空間中的位置關(guān)系-平行與垂直

第五講空間中的位置關(guān)系—平行與垂直異面直線及平行關(guān)系1(異面直線所成角).點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PAAB，則PB與AC所成的角是A．60B．90C．45D．30A1C1DB1變式必做1：直三棱柱ABC－A1B1C1的底面為等腰直角三角形ABC，∠C＝900，且FACBCAA1a,則AB1與BC1所成角為（）ACEBA.300B.450C.600D.900變式必做2：設(shè)線段AB，CD是夾在兩相距為1的平行平面α，β間的兩線段且AB⊥CD，若AB3,則CD的取值范圍________.變式必做3:設(shè)線段AB，CD是夾在兩平行平面α，β間的兩異面線段，點(diǎn)A,C,B,D．若M,N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則有（）A．|MN|1(|AC||BD|)B．|MN|1(|AC||BD|)22C．|MN|1(|AC||BD|)D．|MN|≤1(|AC||BD|)222（異面直線的判定）。正方體的共 12條棱中，其中是異面直線的有 _______對(duì)。變式必做1：已知異面直線a，b成60角，A為空間中一點(diǎn)，則過A與a，b都成45角的直線（）A．有且只有一條B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有且只有四條變式必做2：已知異面直線a，b成60角，A為空間中一點(diǎn)，則過A與a，b都成600角的直線（）A．有且只有一條B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有且只有四條3（位置關(guān)系的判定，方法是固定一些量，變換或旋轉(zhuǎn)一些量，看原來位置關(guān)系是否滿足） ．(1)已知 m，n表示兩條不同直線， α表示平面．下列說法正確的是 ( )A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α1(2)如圖，矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ為邊ＡＢ的中點(diǎn)，將△ＡＤＥ沿直線ＤＥ翻轉(zhuǎn)成△Ａ １ＤＥ。若Ｍ為線段Ａ１Ｃ的中點(diǎn)，則在其翻轉(zhuǎn)過程中，正確的說法是 ______。①|(zhì)ＢＭ|是定值；②點(diǎn)Ｍ在圓周上運(yùn)動(dòng)；③一定存在某個(gè)位置，使得ＤＥ⊥Ａ１Ｃ；④ＭＢ//面Ａ１ＤＥ變式必做2．將一個(gè)真命題“平面”換成“直線”，“直線”換成“平面”后得到一個(gè)新命題仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”。給出下列四個(gè)命題：①垂直于同一平面的兩直線平行；②垂直于同一平面的兩平面平行；③平行于同一直線的兩直線平行；④平行于同一平面的兩直線平行。其中是“可換命題”的是 ______。4（幾何體內(nèi)的位置關(guān)系的確定，充分考慮幾何體的性質(zhì)）.已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，E,F,G,,H分別是所在棱的中點(diǎn)，從這四個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)所決定的直線中，與平面ACD1平行的有____條。設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，P在正方形BB1C1C內(nèi)，直線A1P//面ACD1，則P點(diǎn)的規(guī)跡長(zhǎng)度____。變式必做1．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F,,M分別是AB,AD,AA1的中點(diǎn)，又P,Q分別在線段A1B1,A1D1上，且A1P=A1Q=x(0x1)，設(shè)平面MEF與平面MPQ交于直線l，現(xiàn)有下列結(jié)論：①l//平面ABCD；②l⊥AC；③l與平面BCC1B1不垂直；④當(dāng)x變化時(shí)，l不是定直線。其中不成立的結(jié)論是______。變式必做2．長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，已知二面角A1BDA的大小為π，若空間有一條直線l與直線61π，則直線l與平面14π5πB。[ππ5ππD。[0,5πA。[,],]C。[,]]121212212212變式必做 3．在正方體 ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面BED1交棱AA1于點(diǎn)F．給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)E，使得A1C1//平面BED1F；②存在點(diǎn) E，使得B1D 平面BED1F；2③對(duì)于任意的點(diǎn) E，平面A1C1D 平面BED1F；④對(duì)于任意的點(diǎn) E，四棱錐B1 BED1F的體積均不變.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ___________．5（按比例找平行關(guān)系（線線平行則線面平行））(1)如圖，底面是菱形的的四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E在PD上且PE:ED=2:1，F(xiàn)是棱PC上一點(diǎn)，若BF//平面AEC，則PF:FC=()A.1C.22B.1D.23(方法：見分點(diǎn)找分點(diǎn)，分點(diǎn)生成平行線，異面夾角就出現(xiàn)（各種關(guān)系就出現(xiàn)） )(2). 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD,AD//BC,AD ⊥DC,AD=DC=PA=2,BC=4.E 為PA的中點(diǎn)，M是棱BC上一點(diǎn)。①當(dāng)BM為何值時(shí)，有 EM//平面PCD。②在①的條件下，求點(diǎn) P到平面DEM的距離。變式必做1：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，ADDCCBa，ABC60，平面ACFE平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AEa，點(diǎn)M在線段EF上．（1）求證：BC平面ACFE；MFE（2）當(dāng)EM為何值時(shí)，AM∥平面BDF？寫出結(jié)論，并加以證明．DCBA變式必做 2：在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形， BAD 60，PA 面ABCD，PA 3，E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點(diǎn).1）求證：BF//面PDE；（2）求二面角 D PE A的大小的正弦值；（3）求點(diǎn)C到面PDE的距離.

PFDAC E B34（面面平行及面面平行的應(yīng)用）(1).由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示,四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E平面ABCD,（Ⅰ）證明： AO∥平面B1CD1;1（Ⅱ）設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明：平面 A1EM 平面B1CD1.(2).如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為3的菱形， ABC 60.PA 面ABCD，且PA 3.E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)在棱PA上，且AF 1.P（Ⅰ）求證： CE//面BDF；E（Ⅱ）求三棱錐 P BDF的體積.

FADB C變式必做 1：在如圖所示的幾何體中， D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB.I）已知AB=BC，AE=EC.求證：AC⊥FB；II）已知G,H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證：GH∥平面ABC.變式必做 2：如圖斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn)。①當(dāng)A1D1為何值時(shí)，BC1//平面AB1D1?D1C1②若平面 BC1D//平面AB1D1,求AD的值。DC4直線、平面垂直及折疊存在性問題1(固定一些量，旋轉(zhuǎn)或變換一些量看原來的位置關(guān)系是否滿足 )。已知l，m，n為三條不同直線， ， ，為三個(gè)不同平面，則下列判斷正確的是（ ）A.若m//，n//，則m//nB.若m，n，lm，ln，則lC.若l，m//，m//，則m//lD.若m，n//，，則mn變式必做：設(shè)a,b,c是空間三條直線，,是空間兩個(gè)平面，則下列命題中，逆命題不正確的是()．．．．A.當(dāng)c時(shí)，若c，則//B.當(dāng)b,a且c是a在內(nèi)的射影時(shí)，若bc，則abC.當(dāng)b時(shí)，若b，則D.當(dāng)b且c時(shí)，若c//，則b//c2（幾何體內(nèi)的垂直關(guān)系及度量）。(1)如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AFPB;②EF⊥PB;③AF⊥PC;④AE⊥面PBC.其中正確的結(jié)論序號(hào)______。(2)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別為面A1B1C1D1和線段B1C上的動(dòng)點(diǎn)，則PEQ周長(zhǎng)的最小值為（）A．22B．10C．11D．23變式必做 1：一個(gè)直徑 AB 2的半圓，過A作這個(gè)圓所在平面的垂線， 在垂線上取一點(diǎn)S，使AS AB，C為半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， N,M分別為A在SC,SB上的射影.當(dāng)三棱錐S AMN的體積最大時(shí)， BAC的余弦值為____.變式必做2：如圖正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CF____時(shí)，D1E⊥平面AB1F.FD變式必做3：三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱AA1與底邊AB,AC所成的角均為60.若頂點(diǎn)A1在下底面的投影5恰在底邊BC上，則該三棱柱的體積為 .3（線面角的求法）。正方形 ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，把 AE，AF，EF折起成一個(gè)四面體，使C，B，D三點(diǎn)重合，記為P，則直線PA與平面AEF所成角的正弦值是（）.12A.B.3312C.D.44D1C1變式必做1：如圖，在正方體ABCD1111中，點(diǎn)O為線段BDABCD

的中A1B1點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成角為 ，則sin

的

P取值范圍是( )

D

CO36,1]62222，A．[,1]B．[C．[,]D．[1]33333

A B變式必做2：已知正ABC的頂點(diǎn)A在平面上，頂點(diǎn)B,C在平面的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若ABC在平面上的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線AD與平面所成角的正弦值的范圍是（）A.[6,1)B.[6,3)332C.[1,3)D.(1,6]22234(折疊問題，注意哪些量不變才是關(guān)鍵點(diǎn) ).在Rt△ABC中，已知D是斜邊AB上任意一點(diǎn)（如圖①），沿直線CD將△ABC折成直二面角 B CD A（如圖②）。若折疊后A,B兩點(diǎn)間的距離為 d，則下列說法正確的是（ ）A．當(dāng)CD為Rt△ABC的中線時(shí)， d取得最小值B．當(dāng)CD為Rt△ABC的角平分線線時(shí)， d取得最小值C．當(dāng)CD為Rt△ABC的高線時(shí)， d取得最小值D．當(dāng)D在Rt△ABC的斜邊AB上移動(dòng)時(shí)，d為定值變式必做1：6如圖，矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ為邊ＡＢ的中點(diǎn)，將△ＡＤＥ沿直線ＤＥ翻轉(zhuǎn)成△Ａ１ＤＥ。若Ｍ為線段Ａ１Ｃ的中點(diǎn)，則在其翻轉(zhuǎn)過程中，正確的說法是______。|ＢＭ|是定值；②點(diǎn)Ｍ在圓周上運(yùn)動(dòng)；③一定存在某個(gè)位置，使得ＤＥ⊥Ａ１Ｃ；④ＭＢ//面Ａ１ＤＥ變式必做且PA

2：已知平面四邊形 ABCP中，CD 2AB 4．將此平面四邊形

D為PA的中點(diǎn)，PA AB，ABCP沿CD折成直二面角 P

CD/DC

/ABB

，，連接

PA、PB，設(shè)

PB

中點(diǎn)為

E．（I）證明：平面 PBD 平面PBC；（II）在線段BD上是否存在一點(diǎn) F，使得EF 平面PBC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn) F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．（III）求直線 AB與平面PBC所成角的正弦值．PPD C ED CAA B B5（體積轉(zhuǎn)化與解答題型） 。如圖，四棱錐

P

ABCD

中，底面

ABCD

是矩形，

PA

底面

ABCD

，PA

AB

1,AD

3，點(diǎn)

F

是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)

E在邊

BC

上移動(dòng)．（1）當(dāng)點(diǎn)

E

為

BC

的中點(diǎn)時(shí)，試判斷

EF

與平面

PAC

的位置關(guān)系，并說明理由；（2）證明：無論點(diǎn)

E在BC

邊的何處，都有

PE

AF

；（3）求三棱錐

P

AEF

體積的最大值．O變式必做：如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱OB底面ABCD，且側(cè)