空間角和距離專題

空間角和距離專題在高考的立體幾何試題中 ,求角與距離是常考查的問(wèn)題 ,其傳統(tǒng)的“三步曲”解法 “:作圖、證明、解三角形” ,作輔助線多、技巧性強(qiáng) ,是教學(xué)和學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．向量進(jìn)入高中教材 ,為立體幾何增添了活力 ,新思想、新方法與時(shí)俱進(jìn) ,本專題將運(yùn)用向量方法簡(jiǎn)捷地解決這些問(wèn)題．（１）求異面直線所成的角分別在直線m,n上取兩個(gè)定向量a,b,則異面直線m,n所成的角等于向量,所成的角或其補(bǔ)角，則coscos|ab|特殊情形：|a||b|bab0,即異面直線a垂直于b。例１．如圖，在棱長(zhǎng)為２的正方體 ABCD ABCD中，E、F分別是棱AD,AB的中點(diǎn)．1 1 1 1 1 1 1 1（Ⅰ）求異面直線DE與FC1所成角的余弦值；II）求BC1和面EFBD所成的角；III）求B1到面EFBD的距離（２）求線面角1Bn特殊情形：當(dāng)an(R且0)，則直線a與平面垂直。A一般情形：在直線L上取定AB（或與直線Ｌ共線的La），求平面ABn的法向量n（如圖所示），再求cos|AB||n|則sincos|ABn|，BA,n1且1180cos1注：AB,n|AB||n|如例1（2）問(wèn)（３）求二面角1方法 1：先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離及到棱的距離，然后通過(guò)解直角三角形求角．方法2：（法向量法）構(gòu)造二面角

l 的兩個(gè)半平面 、的法向量n1、n2（都取向上的方向，如圖所示）1）若二面角l是“鈍角型”的如圖甲所示，那么其n1n2大小等于兩法向量n1、n2的夾角的補(bǔ)角，lcoscosn1n2即.圖甲|n1||n2|2）若二面角l是“銳角型”如圖乙所示，那么其大小n1n1n2n2等于兩法向量n1、n2的夾角即coscos.|n1||n2|例2．如圖，三棱柱中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四l圖乙邊形AABB是矩形，平面AABB平面ABCD。（Ⅰ）若AA＝１，求直線'AB到面DAC的距離．（II）試問(wèn)：當(dāng) AA的長(zhǎng)度為多少時(shí)，二面角D AC A的大小為60？例３．正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為２，Ｐ是側(cè)棱AA1上任意一點(diǎn)．（Ⅰ）求證：直線 B1P不可能與平面 ACC1A1垂直；（II）當(dāng)BC1 B1P時(shí)，求二面角 C B1P C1的大小的余弦值2.求空間距離問(wèn)題2構(gòu)成空間的點(diǎn)、線、面之間有七種距離，這里著重介紹點(diǎn)面距離的求法，異面直線間的距離、線面距離；面面距離都可化為點(diǎn)面距離來(lái)求．（１）求點(diǎn)面距離 （推廣到線面、面面之間的距離）方法：如圖，易知點(diǎn)A到平面的距離d|PA|cos,而|PAn||PAn|cos，d|n||PA||n|其中n是平面的一個(gè)法向量，PA是平面的斜向量則點(diǎn)A到平面的距離d等于AP在n上的射影長(zhǎng)，即點(diǎn)Ａ到平面|APn|的距離為：d.|n|（２）求異面直線的距離法一、找平面使b且a，則異面直線a、b的距離就轉(zhuǎn)化為直線a到平面的距離，又轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面的距離．法二：如圖，d是異面直線a與b的距離，n是直線a與b的一個(gè)法向量A、B分別是直線a,b上的點(diǎn)，顯然：d|AB|cos,又cos|ABn|,d|ABn||AB||n||n|例4.如圖，在正三棱柱 A1B1C1—ABC中，D，E分別是棱BC、CC1的中點(diǎn)， AB AA1 2,（Ⅰ）證明： BE AB1；（Ⅱ）求二面角 B AB1 D的大??；3（Ⅲ）求異面直線 AB1與BE的距離。練習(xí)：1、在正四面體 S ABC中，棱長(zhǎng)為a，E,Ｆ分別為SA和BC的中點(diǎn)，求異面直線 BE和SF所成角的余弦值．2、在邊長(zhǎng)為１的菱形 ABCD中， ABC 60，將菱形沿對(duì)角線 AC折起，使折起后 BD＝１，求二面角 B AC D的余弦值．3、在直三棱柱ABCA1BC11中，A90，O,O1,G分別為BC,BC11,AA1的中點(diǎn)，且ABACAA12．（1）、求O到面ACB的距離；（2）1112（2）、求BC到面GBC26）11的距離．（34、如圖，在三棱椎P-ABC中，PA平面ABC，BAC90,D，E，F(xiàn)分別是棱AB、BC、CP的中點(diǎn)，AB=AC=1，PA=2，（Ⅰ）求直線PA與平面DEF所成角的大?。唬á颍┣簏c(diǎn)P到平面DEF的距離。5、如圖，直三棱ABC-A1B1C1中，∠