數(shù)學分析2重要知識小結(考研復習用)

數(shù)學分析2重要知識小結（考研及復習）第八章不定積分(a(a豐-1),⑵J-dx=ln|x|x1、基本公式(1)Jxadx=x^^L+ca+1Jaxdx=^^-+c,lna(5)Jcosaxdx=—sinax+c,aJexdx=ex+c,Jsinaxdx--0-cosax+c,(10)J(10)Jcscxcotxdx=-cscx+c,(7)J——d-dx=tanx+c,cos2xJsecxtanxdx=secx+c,J—d—dx=-cotx+c,sin2x(11)J-.於=arcsinx+c,

1—x2(12)dx .x.J.一=arcsin—+c,

aa2-x2a(13)J*=arctanx+c,1+x2（14）dx xJ =arctan—+c,a2+x2 aJsecxdx=ln|secx+tanx|+c,Jcscxdx=ln|cscx-cotx|+c,Jdx=Lnx2-a22aJlnxdx=x(Inx-1)+c.注：應會用前面的公式及方法推出公式（13）-（19）.2、積分法（1）公式法：直接用上面的公式及函數(shù)和與差的積分等于積分的和與差這一性質。（2）第一換元法（是將一個關于x的函數(shù)換為一個變量）若1f(x)dx=Jg即(x))d即(x)),而Jg(u)du=G(u)+c，則看到應想到：cosxdx=d(sinx),sinxdx=-d(cosx),―3—=d(tanx),dx =ddx =d(cotx),sin2xdxx2d(—)9xn-idx=—d(x2)。⑶第二換元法(將變量x換為一個函數(shù))令x=①(t)，若Jf即(t)沖'?)dt=F(t)+c,貝Jf(x)dx=F[9-1(x)]+c.遇■aa2-x2,令x=asint,aa2-x2=|a|cost遇\i1'a2+x2,令x=atant,aa2+x2=—LLcost遇yx2-a2,令x=asect,、x2-a2=|a|tant。④遇含有mx,心的式子，m,n的最小公倍數(shù)為k，令x=tk。(4)分部積分設G(x)為g(x)的一個原函數(shù)，則Jf(x)g(x)dx-f(x)G(x)-Jf'(x)G(x)dx。形如口Jarctanxdx,Jarcsinxdx,JxkInxdx,Jxkexdx,Jcosaxefxdx，JsinaxePxdx的積分必須用分部積分。注意：能用第一換元或分部積分就不用第二換元。(5)三角有理式的積分①Jcosnxsinmxdx：“有奇換元一，無奇就降冪"。降冪公式:cos2x-2(1+cos2x)，sin2x-2(1-cos2x).②萬能替換t-tanx，此時cosx--~2,sinx-2t,dx-山2 1+12 1+12 1+12(6)有理函數(shù)及簡單無理函數(shù)的積分遇aax2+bx+c或 1 ，應先進行配方:ax2+bx+cax2+bx+c=a(x+—)2+ac^~—，令x+—=u，消掉一次項。2a 4a 2a對、:嬴而7c-a2+4a—b2，根據(jù)情況利用三角換元進行計算。4a第九章定積分1、定積分定義定義：設f(x)是定義在［a,b］上的一個函數(shù)，J是一個確定的實數(shù)，若對于任意的￡>0，存在5>0，對于［a,b］的任意分法T以及其上選取的點集后J，只要|「卜"就有Xf(1)Ax-J<￡,

iii=1稱函數(shù)f(x)在［a,b］上可積，J稱為f(x)在［a,b］上的定積分，記為Jbf(x)dxa2定積分計算牛頓萊布尼茲公式:設F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則Jbf(x)dx=F(b)-F(a).a給出一個定積分，怎樣計算呢?就看在不定積分中用什么方法.但應注意：在第二換元積分中，新變量，用新限。3定積分性質(1)Jbkf(x)dx=kJbf(x)dx，aa(2)Jb［f(x)±g(x)］dx=Jbf(x)dx±Jbg(x)dx,a aa(3)Jbf(x)dx=Jcf(x)dx7Jbf(x)dx，a ac(4)Jbf(x)dx<Jb|f(x)dxx(a<b)，a a(5)f(x)<g(x),Jbf(x)dx<Jbg(x)dx.aa(6)積分第一中值定理

若f(x)在［a,b］上連續(xù)，則至少存在一點自￡(a,b),使得Jbf(x)dx=f0)(b-a)。a(7)推廣的積分第一中值定理若f(x)在［a,b］上連續(xù)，g(x)在［a,b］上可積且不變號，則至少存在一點自￡(a,b)，使得Jbf(x)g(x)dx=f&)Jbg(x)dx.aa4、變限積分(1)若f(x)連續(xù)，則①(Jxf(t)dx)，=f(x), ②(Jbf(t)dx)，=-f(x),ax③(Jb(x)f(t)dt)'=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x).a(x)幾個重要積分結果：(1)J：sinn(1)J：sinnxdx=0J：cosnxdx=]0(n-1)!!n=2k-1n!!(n-1)!!九. ,n=2k.n!!2(2)J2f(sinx)dx=J2f(cosx)dx00(3)設f(x)是以T為周期的周期函數(shù)，則對于任意實數(shù)a，有Ja+Tf(x)dx=JTf(x)dxa0(4)若f(x)為奇函數(shù)，則Jaf(x)dx=0。-a(5)若f(x)為偶函數(shù)，則Jaf(x)dx=2Jaf(x)dx-a 0第十章定積分應用1、平面區(qū)域面積①在直角坐標系下設區(qū)域由y=f(x),y=g(x),x=a,x=b,a<b所圍成S=fBf(x)-g(x)|dx。A②曲線用參數(shù)方程表示設區(qū)域由x=x(t),y=y(t),aVt<P，x=x(a)，x=x(p)，x軸所圍成。S=fp|y(t)x'(t)|dt.a③曲線用極坐標表示設區(qū)域由r=r(0)，9=a,9=P，a<P所圍成。S=1)pr2(0)d0.2a2、截面積已知的體的體積(1)設體在直線l上的投影區(qū)域為[a,b]，而過[a,b]上每一點做直線l的垂面去截體，所得截面積為A(x)，則該體的體積為V=JbA(x)dxa(2)旋轉體的體積由y=f(x),a<x<b繞x軸旋轉一周后所得體的體積。=」bf2(x)dxa若曲線為參數(shù)方程：x=x(t),y=y(t),a<t<P繞x軸旋轉一周后所得體的體積=兀Jpy2(t)|x'(t*ta3、平面曲線的弧長(1)設曲線方程為：x=x(t),y=y(t),a<t<P，則弧長為S=JPq[x'(t)]2+[y'(t)]2dt。a(2)設曲線方程為：y=f(x),a<x<bs」bv'1+"'(X)]2dxa(3)設曲線方程為：廠=r(9),a<9<Ps=f\.,[r(9)]2+[r'(9)]2d9a4、旋轉體的側面積(1)旋轉體是由曲線y=f(x),a<x<b繞x軸旋轉一周所得S=2兀Jbf(x).I+f2(x)dxa(2)旋轉體是由曲線x=x(t),y=y(t),a<t<P繞x軸旋轉一周所得S=2/b|y(t)”[x'(t)]2+[y'(t)]2dta5、物理中的應用(1)液體靜壓力 (2)引力(3)做功注意書中的題和練習題。第十一章反常積分1、無窮積分⑴無窮積分的定義若limJuf(x)dx存在，稱此極限值為f(x)在[a,+8)上的無窮積分，記作u—^+8aJ+8f(x)dxa若極限不存在，稱此積分發(fā)散。(2)無窮積分收斂的判別法定理1無窮積分J+8f(x)dx收斂的充要條件為：對于任意的￡>0，存在M>0，對于任意的au:u〃>M，有Juf(x)dx<￡Ou①非負函數(shù)的無窮積分收斂判別法(完整)數(shù)學分析2重要知識小結(考研復習用)定理2對于非負函數(shù)f(x),g(x)，若在任意區(qū)間［a,u］上可積，且f(x)<g(x)。則⑴若1g(x)dx收斂，則1f(x)dx收斂.aa(打)若1f(x)dx發(fā)散，貝卜f(x)dx發(fā)散。aa定理3若f(x)為非負函數(shù)，在任意區(qū)間［a,u］上可積，且limxpf(x)二九,則有xf+8(i)當0<九<+8,p>1時，1+sf(x)dx收斂,a(ii)當0〈九<+8,p<1時，1+sf(x)dx發(fā)散.a②一般無窮積分的收斂判別法定理4絕對收斂必收斂.定理5(阿貝爾判別法)若(i)1f(x)dx收斂， (ii)g(x)在［a,+8)單調有界，a貝1+8f(x)g(x)dx收斂。a定理6(狄利克雷判別法)若(i)F(u)=1uf(x)dx有界， (ii)g(x)在［a,+8)單調趨向于零，a則1+8f(x)g(x)dx收斂。a(3)重要例子1+8dx,a>0，則p>1時收斂，p<1時發(fā)散。(應會證明)axp1+8上J,b>a，則p>1時收斂，p<1時發(fā)散。(應會證明)b(x一a)p2瑕積分定義：若函數(shù)f(x)在x0點的任何鄰域內無界，稱x0為f(x)的瑕點.瑕點一般為函數(shù)沒有意義的點,然后判斷在此點極限是否為8,若為8則是瑕點,否則不是瑕點。(1)定義：設f(x)在［a,b)上有定義，b為瑕點，在任何區(qū)間［a,u］上可積，若極限lim1uf(x)dx存在，稱此極限為f(X)在［a,b］上的瑕積分，記作1bf(x)dxa(2)瑕積分收斂判別法定理1瑕積分1bf(X)dx(b為瑕點)收斂的充要條件為：對于任意的￡>0，存在a<c<b，對于任a意的c<u:u"<b，有Iunf(X)dx<￡。uu非負函數(shù)的瑕積分收斂判別法定理2對于非負函數(shù)f(x),g(x)，若在任意區(qū)間［a,u］上可積，且f(x)<g(x).則(i)若1bg(x)dx收斂，則1bf(x)dx收斂。aa("若1bf(x)dx發(fā)散，則1bf(x)dx發(fā)散。aa定理3若f(x)為非負函數(shù)，在任意區(qū)間［a,u］上可積，且lim(b一x)pf(x)二九,則有xf+8(i)當0<九<+8，p<1時，1bf(x)dx收斂，a(ii)當0<九<+8,p>1時，1bf(x)dx發(fā)散。a一般無窮積分的收斂判別法定理4絕對收斂必收斂。定理5(阿貝爾判別法)若b為瑕點(i)1bf(x)dx收斂， (ii)g(x)在［a,b)單調有界，a則1bf(x)g(x)dx收斂.a定理6(狄利克雷判別法)若(i)當a<u<b時，F(xiàn)(u)=1uf(x)dx有界， (ii)g(x)當x-b-單調趨向于零，a則1bf(x)g(x)dx收斂.a(3)重要例子若a為瑕點，對于Jbd,p<1時收斂，p>1時發(fā)散.a（X-a）p若b為瑕點，對于Jbdx,p<1時收斂，p>1時發(fā)散。a（b-X）p第十二章數(shù)項級數(shù)1、數(shù)項級數(shù)的一般性質定理1（柯西收斂準則）￡a收斂的充要條件為對任意的￡>0,存在N，當n>N時，對任意的自n=1然數(shù)p，有a+aH Fa<￡.定理2去掉、添加或改變一個級數(shù)的有限項所得的新級數(shù)與原級數(shù)有相同的斂散性.推論1若級數(shù)￡a收斂，則lima=0.推論2若級數(shù)￡a收斂，則｛a｝有界。即存在M>0，有n=1a|<M，（n=1,2,…）2、正項級數(shù)收斂判別法定理3正項級數(shù)收斂的充要條件為它的部分和數(shù)列有上界，即存在M>0，有|a+a+…?+a|<M，（n=1,2，…）定理4（比較原則）對于正項級數(shù)￡a,￡b,若存在N，當n>N時有a<b，則n n 0 nnn=1 n=1（i）當￡b收斂時，￡a收斂，

n=1 n=1（ii）當￡a發(fā)散時，￡b發(fā)散。n=1nn=1，則定理5對于正項級數(shù)￡a,￡b,若limt=lnn，則n-8。TOC\o"1-5"\h\zn=1 n=1 n（i）當0<l<+8時，￡a與￡b的斂散性相同,n=1 n=1（ii）當l=0時，若￡a收斂時，則￡b也收斂，n=1 n=1（iii）當l=+8時，若￡a發(fā)散，貝￡b也發(fā)散.n=1 n=1定理6（比式判別法）對于正項級數(shù)￡a,若limM=/，則nan-8n=1 n（i）若l<1,則級數(shù)收斂，（ii）若l>1，則級數(shù)發(fā)散，（iii）若l=1，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散（此時無法用此性質判斷）。定理7（根式判別法）對于正項級數(shù)￡a，若limn丁=l，則「 n-8nn=1（i）若l<1，則級數(shù)收斂，（ii）若l>1,則級數(shù)發(fā)散，（iii）若l=1，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散（此時無法用此性質判斷）。注：判別正項級數(shù)的效散性常用比式判別法或根式判別法，含階乘（n!）常用比式方法；含數(shù)an常用根式方法；若既有n!又有an，常用比式方法。定理8（積分判別法）設f（X）在［1,+8）上非負遞減，則￡f（n）與』+8f（x）dx具有相同的斂散性。13、交錯級數(shù)收斂判別法定理9（萊布尼茲判別法）對于交錯級數(shù)￡8（—1）n-1U，若'n=1(i)u<u,(i)u<u,n=1,2, ，n-8n

則￡(-1)n-1U收斂.n=14、一般級數(shù)收斂判別法定理10絕對收斂必收斂.定理11(阿貝爾判別法)若(i)￡a收斂，(ii)｛b｝單調有界，n=1則￡ab收斂.n=1定理12(狄利克雷判別法)若￡a的部分和序列｛S｝有界，(ii)｛b｝單調趨向于零，n=1則￡ab收斂。n=15、重要級數(shù)的斂散性(1)等比級數(shù)(幾何級數(shù))￡aqn，當|q|<1時收斂，當|q|>1時發(fā)散.n=1P級數(shù)￡-1，當p>1時收斂，當p<1時發(fā)散。npn=1第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)1、函數(shù)列(1)基本概念:收斂點:對于函數(shù)列f(x),f(x),f(x),…，f(x)，…,若數(shù)列f(f(x),f(x),f(x),…,f(x),…,n010 20n0收斂，稱x為函數(shù)列｛f(x)｝的收斂點。

收斂域：所有收斂點的集合稱為收斂域。極限函數(shù)：設收斂域為D，定義函數(shù)f(x)，定義域為EuD。定義f(x)=limf(x),xeE.nfgn稱f(x)為函數(shù)列｛f(x)｝在E上的極限函數(shù)。注：在上式的極限中，x看作定值，n在變化。一致收斂：設函數(shù)列｛f(x)｝與f(x)在I上有定義，若對任意的￡>0，存在N，當n>N時，對于D中所有x均有|f(x)-f(x)|<e,n稱｛f(x)｝在I上一致收斂于f(x)。(2)一致收斂的判別法定理1函數(shù)列｛f(x)｝在I上一致收斂于f(x)的充要條件為limsuplf(x)-f(x)|=0。nnfgxeI其中在supIf(x)-f(x)中，n看作定值，x為變量。nxeI注：(1)若|注：(1)若|f(x)-f(x)|<a,且limanfg⑵若［fn(x)-f(x)|的最大值為an=0，則limsup|f(x)-f(x)|=0，

nnfgxeD(利用導數(shù))，且lima=0，則nfgnlimsuplf(x)-f(x)|=0nnfgxeII未必是收斂域，它可能是收斂域的一個子區(qū)間。(3)一致收斂函數(shù)列的性質定理2若⑴f(x)(n=1,2，…)在區(qū)間I上連續(xù)，(ii)｛f(x)｝在I上一致收斂于f(x),則f(x)在I上連續(xù)。定理3若(i)fn(x)(n=1,2,…)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，｛f(x)｝在［a,b］上一致收斂于f(x)，則f(x)在［a,b］上可積，且Jbf(x)dx=limJbf(x)dx,a nT8Jbf(x)dx=limJbf(x)dx,a nT8annn

anf8 n-8a定理4若⑴｛f(x)｝在區(qū)間I上有一個收斂點，f'(x)(n=1,2,…)z在I上連續(xù)，n｛f'(x)｝在I上一致收斂。則｛f(x)｝的極限函數(shù)在I上可導，且f(x)=limf(x)。n nf8n2函數(shù)項級數(shù)基本概念，對于函數(shù)項級數(shù)￡u(x)，若￡u(x)收斂，稱x為￡u(x)的收斂點。TOC\o"1-5"\h\zn=0 n=0 n=0所有收斂點的集合稱為收斂域。和函數(shù)：設S(x)=￡u(x)，若S(x)的極限函數(shù)為S(x)，稱S(x)為￡u(x)的和函數(shù)k=1 n=0一致收斂的判別法定理5設S(x)=￡u(x)，函數(shù)項級數(shù)￡u(x)在數(shù)集I上一致收斂于S(x)的充要條件為k=1 n=0limsup|S(x)-S(x)|=0

nnf8x61定理6(M判別法或優(yōu)級數(shù)判別法)對于函數(shù)項級數(shù)￡u(x),若在I上n=0|u(x)|<M,n=1,2,…，(ii)￡M收斂。n=1則￡u(x)在I上一致收斂。n=0注：此定理非常重要，對于一般函數(shù)項級數(shù)應首先看是否可用此定理.

定理7(阿貝爾判別法)設(i)￡u(x)在I上一致收斂n=0(ii)對于給定的x,{V(x)}(x看作定值，n為變量)單調，(iii){v(x)}在I上一致有界，即存在M>0，對所有xeI及自然數(shù)n，有|v(x)|<M.則￡u(x)v(x)在I上一致收斂。n=0定理8(狄利克雷判別法)設(i)S(x)=￡u(x)在I上一致有界n=0(ii)對于給定的x，{v(x)}(x看作定值，n為變量)單調，(iii){v(x)}在I上一致收斂于0,則￡u(x)V(x)在I上一致收斂。n=0(3)一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的性質定理9若(i)u(x)，n=1,2,…,在I上連續(xù)，(ii)￡u(x)在I上一致收斂于S(x)，n=0則S(x)在I上連續(xù)，于是對于任意x0eI有l(wèi)im￡lim￡u(x)=xfx八n

0n=0￡limu(x)=n=0xH0￡u(x)。n=0定理10若⑴u(定理10若⑴u(x)，n=1,2，…,在［a,b］上連續(xù)，(ii)￡u(x)在［a,b］上一致收斂于S(x)，nn=0則S(x)在［a,b］上可積，且b[u(x)]dxbu(x)dx.nnan0 n0a定理11若(i)u(x)在【上有收斂點，nn0(ii)u(x)(ii)u(x)，n1,2,，在I上連續(xù),n(iii)則un0(iii)則un0&)的和函數(shù)在1上可導，且[un(x)]n0u(x)n0u(x)在I上一致收斂,nn0第十四章冪級數(shù)1、冪級數(shù)的收斂半徑求法(1)對于冪級數(shù)anxn,若｛an｝中只有有限項為0.n0linlin—^4-an則收斂半徑RO',,l0.(2)若｛a｝中有無限項為0,設級數(shù)中的第口項(不是xn項)為u(x),limnUn1(x)

u(x)

n(x),或limq]u(x)(x)，解不等式(x)1，所得的解集區(qū)間就是收斂區(qū)間,區(qū)間長的一半就是收斂半徑。2、冪級數(shù)的性質定理1(阿貝爾定理)(i)若冪級數(shù)anxn在x10處收斂，則此級數(shù)在(|x1|,|x1|)內每一點絕對收斂。n0

(ii)若冪級數(shù)￡ax〃在x2處發(fā)散，則此級數(shù)在(-*-")5|x[,+s)處處發(fā)散.n=0定理2冪級數(shù)在收斂域內內閉一致收斂。定理3(1)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域上連續(xù),(2)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域內的任意閉區(qū)間上可積，且可逐項積分，即對收斂域內的閉JbS(t)dt=￡Jbatndt，卜S(t)dt=￡fxatndt。nna 0a a °a(3)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間上有任意階導數(shù)，且S(k)(x)=￡(aXn)(k)on=0定理4冪級數(shù)經逐項積分和逐項求導后所得的新級數(shù)與原來的級數(shù)有相同的收斂半徑，但收斂域未必相同。即下列三個級數(shù)的收斂半徑相同。(1)⑵(3)a+ax+ax2d Faxn(1)⑵(3)a+2axF Fnaxn-1F—aa aax+—xx2+tx3f f——xn+1f—0 2 3 n+13、函數(shù)的幕級數(shù)展式六個基本展式(i)exVxn x2=乙——=1+x+ F n! 2!n=0xn+一n!F xGR(ii)V(-1)nx2ncosx=" =1-(2n)!n=0x2 +2!x44-x6 (—1)nx2n +…+ +…6! (2n)!xGR(iii). V(-1)nx2n+1sinx=" =x?(2n+1)!n=1x3x7+ 5!x7 (—1)nx2n+1- +…+ +…7! (2n+1)!xGR

X2 X3 XX2 X3 X4 (—1)n—1iv)ln(1+x)=x——+———+…+ xn+…2 3 4 n(1+x)a=1+ax+a(a—1) a(a—1)…(a—n+1) x2+…+ Xn+…2!n!—i—=1+X+X2H FXnH -X1 =1—x+X2—X3+…+(—1)nXn+…+XxG(—1,1]xe(—1,1)xe(—1,1)4、求和函數(shù)的方法（1）若級數(shù)中不含階乘（n!），可利用逐項積分或逐項求導，除掉系數(shù)中的n,利用公式（vi）或（vii）,求得和函數(shù)。注：若n在分母用導數(shù)，n在分子用積分，有時需級數(shù)中乘以x,x2等，有時需級數(shù)中除以x,x2，以便利用公式。（2）若級數(shù)中含階乘（n!）,除了利