哈工大建筑力學(xué)第4章(第3-6節(jié)) 平面力系的簡(jiǎn)化及平衡方程

第四章平面力系的簡(jiǎn)化與平衡方程林國(guó)昌§4-3平面任意力系的平衡條件?平衡方程§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

如果平面任意力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化后的主矢和主矩都等于零，表明簡(jiǎn)化后的匯交力系和附加力偶系都自成平衡，則原力系必為平衡力系。平面任意力系平衡的充要條件是：力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即：(4-8)主矢：主矩：§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

和等價(jià)主矢：主矩：等價(jià)(4-9)稱為平面任意力系的平衡方程。(4-9)等價(jià)平面任意力系的平衡方程實(shí)際上就是平面任意力系平衡的解析條件：即所有各力在兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零。有三個(gè)獨(dú)立方程，只能求解三個(gè)未知數(shù)這是平面任意力系平衡方程的基本形式?！?-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

(4-9)例已知：尺寸如圖。解：取起重機(jī)，畫受力圖.3個(gè)未知量§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

A點(diǎn)固定鉸支座約束，B點(diǎn)光滑面約束，求軸承A和B處的約束力.例

兩根直徑為d的圓鋼，每根重P=2kN，擱置在槽內(nèi)。忽略接觸面的摩擦，求A、B、C三點(diǎn)的約束力。O1O2ⅠⅡPPABC45o解：3個(gè)未知量NCNBNA解方程。（略）研究對(duì)象：兩根圓鋼NA－NC＝0NB－P－P＝0

NC

dsin45°－Pdcos45=0xy§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

例4-3剛架AB受均勻分布的風(fēng)荷載的作用，單位長(zhǎng)度上承受的風(fēng)壓為q(N/m)，給定q和剛架尺寸，求支座A和B的約束力。L1.5LAB解：取

剛架，畫受力圖.FAx+FR=0ABxyFRFAxFAyFByFAx=-FR=-qLFAy+FBy=01.5FByL-FRL/2=0FAx=-FBy=-qL/3§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

3個(gè)未知量yx2Faa/2FFAxFAyMA例4-4構(gòu)件受力如圖所示，求固定端A的約束。解：取整體構(gòu)件，畫受力圖FAx-F=0FAy-2F=0MA-2Fa-Fa/2=0FAx=FFAy=2FMA=2.5Fa3個(gè)未知量§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

利用平衡方程，求解平衡問題的步驟為：1）選—選取研究對(duì)象。應(yīng)既受已知力，又受要求的力或與要求力相關(guān)的力。2）畫—畫受力圖。3）建—建立坐標(biāo)系。原點(diǎn)可任意，使坐標(biāo)軸與較多的未知力平行。4）列—列平衡方程。注意：矩心最好在多個(gè)未知力作用線的交點(diǎn)上。5）解—解平衡方程。6）答—答案，必要時(shí)作出討論或說明。§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

yx2Faa/2FFAxFAyMA3個(gè)未知量二矩式：三矩式：x軸不得垂直于A、B連線。A、B、C三點(diǎn)不共線。三組方程都可用來解決平面任意力系的平衡問題。究竟選用哪一組方程，須根據(jù)具體條件確定。

對(duì)于受平面任意力系作用的單個(gè)剛體的平衡問題，只可以寫出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解三個(gè)未知量。任何第四個(gè)方程只是前三個(gè)方程的線性組合，因而不是獨(dú)立的?！?-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

例4-8如圖所示，十字交叉梁用三個(gè)鏈桿支座固定，求在水平力F作用下各支座的約束力。二矩式：yxFaaaa30oFBFCFAABCLFa+FB2a-FCa=0矩心A矩心BFa+FA2acos30o-FCa=0∑MB=0∑MA=0FAsin30o-F-FC=0FA=-1.62FFB=-1.40FFC=-1.81F§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

x軸不得垂直于A、B連線。三矩式：Fa+FB2a-FCa=0矩心A矩心BFa+FA2acos30o-FCa=0∑MB=0∑MA=0yxFaaaa30oFBFCFAABCL矩心C∑MC=0FA=-1.62FFB=-1.40FFC=-1.81FFAcos30oa+F2a+FBa-FAsin30oa=0§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

A、B、C三點(diǎn)不共線。ACBPFC45yx解得：FC＝28.28kN例已知如圖AC＝CB＝l，載荷P＝10kN。設(shè)梁和桿的自重不計(jì)，求鉸鏈A的約束力和桿DC所受的力。DCF’DF’CPABD45解：研究對(duì)象：AB梁。XA＋FCcos45＝0

YA＋FCsin45－P＝0

FCsin45l－P2l＝0ll由作用反作用公理，CD桿受壓力28.28kNXA＝－20kNYA＝－10kN(負(fù)號(hào)表明約束力方向與圖示相反)CXAYA§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

3個(gè)未知量PABCD45yxllAXAYAFCC45PBDl如果寫出對(duì)A、C兩點(diǎn)的力矩方程和對(duì)x軸的投影方程：如果寫出對(duì)A、D、C三點(diǎn)的力矩方程？——作業(yè)1§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

二矩式例：

水平梁長(zhǎng)為4m，重P=10kN，作用在梁的中點(diǎn)C。承受均布載荷q=6kN/m，力偶矩m＝8kNm。試求A、B處的約束力。解：研究對(duì)象：水平梁AB。－8解得：P4m2mqmCBA45°XAYARBq×2§4-3平面任意力系的平衡條件平衡方程

§4-4平面平行力系的平衡方程只有兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，只能求解兩個(gè)未知數(shù)。

上式是平面平行力系平衡方程的基本形式，它的二矩式是

若力系中所有力的作用線都在同一平面內(nèi)且平行，稱為平面平行力系，它是平面任意力系的特殊情況，如圖所示。當(dāng)取x軸與力系中各力垂直，則自然滿足。則平面平行力系平衡方程為:§4-4平面平行力系的平衡方程

P2P1P3PAB3.0m2.5m1.8m2.0m例：

一種車載式起重機(jī)，車重P1=26kN，起重機(jī)伸臂重P2=4.5kN，起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重P3

=31kN。尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機(jī)對(duì)稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。§4-4平面平行力系的平衡方程

解：(1)取汽車及起重機(jī)為研究對(duì)象，受力分析如圖。PP2FAP1P3FBAB3.0m2.5m1.8m2.0m不翻倒的條件是：FA≥0，故最大起吊重量為Pmax=7.5kN聯(lián)立求解

所以由上式可得§4-4平面平行力系的平衡方程

(2)列平衡方程。塔式起重機(jī)如圖所示，機(jī)架自重W=700KN，作用線通過塔架軸線。最大起重量W1=200KN，最大吊臂長(zhǎng)為12m，平衡塊重W2，它到塔架軸線的距離為6m。為保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)都不翻倒，試求平衡塊的重量應(yīng)為多大。例4-9§4-4平面平行力系的平衡方程

FAFB§4-4平面平行力系的平衡方程

解：(1)取起重機(jī)為研究對(duì)象，受力分析如圖。起重機(jī)底部是由滾動(dòng)鉸支座約束，故有兩個(gè)約束力FA和FB。平面平行力系！FAFB§4-4平面平行力系的平衡方程

(2)列平衡方程。未知數(shù)：FA、FB、W2。平面平行力系的平衡方程只有兩個(gè)，只能求解2個(gè)未知數(shù)，因此，需要補(bǔ)充方程。分析：(1)起重機(jī)滿載時(shí)，W1=200kN。此時(shí)平衡塊W2保證起重機(jī)不會(huì)饒B輪發(fā)生翻到。當(dāng)處于翻到和未翻到的臨界狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)A=0。此時(shí)W2是起重機(jī)滿載時(shí)不翻到的最小值，用W2min表示。FAFB§4-4平面平行力系的平衡方程

分析：(2)起重機(jī)空載時(shí)，W1=0kN。此時(shí)平衡塊W2保證起重機(jī)不會(huì)饒A輪發(fā)生翻到。當(dāng)處于翻到和未翻到的臨界狀態(tài)時(shí)，F(xiàn)B=0。此時(shí)W2是起重機(jī)空載時(shí)不翻到的最大值，用W2max表示。例已知F=40KN，M=150KNm。求支座A、B處的反力。ABFM解：研究對(duì)象：AB梁.

畫受力圖.6m3mABFMFBFA解略！§4-4平面平行力系的平衡方程

§4-5物體系的平衡問題§4-5物體系的平衡問題

物體系:是指由若干個(gè)物體通過適當(dāng)?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng)。PACBQQBqEDCA討論物體系平衡時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)的外力，還要考慮系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力（內(nèi)力）。物體系若由n個(gè)物體組成，則可以寫出3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可求解3n個(gè)未知數(shù)。例4-7：三鉸拱ABC的支承及荷載情況如圖所示。已知P=20kN,均布荷載q=4kN/m.求鉸鏈支座A和B的約束反力。1m2m2m3mABCqPXAYAXBYB解：1）研究對(duì)象：整體MA(Fi)=0-q×3×1.5-P×3+4×YB=0YB=19.5kN

YA-P+YB=0YA=0.5kN§4-5物體系的平衡問題

xy2）研究對(duì)象：BCXCYCMC(Fi)=0-1×P+2×YB+3×XB=0XB=-6.33kN§4-5物體系的平衡問題

1m3mBCPXBYB2mXA=-5.67kN

q×3+XA+XB=0整體分析：§4-5物體系的平衡問題

1m2m2m3mABCqPXAYAXBYBYA=0.5kNYB=19.5kNXB=-6.33kN已經(jīng)求出：解靜定物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:1)分析系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成；2)按照便于求解的原則,適當(dāng)選取整體或個(gè)體為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析并畫受力圖；3)列平衡方程并解出未知量。※一般需取多次研究對(duì)象?！?-5物體系的平衡問題

例已知三角拱的重力及載荷和幾何尺寸，求A、B的約束力。PACBQQ研究對(duì)象的選取方案：（1）整體和BC（2）AC和BC（3）整體和AC§4-5物體系的平衡問題

解：選取研究對(duì)象XBXAYAYB解一（1）研究對(duì)象：整體YBYA（2）研究對(duì)象：BCXB代入（1）式，可解得XA。XCBXBYBCYCQPACBQQ§4-5物體系的平衡問題

PACBSQQ（1）研究對(duì)象：AC（2）研究對(duì)象：BC方程含X'C、Y'C方程含XA、YA方程含XA、XC方程含XC、YC方程含XB、YB方程含XB、XCPQACY'CX'CXAYAXCBXBYBCYCQ6個(gè)方程、6個(gè)未知力，聯(lián)立可解研究對(duì)象不同計(jì)算量相差很大。解二§4-5物體系的平衡問題

例

已知M=10kNm，q=2kN/m，求A、B、C三處的約束力。qCAB1mM1m1m1m解：全面進(jìn)行受力分析，選取合適的研究對(duì)象:整體受力分析§4-5物體系的平衡問題

qCAB1mM1m1m1mYAXAMAYCYC=0.5kNCBABmqqYCYBXBYBXBYAXAmAXB=01）研究對(duì)象：BCYB=1.5kN§4-5物體系的平衡問題

XA=02）研究對(duì)象：AB①根據(jù)求解的問題，恰當(dāng)?shù)倪x取研究對(duì)象：要使所取物體上既包含已知條件，又包含待求的未知量。②對(duì)選取的研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，正確地畫出受力圖。③建立平衡方程式，求解未知量：a)根據(jù)所研究的力系選擇平衡方程式的類別（如匯交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。b)建立投影方程時(shí)，投影軸的選取原則上是任意的，并非一定取水平或鉛垂方向，應(yīng)根據(jù)具體問題從解題方便入手去考慮。c)建立力矩方程時(shí)，矩心的選取也應(yīng)從解題方便的角度加以考慮?！?-5物體系的平衡問題

§4-6考慮摩擦的平衡問題前幾章我們把接觸表面都看成是絕對(duì)光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。兩個(gè)相互接觸的物體產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)或具有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，彼此在接觸部位會(huì)產(chǎn)生一種阻礙對(duì)方相對(duì)運(yùn)動(dòng)的作用，這種現(xiàn)象稱為摩擦，這種阻礙作用，稱為摩擦阻力?！?-6考慮摩擦的平衡問題

何時(shí)可以不考慮摩擦？答：當(dāng)摩擦對(duì)所研究的問題是次要因素，可以略去不計(jì)。摩擦的有利之處：§4-6考慮摩擦的平衡問題

摩擦的不利之處：機(jī)械零件的磨損！摩擦滑動(dòng)摩擦滾動(dòng)摩擦靜滑動(dòng)摩擦動(dòng)滑動(dòng)摩擦靜滾動(dòng)摩擦動(dòng)滾動(dòng)摩擦摩擦干摩擦濕摩擦滑動(dòng)趨勢(shì)滑動(dòng)滾動(dòng)趨勢(shì)滾動(dòng)接觸面間無潤(rùn)滑介質(zhì)接觸面間有潤(rùn)滑介質(zhì)§4-6考慮摩擦的平衡問題

摩擦的分類：4-6-1靜滑動(dòng)摩擦力F(2)此刻，在物體上再施加一個(gè)水平拉力F,只要F值不超過一定限度，則物體仍處于平衡狀態(tài)?！?-6考慮摩擦的平衡問題

AFNWFs(1)重W的物體放在粗糙的水平面上,

平衡狀態(tài)。此時(shí)只受W和FN作用，F(xiàn)N是接觸面對(duì)物體施加的約束力。(3)這表明：必定有一個(gè)阻礙物體沿水平方向滑動(dòng)的力Fs，F(xiàn)s稱為靜滑動(dòng)摩擦力。Fs的方向：與物體的相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)相反，沿接觸處的公切線(“相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)”指的是假設(shè)不存在摩擦?xí)r，物體在主動(dòng)力作用下的相對(duì)滑動(dòng)方向)。Fs的大?。?-6-2最大靜摩擦力，靜滑動(dòng)摩擦定律1）最大靜摩擦力作用在物體水平拉力F,增大到某一限度時(shí)，如果繼續(xù)增大，物體將會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)，而不再保持平衡。將物體即將滑動(dòng)而尚未滑動(dòng)的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。此時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大值Fmax

,稱為最大靜摩擦力?！?-6考慮摩擦的平衡問題

AFFNWFs(4-14)平衡時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力的取值范圍為：2）靜滑動(dòng)摩擦定律fs—靜摩擦因數(shù)，它是無量綱，與接觸物體材料、接觸面粗糙度、溫度、濕度等有關(guān)。fs通常有一定的取值范圍，但是當(dāng)材料和表面情況確定的條件下，fs可以看做是常數(shù)?！?-6考慮摩擦的平衡問題

法國(guó)物理學(xué)家?guī)靷愅ㄟ^對(duì)干燥接觸面的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：(1)最大靜摩擦力的方向與物體的相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)相反，沿接觸處的公切線；(2)最大靜摩擦力的大小與相互接觸兩物體間的正壓力(法向反力)成正比。AFFNWFs(4-15)式(4-15)稱為靜滑動(dòng)摩擦定律，或庫(kù)倫定律。4-6-3動(dòng)滑動(dòng)摩擦力(2)此刻，靜滑動(dòng)摩擦力稱已經(jīng)不能阻礙物體相對(duì)滑動(dòng)的發(fā)生，只能起到一個(gè)阻力作用，稱之為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，用Fm表示?！?-6考慮摩擦的平衡問題

AFFNWFmax(1)設(shè)物體在FN作用處于臨界平衡狀態(tài)，當(dāng)FN繼續(xù)增大時(shí)，物體將發(fā)生滑動(dòng)。AFFNWFm臨界平衡狀態(tài)滑動(dòng)狀態(tài)4-6-3動(dòng)滑動(dòng)摩擦力§4-6考慮摩擦的平衡問題

f—?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)，它是無量綱，與接觸物體材料和表面情況有關(guān)，還與接觸物體間相對(duì)滑動(dòng)的速度大小有關(guān)。當(dāng)滑動(dòng)速度不大時(shí)，動(dòng)摩擦系數(shù)可近似認(rèn)為是個(gè)常數(shù)。試驗(yàn)表明：(1)動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的方向與物體的相對(duì)滑動(dòng)的方向相反；(2)動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的大小與相互接觸兩物體間的正壓力(法向反力)成正比。(4-16)式(4-16)稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律。AFFNWFm滑動(dòng)狀態(tài)通常動(dòng)摩擦因數(shù)小于靜摩擦因數(shù)，即：47狀態(tài)：①靜止：②臨界：（將滑未滑）

③滑動(dòng)：增大摩擦力的途徑為：①加大正壓力FN,②加大摩擦因數(shù)。

（fs

—靜摩擦因數(shù)）（f‘—?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)）§4-6考慮摩擦的平衡問題

AFFNWFs通常動(dòng)摩擦因數(shù)小于靜摩擦因數(shù)，即：當(dāng)有摩擦?xí)r，接觸面的