誤差及分析復(fù)習(xí)

考試安排時(shí)間4月16日周三9：30～11：30地點(diǎn)：教1-009考試題型

填空

選擇(單選、多選）

計(jì)算題考試方式：開卷，獨(dú)立完成帶計(jì)算器

課程內(nèi)容要點(diǎn)：什么是誤差、相對(duì)誤差、（儀表）引用誤差、實(shí)驗(yàn)（樣本）標(biāo)準(zhǔn)差、偏移？什么是準(zhǔn)確度、正確度、精密度、重復(fù)性、再現(xiàn)性、穩(wěn)定性？三類誤差性質(zhì)的特征有什么異同?如何分析測(cè)量隨機(jī)誤差?如何分析系統(tǒng)誤差、粗大誤差是否顯著存在?函數(shù)誤差、誤差分配、微小誤差取舍、最佳測(cè)量方案的確定單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差與算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是什么關(guān)系?怎么理解標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差?標(biāo)準(zhǔn)差有哪幾種常用的統(tǒng)計(jì)公式?常用的誤差分布，服從常用誤差分布的可能情形。權(quán)的概念，權(quán)的確定方法，權(quán)與方差的關(guān)系，加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。什么是測(cè)量不確定度？如何評(píng)定兩類標(biāo)準(zhǔn)（差）不確定度?如何估計(jì)他們的自由度?如何分析測(cè)量不確定度的來(lái)源?如何求得合成測(cè)量不確定度及其有效自由度?如何確定擴(kuò)展不確定度的包含因子?如何合理表示測(cè)量結(jié)果?什么是最小二乘法？一元線性回歸的基本概念、回歸系數(shù)的計(jì)算推導(dǎo)、回歸系數(shù)的不確定度的公式推導(dǎo)、回歸值的不確定度公式推導(dǎo)偏差平方和的分解：總偏差平方和、回歸平方和、殘余平方和回歸效果的檢驗(yàn)典型例題常用的計(jì)算公式名稱說(shuō)明公式誤差誤差的定義絕對(duì)誤差相對(duì)誤差引用誤差最大絕對(duì)誤差最大相對(duì)誤差三類不同性質(zhì)的誤差隨機(jī)誤差算術(shù)平均值實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差權(quán)的確定粗大誤差3σ準(zhǔn)則格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則狄克遜(Dixon)準(zhǔn)則常用的計(jì)算公式名稱說(shuō)明公式系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的定義統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)恒定系統(tǒng)誤差組間t檢驗(yàn)線性系統(tǒng)誤差周期系統(tǒng)誤差函數(shù)誤差函數(shù)系統(tǒng)誤差函數(shù)隨機(jī)誤差名稱符號(hào)說(shuō)明公式A類評(píng)定方法標(biāo)準(zhǔn)不確定度s(xi)(單次測(cè)量)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差平均值實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差uA測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類評(píng)定方法標(biāo)準(zhǔn)不確定度uB已知擴(kuò)展不確定度U和包含因子k已知擴(kuò)展不確定度Up和置信概率p及包含因子kp或有效自由度eff及tp()已知區(qū)間半寬度a和相應(yīng)的先驗(yàn)概率分布的包含因子k測(cè)量不確定度評(píng)定的有關(guān)公式總結(jié)名稱符號(hào)說(shuō)明公式合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)直接測(cè)量各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量ui(x)(包括輸入量和影響量)一般都互不相關(guān)間接測(cè)量y=f(x1,x2,…,xn)不確定度傳播率各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量ui互不相關(guān)（r(xi,xj)0）。當(dāng)y/xi=1或1時(shí)各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量ui正相關(guān)（r(xi,xj)

1）。當(dāng)y/xi=1時(shí)簡(jiǎn)化形式y(tǒng)＝c1x1c2x2…cnxn各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量ui互不相關(guān)，

系數(shù)ci=1或1各分量ui互不相關(guān)，c是常數(shù)，pi可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)擴(kuò)展不確定度U不評(píng)定自由度，取k2~3Ukuc(y)Up評(píng)定有效自由度，kptp(eff)Upkpuc(y)=tp(eff)uc(y)誤差的定義及表示法

絕對(duì)誤差：測(cè)得值與真值之差稱為絕對(duì)誤差，通常簡(jiǎn)稱誤差。絕對(duì)誤差＝測(cè)得值－真值修正值：實(shí)際工作中常用修正值。為消除（減少）系統(tǒng)誤差用代數(shù)法加到測(cè)量結(jié)果上的值稱為修正值。修正值≈真值(約定真值）－測(cè)得值測(cè)量結(jié)果(≈真值)＝測(cè)得值＋修正值一、誤差的基本概念相對(duì)誤差

測(cè)量絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值的比稱為相對(duì)誤差。

GUM中注：由于真值不能確定，實(shí)際上用約定真值（測(cè)值的最佳估計(jì)值）。（1）無(wú)單位（無(wú)名數(shù)），通常以％或×10-d表示（2）通常可比較不同測(cè)量的質(zhì)量如何。引用誤差(fiducialerror)

式中引用值xm通常指全量程或量程上限，示值誤差Δxm是該量程范圍內(nèi)任一刻度點(diǎn)的示值的絕對(duì)誤差中的最大值。二、誤差的分類按照測(cè)量誤差的特點(diǎn)、性質(zhì)和規(guī)律，以及對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響方式，可將其分為系統(tǒng)誤差，隨機(jī)誤差和粗大誤差三類：

1．系統(tǒng)誤差定義：在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。特征：在同一條件下多次測(cè)量同一量值時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)保持不變或在條件改變時(shí)，其值按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差按其出現(xiàn)的規(guī)律又可分為:

（1）定值系統(tǒng)誤差：即誤差的大小和方向?yàn)楣潭ㄖ?。?）變值系統(tǒng)誤差：即誤差的大小和方向?yàn)橐?guī)律的變化值。為減少系統(tǒng)誤差用代數(shù)法加到測(cè)量結(jié)果上的值稱為修正值。

averageofreplicateindicationsminusareferencequantityvalue———VIM,3rdedition,JCGM200:2008指測(cè)量?jī)x器示值的系統(tǒng)誤差。通常用適當(dāng)次數(shù)重復(fù)測(cè)量的示值誤差的平均來(lái)估計(jì)。

偏移或偏畸（biasofameasuringinstrument）測(cè)量偏移measurementbiasestimateofasystematicmeasurementerror系統(tǒng)誤差的估計(jì)值用標(biāo)準(zhǔn)器具（物質(zhì)）檢定恒定系統(tǒng)誤差2、構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量3、在給定顯著水平下，查分布表的臨界值4、作出決策。若，判定被檢量算術(shù)平均值與期望的標(biāo)準(zhǔn)值之間存在顯著的差異，即被檢量含有恒定的系統(tǒng)誤差。5、加修正值。對(duì)測(cè)得值加一個(gè)修正值，即1、計(jì)算均值，按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差變值系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法之一：殘差觀察法

將測(cè)量列中前K個(gè)殘差相加，后n-K個(gè)殘差相加。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取，n為奇數(shù)時(shí)，取和檢驗(yàn)法（檢驗(yàn)顯著遞增和遞減誤差）前半殘差和后半殘差和引入統(tǒng)計(jì)量若存在顯著的線性變化或遞增、遞減系統(tǒng)誤差。記序差序差平方和殘差平方和（突出分散性）引入統(tǒng)計(jì)量若則存在顯著的周期性變化系統(tǒng)誤差。小樣本序差法：用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差

兩組算術(shù)平均值之間是否存在系統(tǒng)誤差的差值與標(biāo)準(zhǔn)差比較法：對(duì)同一量值在測(cè)量條件不同，測(cè)量次數(shù)也不同的情況下進(jìn)行兩組（或多組）測(cè)量。設(shè)測(cè)量次數(shù)分別為n1和n2次，兩算術(shù)平均值之差的方差為：兩組算術(shù)平均值之差為：兩組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量給定顯著水平，若，則與有顯著差別，即存在系統(tǒng)誤差；反之則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。組間t檢驗(yàn)法（組數(shù)m=2，正態(tài)）系統(tǒng)誤差的減小與消除恒定系統(tǒng)誤差

替代法

交換法

抵消法

線性系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差對(duì)稱補(bǔ)償法半周期法補(bǔ)償和減少系統(tǒng)誤差的途徑有：（1）從誤差根源上消除；（2）在測(cè)量過(guò)程中采取一定措施避免系統(tǒng)誤差引入測(cè)量結(jié)果。

單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)[偏]差：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)[偏]差：2、隨機(jī)誤差不等權(quán)測(cè)量：

權(quán)的概念應(yīng)該讓可靠程度大的在最后測(cè)量結(jié)果中占的比重大一些，讓可靠程度小的在最后測(cè)量結(jié)果中占的比重小一些。各測(cè)量結(jié)果的可靠程度用數(shù)值表示，這數(shù)值稱為該測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”，記為p。測(cè)量精度愈高，可靠性愈高，應(yīng)給予的“權(quán)”應(yīng)愈大。加權(quán)算術(shù)平均值:

對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果

設(shè)m個(gè)測(cè)量結(jié)果各自相應(yīng)的權(quán)為pi，

則加權(quán)算術(shù)平均值為：測(cè)量準(zhǔn)確度（accuracyofmeasurement）

表示測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值之間的一致程度。

就誤差分析而言，準(zhǔn)確度是測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合，誤差大，則準(zhǔn)確度低，誤差小，則準(zhǔn)確度高。

國(guó)際“通用計(jì)量學(xué)術(shù)語(yǔ)”中在B.2.14這條下有兩條注解：①不要使用“precision”來(lái)表示準(zhǔn)確度。②準(zhǔn)確度是一個(gè)定性概念，可以用準(zhǔn)確度高低、準(zhǔn)確度為0.25級(jí)、準(zhǔn)確度為三等及準(zhǔn)確度符合××標(biāo)準(zhǔn)的說(shuō)法。盡量不使用準(zhǔn)確度為0.25%,16mg，≤16mg等方式表示。附：測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度定義為：測(cè)量?jī)x器給出接近于真值的能力。當(dāng)只考慮系統(tǒng)誤差的大小時(shí)，準(zhǔn)確度稱為正確度。正確度（correctness，measurementtrueness）表示對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果的平均值與真值之間的一致程度closenessofagreementbetweentheaverageofaninfinitenumberofreplicatemeasuredquantityvaluesandareferencequantityvalue只考慮隨機(jī)誤差的大小時(shí)，準(zhǔn)確度稱為精密度。精密度（precision）表示在給定條件下對(duì)同一或類似被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量所得的示值或測(cè)量值之間的一致性closenessofagreementbetweenindicationsormeasuredquantityvaluesobtainedbyreplicatemeasurementsonthesameorsimilarobjectsunderspecifiedconditions測(cè)量精密度通常在數(shù)值上表示成不精密度，如標(biāo)準(zhǔn)偏差，方差等“給定條件”可以是，比如，測(cè)量重復(fù)性條件，測(cè)量復(fù)現(xiàn)性條件等精密度可以用來(lái)定義測(cè)量重復(fù)性，測(cè)量復(fù)現(xiàn)性重復(fù)性（repeatability）

在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量所得結(jié)果之間的一致性。重復(fù)性條件相同的測(cè)量程序，相同的觀測(cè)者，在相同的條件下使用相同的測(cè)量?jī)x器，相同的地點(diǎn)，在短時(shí)間內(nèi)重復(fù)測(cè)量復(fù)現(xiàn)性（reproducibility）

在復(fù)現(xiàn)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量所得結(jié)果之間的一致性。復(fù)現(xiàn)性條件不同的測(cè)量程序或不同的觀測(cè)者或不同的測(cè)量?jī)x器或不同的地點(diǎn)指測(cè)量?jī)x器保持其計(jì)量特性隨時(shí)間恒定的能力。它可以用幾種方式來(lái)定量表示，如用計(jì)量特性變化某個(gè)規(guī)定的量所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；或用計(jì)量特性經(jīng)規(guī)定的時(shí)間所發(fā)生的變化等。

穩(wěn)定性（stabilityofameasuringinstrument）3、異常值（粗大誤差）明顯歪曲測(cè)量結(jié)果的誤差稱為異常值（粗大誤差），也叫過(guò)失誤差或疏忽誤差。我國(guó)在GB4883－85中推薦了兩種異常值的判別方法，兩種方法是：

1、在只剔除1個(gè)異常值時(shí)采用格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則。

2、在剔除多個(gè)異常值時(shí)采用狄克遜（Dixon)準(zhǔn)則。三種粗大誤差判斷準(zhǔn)則：（1）3準(zhǔn)則（萊以達(dá)準(zhǔn)則）當(dāng)測(cè)量結(jié)果（測(cè)量列），某一數(shù)據(jù)的殘差的絕對(duì)值

|v|＞3σ時(shí)，則剔除此數(shù)據(jù)。（2）格拉布斯（Grubbs)準(zhǔn)則。

設(shè)獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的一個(gè)正態(tài)分布的測(cè)量列x1，x2，…，xn，其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差為s(x),

對(duì)其中的一個(gè)可疑數(shù)據(jù)xd,,(其殘余偏差vd的絕對(duì)值最大），若：則數(shù)據(jù)xd為異常值，應(yīng)予剔除；否則應(yīng)予保留。

函數(shù)誤差間接測(cè)量的概念直接測(cè)量——無(wú)需對(duì)被測(cè)的量與其它實(shí)測(cè)的量進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的輔助計(jì)算，而直接得到被測(cè)量值的測(cè)量。例如：用游標(biāo)卡尺直接測(cè)量零件直徑。(2)間接測(cè)量——實(shí)測(cè)的量與被測(cè)的量之間有已知函數(shù)關(guān)系，通過(guò)計(jì)算而得到被測(cè)量值的測(cè)量。例如:用千分尺直接測(cè)量圓柱體的直徑d和高度h，通過(guò)函數(shù)計(jì)算來(lái)求圓柱體體積V。一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算

設(shè)間接測(cè)量中間接測(cè)量值y是各個(gè)直接測(cè)量量xi的多元函數(shù)，其表達(dá)式為

式中：－間接測(cè)量值－各個(gè)直接測(cè)量值。可近似得到函數(shù)的系統(tǒng)誤差為：二、函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算：對(duì)于函數(shù)的隨機(jī)誤差,當(dāng)各測(cè)量值的隨機(jī)誤差相互獨(dú)立時(shí)，函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算式為：

當(dāng)各測(cè)量值的隨機(jī)誤差相互不獨(dú)立，即相互間相關(guān)時(shí)，函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算的普遍式為：其中相關(guān)系數(shù)為：測(cè)量不確定度不確定度定義：

不確定度是測(cè)量結(jié)果帶有的一個(gè)參數(shù)，用以表征合理賦予被測(cè)量的值的分散性。測(cè)量誤差測(cè)量不確定度1測(cè)量值與真值之差，表明測(cè)量結(jié)果偏離真值的量表明測(cè)量值的分散性2由于真值不可知，往往不能準(zhǔn)確得到?？梢愿鶕?jù)實(shí)驗(yàn)，或者資料、經(jīng)驗(yàn)等進(jìn)行評(píng)定，從而可定量確定。3是有正負(fù)號(hào)的量值無(wú)正負(fù)符號(hào)的參數(shù)4已知系統(tǒng)誤差的估計(jì)值時(shí)，可以對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正。對(duì)變值系統(tǒng)誤差無(wú)法處理。不能用不確定度對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。無(wú)系統(tǒng)不確定度或隨機(jī)不確定度提法。不確定度的分類：

標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度。

A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的不確定度

B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的不確定度合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：由各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成得到擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)不確定度：由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以包含因子k得到標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定：

(一）定義：用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的不確定度。

(二）符號(hào)：用符號(hào)u表示，有多個(gè)分量時(shí)用ui表示(三）評(píng)定方法：測(cè)量不確定度的B類評(píng)定影響被測(cè)量之值可能變化的全部信息概率分布類型區(qū)間半寬度引用誤差

示值誤差儀器分辨力儀器的滯后舍入誤差

儀器基本誤差合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定：

若不確定度分量的各種因素與測(cè)量結(jié)果沒(méi)有確定的函數(shù)關(guān)系，則應(yīng)根據(jù)具體情況按A類評(píng)定或B類評(píng)定方法來(lái)確定各不確定度分量ui的值，然后求得合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：對(duì)于間接測(cè)量的情況，Y=F(X1,X2,……Xm)時(shí)，有如下

的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度公式：式中：

uc(y)——輸出量估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

u(xi),u(xj)——輸入量估計(jì)值xi和xj

的標(biāo)準(zhǔn)不確定度函數(shù)F(X1,X2,…）在(x1,x2,…,xm)處的偏導(dǎo)數(shù)，稱為靈敏系數(shù)，在誤差合成公式中稱其為傳播系數(shù)；ρij——Xi和Xj

在(xi,xj)處的相關(guān)系數(shù)當(dāng)?shù)冢楹偷趈個(gè)輸入量xi

和

xj

相互間均獨(dú)立時(shí)ρij＝0,這時(shí)間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播公式可簡(jiǎn)化為：擴(kuò)展不確定度的評(píng)定：擴(kuò)展不確定度由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc乘以一個(gè)包含因子k得到（k一般在2～3范圍內(nèi)選取）。符號(hào)：用符號(hào)U,Up表示。記為：U=k*uc

或：Up=k*uc

包含因子k的確定：

包含因子k的大小由置信概率p和分布的類型確定。1）一般測(cè)量時(shí)，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，則按正態(tài)分布考慮。2）重要的測(cè)量，或測(cè)量次數(shù)較小時(shí)，k由t分布確定：

包含因子k（t分布時(shí)常用符號(hào)t表示）由置信概率p(或α）、以及自由度ν從t分布表查出。自由度概念：概念：對(duì)應(yīng)n個(gè)變量,m個(gè)獨(dú)立的線性約束條件，那么n個(gè)變量中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)僅為n－m，則稱平方和∑vi2

的自由度為n－m。用符號(hào)ν來(lái)表示，記為ν＝n－m。自由度的意義：當(dāng)測(cè)量次數(shù)n不同時(shí)，計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)偏差自身的可信賴程度不同。例如測(cè)量次數(shù)n大時(shí)，自由度值大，可信賴程度高。自由度所包含的意義就是代表標(biāo)準(zhǔn)偏差自身的不確定度的大小。自由度的評(píng)定：1、A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度的評(píng)定：

貝塞爾公式計(jì)算的n次測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

s(x)的自由度ν＝n－1。算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的自由度仍然是n-1，因?yàn)樽杂啥圈捅硎镜氖遣淮_定度自身的不確定度的大小2、B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度的評(píng)定：

對(duì)于B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，其自由度一般通過(guò)不確定度（或標(biāo)準(zhǔn)偏差）自身的相對(duì)不確定度來(lái)折算，不確定度（或標(biāo)準(zhǔn)偏差）自身的相對(duì)不確定度由資料等先驗(yàn)信息給出。）

折算公式為：合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度：

當(dāng)各不確定度分量ui的自由度均已知時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc的自由度（常稱為有效自由度）計(jì)算公式為：擴(kuò)展不確定度的自由度與合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度相同。１、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示方式

某標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量，其測(cè)量的估計(jì)值合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，自由度(1)，或，(2)(3)括號(hào)內(nèi)的數(shù)值按標(biāo)準(zhǔn)差給出，其末位與測(cè)量結(jié)果的最低位對(duì)齊括號(hào)內(nèi)的數(shù)值按標(biāo)準(zhǔn)差給出，單位同測(cè)量結(jié)果一樣2、擴(kuò)展不確定度表示方式

某標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量，其測(cè)量的估計(jì)值合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，自由度包含因子，擴(kuò)展不確定度或或或包含因子或或擴(kuò)展不確定度表示方式

擴(kuò)展不確定度三、數(shù)字位數(shù)與數(shù)據(jù)修約規(guī)則

在表示測(cè)量結(jié)果時(shí)，究竟取幾位數(shù)字為好呢？總結(jié)以下幾條原則(1)最后報(bào)告的不確定度有效位數(shù)一般不超過(guò)兩位當(dāng)保留一位有效數(shù)字時(shí)，按“三分之一原則”進(jìn)行修約。多余部分推薦：當(dāng)保留兩位有效數(shù)字時(shí)，按“不為零即進(jìn)位”；0.001101

0.0012

0.0010010.001

0.0013340.002

多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原則進(jìn)行舍棄截?cái)嗷蜻M(jìn)位截?cái)唷?2)被測(cè)量的估計(jì)值的位數(shù)也要進(jìn)行相應(yīng)的修約修約后的數(shù)據(jù)要與不確定度數(shù)值的位數(shù)對(duì)齊被測(cè)量的估計(jì)值已修約的不確定度的數(shù)據(jù)修約的被測(cè)量的估計(jì)值20.000540.001220.000520.000560.001220.000620.000550.001220.0006四舍六入逢五取偶被測(cè)量的估計(jì)值的位數(shù)的修約在最終表示測(cè)量結(jié)果的場(chǎng)合，規(guī)范和完整的表示方式有以下兩種：（1）擴(kuò)展不確定度表示方式：測(cè)量結(jié)果=最佳估計(jì)值±測(cè)不準(zhǔn)部分（單位）（置信水平，自由度）（2）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定表示方式：測(cè)量結(jié)果=最佳估計(jì)值（測(cè)不準(zhǔn)部分）（單位）（自由度）測(cè)量結(jié)果的最終表示測(cè)量數(shù)據(jù)處理的完整步驟思考與練習(xí)題1-1車間計(jì)量室溫度(203)C，相對(duì)濕度(605)%，某檢驗(yàn)員用一把游標(biāo)卡尺測(cè)量某軸形工件直徑，重復(fù)測(cè)量3次的數(shù)據(jù)為15.125，15.124，15.127mm。試分析該測(cè)量問(wèn)題的測(cè)量要素?若另一檢驗(yàn)員用另一把游標(biāo)卡尺測(cè)量同一軸形工件直徑，重復(fù)測(cè)量3次的測(cè)量數(shù)據(jù)為15.125，15.137，15.115mm，測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生變化的主要因素可能是什么?試答該工件直徑的測(cè)量結(jié)果及測(cè)量誤差應(yīng)如何表示？1-2用標(biāo)準(zhǔn)測(cè)力機(jī)檢定材料試驗(yàn)機(jī)，若材料試驗(yàn)機(jī)的示值為5.000MN,標(biāo)準(zhǔn)測(cè)力儀輸出力值為4.980MN,試問(wèn)材料機(jī)在5.000MN檢定點(diǎn)的示值誤差、示值的相對(duì)誤差各為多少？1-4某待測(cè)的電壓約為86V，現(xiàn)有0.5級(jí)0—300V和1.0級(jí)0—100V兩個(gè)電壓表，問(wèn)用哪一個(gè)電壓表測(cè)量較好？1-8檢定一只5mA、2.5級(jí)電流表的滿度值誤差。按規(guī)定，引入修正值后使所用的標(biāo)準(zhǔn)儀器產(chǎn)生的誤差不大于受檢儀器容許誤差的1/3?，F(xiàn)有下列幾只標(biāo)準(zhǔn)電流表，問(wèn)選用哪一只最合適，為什么？（1）10mA0.5級(jí)（2）10mA0.2級(jí)（3）15mA0.2級(jí)（4）5mA0.5級(jí)檢定2.5級(jí)（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的示值誤差2V為全量程最大誤差，問(wèn)該電壓表是否合格？5-10對(duì)某量進(jìn)行兩組等權(quán)測(cè)量，其數(shù)據(jù)如下：甲組：25.94，25.97，26.03，25.98，26.0426.02，26.04，25.98，25.96，26.07乙組：25.93，25.94，26.02，25.98，26.0125.90，25.93，26.04，25.94，26.02(1)試用殘差統(tǒng)計(jì)法判斷各組中是否有系統(tǒng)誤差；(2)假設(shè)各組無(wú)系統(tǒng)誤差，試用t檢驗(yàn)法檢查兩族之間是否有系統(tǒng)誤差（）。5-11為檢驗(yàn)?zāi)撤N測(cè)量鋅含量的方法是否存在系統(tǒng)誤差，用含鋅量25.04%的標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)作樣品，重復(fù)測(cè)30次，得平均測(cè)值25.22%，標(biāo)準(zhǔn)差0.46%，試判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差（）?，F(xiàn)用此法測(cè)得某試樣的平均值27.19%，試修正該試樣的分析結(jié)果。網(wǎng)絡(luò)答疑：Email：bitzhtg@?正態(tài)分布：1)重復(fù)條件或復(fù)現(xiàn)條件下多次測(cè)量的算術(shù)平均值的分布；2)被測(cè)量量Y用擴(kuò)展不確定度Up給出，而對(duì)其分布又沒(méi)有特殊指明時(shí)，估計(jì)值Y的分布；3)被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中，相互獨(dú)立的分量較多，它們之間的大小也比較接近時(shí)，Y的分布；4)被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中，相互獨(dú)立的分量中，存在兩個(gè)界限值接近的三角分布，或4個(gè)界限值接近的均勻分布時(shí)；5)被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的相互獨(dú)立的分量中，量值較大的分量（起著決定作用的分布）接近正態(tài)分布時(shí)。

?矩型（均勻）分布：1)數(shù)據(jù)修約導(dǎo)致的不確定度；2)數(shù)字式測(cè)量?jī)x器對(duì)示值量化（分辨率）導(dǎo)致的不確定度；3)測(cè)量?jī)x器由于滯后、摩擦效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度；4)按級(jí)使用的數(shù)字式儀表、測(cè)量?jī)x器最大允許誤差導(dǎo)致的不確定度；5)用上、下界給出的線膨脹系數(shù)；6)測(cè)量?jī)x器度盤或齒輪回差引起的不確定度；7)平衡指示器調(diào)零不準(zhǔn)導(dǎo)致的不確定度。?三角分布：1)相同修約間隔給出的兩獨(dú)立兩之和或差，由修約導(dǎo)致的不確定度；2)因分辨率引起的兩次測(cè)量結(jié)果之和或差的不確定度；3)用替代法檢定標(biāo)準(zhǔn)電子元件或測(cè)量衰減時(shí)，調(diào)零不準(zhǔn)導(dǎo)致的不確定度；4)兩相同均勻分布的合成。?反正弦分布（U型分布）：1)度盤偏心引起的測(cè)角不確定度；2)正弦振動(dòng)引起的位移不確定度；3)無(wú)線電中失配引起的不確定度；4)隨時(shí)間正余弦變化的溫度不確定度。矩陣最小二乘法解題步驟：線性部分反映了由于的變化而引起的變化由實(shí)驗(yàn)獲得兩個(gè)變量和的一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，構(gòu)造如下一元線性回歸模型一元線性回歸模型的數(shù)學(xué)形式

模型中，是的線性函數(shù)部分加上誤差項(xiàng)誤差項(xiàng)是隨機(jī)變量反映了除和之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對(duì)的影響是不能由和之間的線性關(guān)系所解釋的變異性和稱為模型的參數(shù)1、誤差項(xiàng)是一個(gè)期望值為０的隨機(jī)變量，即。對(duì)于一個(gè)給定的值，的期望值為2、對(duì)所有的值，的方差都相同3、誤差項(xiàng)是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。即獨(dú)立性意味著對(duì)于一個(gè)特定的值，它所對(duì)應(yīng)的與其它值所對(duì)應(yīng)的不相關(guān)對(duì)于一個(gè)特定的值，它所對(duì)應(yīng)的值與其它值所對(duì)應(yīng)的不相關(guān)一元線性回歸模型基本假定

1、總體回歸參數(shù)和是未知的，必須利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)他們2、用樣本統(tǒng)計(jì)量和代替回歸方程中的未知參數(shù)和，這時(shí)就得到了經(jīng)驗(yàn)的回歸方程3、一元線性回歸的經(jīng)驗(yàn)的回歸方程是回歸直線在軸上的截距是直線的斜率，它表示對(duì)于給定的的值，是的估計(jì)值，也表示當(dāng)每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，的平均變動(dòng)值經(jīng)驗(yàn)的回歸方程設(shè)得到的回歸方程殘差方程為根據(jù)最小二乘原理可求得回歸系數(shù)和。對(duì)照最小二乘法的矩陣形式，令回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)則誤差方程的矩陣形式為對(duì)照，設(shè)測(cè)得值的精度相等，則有將測(cè)得值分別代入上式，可計(jì)算得由于相互獨(dú)立，自由度計(jì)算公式在總的偏離中除了對(duì)線性影響之外的其它因素而引起變化的大小在總的偏差中因和的線性關(guān)系而引起變化的大小總偏差平方和回歸平方和殘余平方和意義反映因變量的n個(gè)觀測(cè)值與其均值的總偏差三個(gè)平方和的意義定義回歸方程的顯著性檢驗(yàn)-F檢驗(yàn)法對(duì)一元線性回歸，有3、根據(jù)給定的顯著性水平，從F分布表中查取臨界值。4、比較計(jì)算得到的F值和查得的值。若則回歸效果顯著，否則效果不顯著。1、提出假設(shè)

線性關(guān)系不顯著2、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量估計(jì)殘余標(biāo)準(zhǔn)誤差5、殘余標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式1、表征除了與線性關(guān)系之外其它因素影響值偏離的大小2、反映實(shí)際觀測(cè)值在回歸直線周圍的分散狀況3、從另一個(gè)角度說(shuō)明了回歸直線的擬合程度4、殘余方差的計(jì)算公式回歸方程的穩(wěn)定性

1、回歸值的波動(dòng)大小，波動(dòng)愈小，回歸方程的穩(wěn)定性愈好。

2、回歸值的波動(dòng)大小的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)不確定度來(lái)表示?；貧w值的波動(dòng)大小不僅與剩余標(biāo)準(zhǔn)差s有關(guān)，而且還取決于試驗(yàn)次數(shù)n及自變量取值范圍。

基本思想

誤差分配

由給定測(cè)量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各單項(xiàng)誤差。假設(shè)各誤差因素互不相關(guān)，有給定，如何確定，滿足一、按等影響原則分配誤差

等影響原則

各分項(xiàng)誤差對(duì)函數(shù)誤差的影響相等，即可得到極限誤差表示

函數(shù)的總極限誤差

各單項(xiàng)誤差的極限誤差二、按可能性調(diào)整誤差

(1)對(duì)各分項(xiàng)誤差平均分配的結(jié)果，會(huì)造成對(duì)部分測(cè)量誤差的需求實(shí)現(xiàn)頗感容易，而對(duì)另一些測(cè)量誤差的要求難以達(dá)到。這樣，勢(shì)必需要用昂貴的高準(zhǔn)確度等級(jí)的儀器，或者以增加測(cè)量次數(shù)及測(cè)量成本為代價(jià)。按等影響原則分配誤差的不合理性

(2)當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所以各個(gè)部分誤差相等，相應(yīng)測(cè)量值的誤差并不相等，有時(shí)可能相差較大。在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，其余誤差項(xiàng)不予調(diào)整。三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差

誤差先按等影響原則初步確定，再經(jīng)過(guò)合理調(diào)整后，按誤差合成公式計(jì)算，若總誤差超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再進(jìn)行縮小。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)的誤差，合成后與要求的總誤差進(jìn)行比較，直到滿足要求為止。例【解】測(cè)量一圓柱體的體積時(shí)，可間接測(cè)量圓柱直徑及高度，根據(jù)函數(shù)式求得體積，若要求測(cè)量體積的相對(duì)誤差為1％，已知直徑和高度的公稱值分別為，試確定直徑及高