若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0/7),當(dāng)力=—時(shí)，41〃的周長(zhǎng)最短；(2)若點(diǎn)Q、D的坐標(biāo)分別為(0衛(wèi))、(0口十4),則當(dāng)時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)展短.對(duì)應(yīng)練習(xí)題1：己知點(diǎn)A(3,4)?點(diǎn)B為直線尸一1上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)B(-1,y).(i)如圖1,若點(diǎn)C<x.0>且一l<x<3,BC丄AC,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；<2)在(1)的條件下，y是否有最大值？若有，諳求出雖大值；若沒有，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(一1,1)時(shí)，在x軸上另取兩點(diǎn)E.幾且EF=1.線段EF圖1圖2jK型七*兩動(dòng)一疋.突出重圍-【網(wǎng)題H惟圖原理h/￡￡在k上求點(diǎn)丄主h上計(jì)點(diǎn)耳廈PA-AB值址小.作點(diǎn)P關(guān)于［(的對(duì)稱點(diǎn)PT,作PTB丄匕干吐交h于A.v/|.F「點(diǎn)到直親，垂絃段長(zhǎng)短41尸十討貞折tl戰(zhàn)：N為ASBH例L抑圏.在血ABC中，胡=皈=乳D為BC中晝，AD=5.F曲AD上任盍一點(diǎn)?E^AC扛任意一駄求POPE的堆小值.分析昌這里的點(diǎn)匚是定點(diǎn),P?E是動(dòng)炸屬于一它兩動(dòng)的將軍炊馬模型「if-AABC是尊腰三吊形「AD是BC中跋，翎AD垂直平分BCfAC關(guān)于AP的對(duì)禰點(diǎn)是點(diǎn)出PC+PE=PB卡PE,顯摭當(dāng)氏P,EF其罐時(shí)rRE更籬.但此時(shí)還率是最短.銀據(jù)愷線段最短”屍有"-3HE1AC時(shí)「BE最短.剛BE時(shí)，用面積法即可.解答：作BEJJIC克于點(diǎn)E.交ADdF-^iP.易知陶丄EGBD=3TBC=6?則AOEC=EE^G4製&=!旺苗，511=丄艮

例浜如圖.BD乎分ZABC*E,卩分別為統(tǒng)段BC「BD上的動(dòng)點(diǎn).AB=6.色敬的風(fēng)任為卻，或EF卜即的最小佰.分祈二這里的瓷.C是龍岀F,畫是動(dòng)山「厲丁一疋兩動(dòng)的捋率飲馬模型.我心勻慣-L宦點(diǎn)定線作對(duì)稱二但這廳這拝做.會(huì)出現(xiàn)問酸園為疣C的對(duì)稱點(diǎn)亡必鑿在AB上，但宙丁眈検度:疏知-BC長(zhǎng)度也未知「則滬相對(duì)的也是不確足點(diǎn)「因此羿昔駆聘口職潺試作動(dòng)點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn).梢釜如圖「作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)口連ftETp則EF+CF=ET+CF,當(dāng)EXF,E三點(diǎn)共線時(shí).EJF+CF=EJC,此時(shí)校亂過點(diǎn)E作CEJJ1AR于EX當(dāng)點(diǎn)疋與點(diǎn)E"重合時(shí).礦f嚴(yán)桓?E吒為囲迪上的高，EJX=5.例，如圏，在說角ZXA&C中.A&鼻近、Z3AC=45a,Z8AC的平分錢宣&C于點(diǎn)DtM."分別是HDAB上的動(dòng)點(diǎn).則的撮小值筈.輝=柞點(diǎn)書■>;rjd的對(duì)稱也用「過點(diǎn)宮作歹直丄龍R于點(diǎn)町交q于點(diǎn)只則線段用￡長(zhǎng)就是HM-MN的攝小值住等腰RfAAE￡T中，樞據(jù)勾臉走理得臥BrE=4

例?如圖.中.A&=2^,若在衛(wèi)衛(wèi)*卜各取:一也皿便W+W的值最小.則富傘雖小值解=件AB關(guān)于ACffi對(duì)稱拔段Aff「過點(diǎn)F作序川丄』/垂址溝M査AC『點(diǎn)施.則當(dāng)N=W+MV=制左+MM.童N的悵就是MB4A/M的最小值.則AN=2^BAC=6CDrA&r二衛(wèi)丘二N"Ng=W,=30°“:.AN=1,在直feZU53y中.視據(jù)勾趾建理RN二黑BfBf對(duì)應(yīng)博習(xí)IEL如國(guó)"AABC中.AA4.ZBACM5*,ZBAC的乎分線交BC于點(diǎn)LhM.N<?別屋AU和AB上的動(dòng)也、^BM+MN的最外值是—00、00、A=舸動(dòng)兩足、一柱擊黃?愛問題町惟柱康理xK\作點(diǎn)A關(guān)于brhhT3-l-i>T■(.呻jbi七"F-*'■'"A-..,r.兩點(diǎn)二匯線段最理LI皿*~*和.w卅日號(hào)對(duì)標(biāo)點(diǎn)A9件點(diǎn)AIj丄』京白.B土1R關(guān)于1|的對(duì)AM-MN-NB的最小h上f樣為11上一定點(diǎn).稱點(diǎn)B打連2値為線段』護(hù)的長(zhǎng).b<)h上-是占?在1：交b予皿交h上求點(diǎn)M在h上求點(diǎn)前.?于N.￡?r使AM-MN-NB的值最小.例1】如圖I厶伽=3f01)=12，點(diǎn)E,F分別是射線陽，0B上的動(dòng)點(diǎn)，求停+EF+DE的鍛小值”O(jiān)FBEOFBE分析二這里的亡G點(diǎn)D是定點(diǎn)「民E是動(dòng)蟲?居[兩顯兩動(dòng)的將至飲馬模型「依I汀町以用"龍比龍線作對(duì)辭來考慮.作戌C■吳于仙的時(shí)蘇點(diǎn)，點(diǎn)D矢于皿的時(shí)禰巴.獰斛作點(diǎn)C關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)化點(diǎn)D共于0A的對(duì)稱點(diǎn)嘰連接0^-即豐EF斗DE=ct+ef+dtf當(dāng)lf.e.rr您點(diǎn)共拔時(shí)「cf+ef+de=:廳虬短.易知nroc=90\MT=12,0C=5rC[y=13rCF+EF+DE堆小值為13?、DBED5動(dòng)痔線的忌長(zhǎng)度.木題中■■士E和蟲F是龍掃兩次反禪的蟲DBED5動(dòng)痔線的忌長(zhǎng)度.木題中■■士E和蟲F是龍掃兩次反禪的蟲雖燃求知.但我酊呵理提據(jù)前兒題的經(jīng)整作出.即分刖作點(diǎn)|點(diǎn)「，aD邊的對(duì)稱血匕作點(diǎn)卩丟予O）邊的肘稱點(diǎn)化即⑴畫出白球E的運(yùn)動(dòng)路線,化歸為兩能曲動(dòng)將軍飲乃塑?小綜以上諛線段和最值問題.幾乎都可以歸結(jié)為“兩走一動(dòng)"一疋兩動(dòng)呻兩左衲動(dòng)”類的榕年飲馬型何題，塘本方液還是"底點(diǎn)左線作對(duì)稱”.利用"兩點(diǎn)Z阿鏡段最短呎垂純段堆?嚴(yán)的2榮重要性氐轄線段和轉(zhuǎn)化為矗甬1角形的斟邊.或苕一邊匕的高「描助勾腔足理.或者面積注來求解.當(dāng)然，有時(shí)候r我們也需學(xué)會(huì)靈活孌通.衛(wèi)點(diǎn)時(shí)稱行不逋時(shí)「嘗試作動(dòng)點(diǎn)對(duì)稱.作點(diǎn)聯(lián)FAD邊的對(duì)稱此II佯點(diǎn)疏于匚她的對(duì)稱點(diǎn)氏連接E侔交嗣于點(diǎn)乩效吁點(diǎn)乩則運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)酣EG-IGH+蝦忙度上和.即ET卡.延氏ET愛BC于宜交冊(cè)鬥仁易知已M=EM=O.22ib,E啊=1-麗+。旣=餉，NF(=NC+CFJ=1.4+0.1=1.5m?則Rt^E'NF中.EJFJ=2.5m?即白球運(yùn)訕腎線的總氏度為2.5皿.FCF如亂斯諾克tt券臬面AB寬L78nL.白球E距畑邊0段加.距COiZfL4na,有一顆紅球F緊貼BC邊「H距離￡D邊0.11m若耍便白球E經(jīng)過迪AD.DC.兩次乏彈擊中紅球■求白球E逗對(duì)應(yīng)練習(xí)JK$n|￥]ZM0N=20o,2B分別為射線0爪ON上兩定點(diǎn)，且0A=2?0B=4,點(diǎn)P、Q分別為射線0\】、欣上兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AQ+PQWB的最小值是多少？題型九、兩定一動(dòng)，公平公正?！締栴}9】作法。作團(tuán)*原理?九.J).1在直線/上求一點(diǎn)P,使?,卩如一PB|的值最小.連4趴作AB的中垂線三宜線1的交點(diǎn)即為P/???垂直平分上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距苦相等.|血-腫|=0?用型十J兩定一動(dòng)，一箭雙雕?！締栴}10]作法作圖原理?R/在直線/上求一點(diǎn)R使円一PB|的鏈最大?作直拔AB.與直變/的交蟲即為P.AP三角形任意兩邊之差小于算三邊?-PB\<AB.例:h如亂己知ZkABC為等腰直角三角形,AC=BC=4,ZBCD=15°?P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，則卩的最大值是多少？例訪如降rl-Jj^ABCD中「M是DC上的一蟲.且DM=3,NAC\的一動(dòng)炸飼D陽一⑷/［的最小值打攝大值「對(duì)阻蘇習(xí)IK11.如既拋物線嚴(yán)-卄2的煩點(diǎn)為乩與p袖交于點(diǎn)氏⑴求點(diǎn)4點(diǎn)丘的坐標(biāo)；1ZJ若點(diǎn)戸是』軸上任意—臥求證暑PLP吳服⑶當(dāng)明一加最天時(shí)'求點(diǎn)P的坐掾如圖，已知直線y=-x+1與"軸交于點(diǎn)兒與才軸交于點(diǎn)2拋物線5+dx+c與直線交于皿F兩點(diǎn)，與”軸交于久C兩點(diǎn).且0點(diǎn)坐標(biāo)為2(1,0).求該拋物線的解析式；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)舄使必4燉|的值謚大，求出點(diǎn)"的坐標(biāo).如圖，直線片=一與x軸交于點(diǎn)C,與尸軸交于點(diǎn)已點(diǎn)/為尸軸正半軸上的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)療和點(diǎn)0,直線BC交GA于點(diǎn)、D.求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；過ac,O三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)人使線段切與切之詰說明理由.詰說明理由.已規(guī)如虱把矩形做瞬放置于直角坐標(biāo)系牢，心二如乙取朋的申點(diǎn)此連接網(wǎng)把△細(xì)0沿JC軸的負(fù)芳向平移加的螯產(chǎn)后得到△腦。cn試直攙寫岀點(diǎn)衛(wèi)的坐標(biāo)；⑵已知點(diǎn)疔與點(diǎn)o在經(jīng)過原點(diǎn)的拋輛線上，點(diǎn)尸在第一象限網(wǎng)的該拋瀚線上移動(dòng)，過點(diǎn)P作用丄X軸于點(diǎn)妬連接皿若以執(zhí)P、。為頂點(diǎn)的三帝形與AM相似，試求出點(diǎn)廬的墜標(biāo)；壽)試問在C2)拋物綻的對(duì)瑤軸上是否存在一點(diǎn)T,痩再汀―陽的值最大？若存在［則求出點(diǎn)F點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，則說明理由.需型十一*兩定一動(dòng).投敵叛國(guó)「一箭裁雕口作團(tuán)MSJ!+!在直線1上求丁占P.疑円一尸E的值垠犬?"關(guān)手f的對(duì)稱漏0作宜橐H電i交蟲即為p.4「B三苒那任京兩迪之聲小于JS^=^.\PA-PS\<AJF.例1；直線2x-y-4=Q上有一點(diǎn)P,它與兩定盤N(4,-1)v3(3a4)的距離之差最大*卿P點(diǎn)的坐標(biāo)呈L4.鉢圖，在直角梯形川卿中，ZABG=9^上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，半砂內(nèi)的弼最小時(shí)，朋的長(zhǎng)為.王如圖，在銳角△』/￡?中，AB=A1,ZBAC=^4.鉢圖，在直角梯形川卿中，ZABG=9^上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，半砂內(nèi)的弼最小時(shí)，朋的長(zhǎng)為.王如圖，在銳角△』/￡?中，AB=A1,ZBAC=^a,^BAC的平另線交少于點(diǎn)口訊朋分別是』0和上的動(dòng)點(diǎn)，則酚刪的最小值是」例2；已知A、B兩個(gè)村莊前坐標(biāo)分別焉(2,2),(7S4),一輛汽車f看成點(diǎn)刀在監(jiān)軸上行駛.試確定下列情況卡汽車?點(diǎn)力的位置：⑴求直線AB的解祈式，且確罡汽車行駛郅件么直時(shí)到乩E兩村距離才差最大？⑵汽車行脫到fl■么點(diǎn)時(shí)，到A.E兩封距離栢專？齢羈習(xí)IKk如圖，正方^ABCD的邊$為2,蘆為朋的中點(diǎn)，P是處上一動(dòng)點(diǎn).則亟空的最小值曰￡如團(tuán)，?0的半徑為乙點(diǎn)九玖C衽?Q上OA^OS,"妒切°,P是倔上一劫點(diǎn),則胎〃的最小值是.如虱等腰梯形胭曲中，AB=AO=GD=y,C4QTF是上底，下底中點(diǎn)FF直線上的一點(diǎn)『則脅燉的最小值為.工如團(tuán)，刪是半徑為1的㈢Q的直徑，點(diǎn)工如團(tuán)，刪是半徑為1的㈢Q的直徑，點(diǎn)A在⑥。上，"幟=如°,占為站/瓠的中點(diǎn),P是直徑刪上一劫點(diǎn)，則AH■朋的最小值為J*生卜A2-.1jj-"'B-2-1Q111k0123?-1-7.已知機(jī)一畀3）,磯3,IkP點(diǎn)在太軸上，若PA+PS長(zhǎng)度Ids則最小值為.若丹一朋長(zhǎng)度最大，則最大值為.8-已師如團(tuán)所示『拋物疑y=H訟與肆軸的愛？女點(diǎn)分別為機(jī)1,0）,歔缶小?<1）城拋物繽的解析武；<2>設(shè)點(diǎn)戶蔬該拋物線上滑動(dòng)，且滿足器件現(xiàn)燦的點(diǎn)戶有幾個(gè)？井求出所有點(diǎn)戸的堡標(biāo)；（3）設(shè)範(fàn)物線交F軸于點(diǎn)硏問該拋糊線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)就使得△冊(cè)E兇周妖最小?若存在’求出點(diǎn)需的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.9.L丄知A(ItlhB(4,2).⑴F為*聃上一勸白?求叫啓聞最心值和此時(shí)P貞的坐標(biāo)：⑺P為X軸上一功f求PA-PB的值最大時(shí)P點(diǎn)前喘掠：⑶CD為乂軸上一條動(dòng)燼段，口征匚點(diǎn)右邊且CD=1,茨為^C+￡D*DB的最小値祁此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)t血如圏"在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，乙嗣匚=釘，若將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)+當(dāng)AC.妙分別9甌、CD交!于點(diǎn)匚&則△癥F的周杞的蜃小值為()1L如國(guó)山正比例函數(shù)尸“的團(tuán)象與反比擱密數(shù)尸工UHQ)在第一象限的團(tuán)象交于A恵.過A點(diǎn)作jc軸的垂箜「垂足為治已知二角形0A1H的面積為h求反比測(cè)前數(shù)前解斫式；1｝如果R為圧比捌萌數(shù)在第一義限圖兼上的點(diǎn)＜點(diǎn)BA不重合)「MB蟲的橫1丑如圖?一元二次方程x2+2k-3=0的二很xlrx2Cxi<xj>是拋物線尸"卻陰址與h軸的兩個(gè)交點(diǎn)X匚的橫坐標(biāo)，且此拋敕I線過點(diǎn)A（3.6>.坐標(biāo)溝d,坐標(biāo)溝d,在xHh求一點(diǎn)F,便珊寸理最小.<1）求此二次遁爺?shù)慕馕鍪剑海?）設(shè)吐拋物線的頂點(diǎn)為P,對(duì)稱軸丄」肚相交「-蟲Qr求世P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)心》在x戦上有一動(dòng)卅MrLpiMQ+MA取得炭小值時(shí)，義M點(diǎn)的坐標(biāo).如團(tuán)10?在平面直甬坐標(biāo)藥中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔1,晶、,ZU0E的面積站打.（門求點(diǎn)E的坐標(biāo)「（2）求址血h0,甘的拋物線的解折式；（3）在⑵中拋物線的對(duì)稱馳上是否存在點(diǎn)「便AAOC的周長(zhǎng)雖??？核存在「求記丿旅的坐標(biāo)；若不俘在，諸說明理由；318如圖，拋物錢陽一呂黃豐古和乍鼬的空點(diǎn)為小M^OA的中點(diǎn).若有一動(dòng)點(diǎn)齊自啊點(diǎn)址出發(fā)，諂直線運(yùn)動(dòng)到大軸匕的某點(diǎn)〔設(shè)為點(diǎn)Q，再沿直統(tǒng)迄動(dòng)到違拋物線對(duì)稱軸扛的某旳（設(shè)為點(diǎn)Fh憶后又汨直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)兒求便出P匡動(dòng)的思路裡堆短的也匚出P的坐様，并求缶這個(gè)攝短路程的匕xx15如圖?d知狂平面血希昱標(biāo)果屮「直角梯形CWBC的邊口山花F軸的匸半軸.匕OCtEx^i的It泮軸上OA=A8^2,OC=3,過點(diǎn)Sfl：BD1BC,空Q4F甕D.齬5肚繞蟲B按順時(shí)升方向族轉(zhuǎn)，甬的兩邊分別交尸軸的正半軸、殳軸的正半軸■f^.EWF.<i）求經(jīng)過爪e-.m的拋物線的解析式：<2）浙肛經(jīng)過Cl>中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)「求濟(jì)的口<3）在拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)卩.a〔點(diǎn)衛(wèi)在點(diǎn)P的上方h且PQ=1.耍慢四邊形BCPQ的雋長(zhǎng)最小，求宙F、口軸點(diǎn)的生標(biāo)，

25BACEAD2-1O1231監(jiān)如圖11,在平面直角坐標(biāo)聚中.^OACB的頂點(diǎn)o在坐標(biāo)原點(diǎn).頂點(diǎn)肛B分別在%軸、F抽的正半軸上『＜1A=S,03H?D為邊0B■的中點(diǎn).(門若E25BACEAD2-1O1231監(jiān)如圖11,在平面直角坐標(biāo)聚中.^OACB的頂點(diǎn)o在坐標(biāo)原點(diǎn).頂點(diǎn)肛B分別在%軸、F抽的正半軸上『＜1A=S,03H?D為邊0B■的中點(diǎn).(門若E対邊恥上的一個(gè)動(dòng)白?“[△CDE的周長(zhǎng)齡小時(shí).求dE的坐際;(2＞若5羅為邊恥上的兩牛動(dòng)總且EF老當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E.F的坐標(biāo)1&如圖.牠物線y=—攸―対2的頂點(diǎn)為兒與y軸交于點(diǎn)氏求點(diǎn)點(diǎn)￡的坐標(biāo)=⑵若點(diǎn)P是*軸上任意一點(diǎn)，求證；PA—PB3B；⑶當(dāng)PA_PB最大時(shí).求點(diǎn)P的坐標(biāo).19.如圖.已知平面直角坐標(biāo)系，A,〃兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為/(2,一3),0(4,-1)設(shè)"，川分別為"軸和F軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問：是否存在這樣的點(diǎn)0),肌o,",使四邊形初的的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出臚=,n=(不必寫解答過程)；若不存在■請(qǐng)說明理由.If21?111111■、-2-10012345-1-?占-2--3-場(chǎng)血已知|戶是迪改為1的正方形曲葩內(nèi)的一鼠求PA+fB+PC的最小值.“卯圖，四邊形極?是正方形，△/贓是等邊三角形，肘為對(duì)角線耳H不含扮點(diǎn)｝上任S-一點(diǎn)，將翩燒點(diǎn)令逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60*得到酬逹接啟敝佩(1＞求證：△伽密△日歡⑵。當(dāng)獻(xiàn)總在何處時(shí)'妬傅的值最??；②半粘點(diǎn)在何處時(shí)|砂瞬3的值眾丿扎井說明理由；⑶當(dāng)￡斛冊(cè)卜銅的最小值為,十1時(shí)，求正方形的邊比匸如圖四邊^(qū)ABCD是養(yǎng)形，且"底=如△朋F是等邊三角版卅為對(duì)角線BD含成點(diǎn))上任歳一點(diǎn)『將酬繞點(diǎn)刈壷時(shí)針離轉(zhuǎn)百CT福到酬達(dá)曉E舐姒朗，則下列五個(gè)結(jié)論申IE確的是C)若菱^ABCD的邊長(zhǎng)為1,則朋+師的最小值和厶5匹迦釀丿磁犬凹邊整磁占④連接制則創(chuàng)丄曲⑤當(dāng)麻+劇卜師的最小值為2衛(wèi)叭菱形血勉的邊長(zhǎng)為耳A.①②③B.②④?C.①?⑤D.②③⑤23.已知頂點(diǎn)再A(l,5)的拋物^fej/=ar2+for+c經(jīng)過點(diǎn)B(5,lk⑴求拋物線的解析比；{◎如圖cnr設(shè)un介別咼工軸、T軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值：<3〕在〔乃中.巧四邊形胚⑷的周任最小時(shí)，作直線①設(shè)必Pgy)(x>0)是直線尸=盤上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)「Q是0P的中點(diǎn)「MPQ為礬邊技圖<2>所示構(gòu)造等腰直箱三角形PBQ.曙△州R9西線CD暫公共點(diǎn)時(shí)‘求jv的眼值范圍；在①的條件下，記山冊(cè)與的公英部廿的面積為5.求S關(guān)于工的函數(shù)關(guān)乘式,井求E的最乂值°圉CD國(guó)(5>24?如圖1,拋物線y=A2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A.G與y軸相交于點(diǎn)B,連接AB,BC?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),tanZBAO=2?以線段BC為直徑作交AB于點(diǎn)D.過點(diǎn)B作直線1IIAC,與拋物線和OM的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E,F.求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式：求點(diǎn)C的坐標(biāo)和線段EF的長(zhǎng)：如圖2,連接CD并延長(zhǎng)，交直線I于點(diǎn)N,點(diǎn)P,Q為射線NB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè).且不與N重合)，線段PQ與EF的長(zhǎng)度相等，連接DP.CQ,四邊形CDPQ的周長(zhǎng)是否有最小值？若有，諳求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)并直接寫出四邊形CDPQ周長(zhǎng)的最小值：若沒有，請(qǐng)說明理由.325?如圖，點(diǎn)A(a,l)>B(-!,/>)都在雙曲線j=--(.r<0)±-點(diǎn)P、Q分別是x軸.y軸x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí).PQ所在直線的解析式是()A.y=xB.y=x￥\C?y=D?y=x+3AAED圖1<