巖石強(qiáng)度理論

上節(jié)內(nèi)容——巖石的強(qiáng)度性質(zhì)巖塊強(qiáng)度：巖塊抵抗外力破壞的能力。巖塊破壞方式脆性破壞塑性破壞(延性破壞）拉破壞剪切破壞

一、單軸抗壓強(qiáng)度二、單軸抗拉強(qiáng)度三、剪切強(qiáng)度四、三軸壓縮強(qiáng)度受力狀態(tài)2.8巖石強(qiáng)度理論2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則2.8.2莫爾強(qiáng)度理論2.8.3格里菲斯強(qiáng)度理論2.8.4

Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則的三維推廣（Murrell強(qiáng)度準(zhǔn)則）2.8.5德魯克一普拉格準(zhǔn)則主要內(nèi)容材料力學(xué)中強(qiáng)度理論：關(guān)于材料強(qiáng)度破壞決定性因素的各種假說——強(qiáng)度理論解釋材料脆性斷裂破壞的強(qiáng)度理論——最大拉應(yīng)力、拉應(yīng)變理論塑性屈服的強(qiáng)度理論——最大剪應(yīng)力、均方根剪應(yīng)力理論由于（巖面）材料的破壞，從微觀顆粒脫離情況而言，不外遠(yuǎn)離、錯開兩種可能，物體破壞只有拉壞和剪壞兩種。由于巖石抗壓不抗拉，材料力學(xué)中第一、二、三、四強(qiáng)度理論不適用。巖石強(qiáng)度理論——指巖石在某應(yīng)力或應(yīng)變條件下產(chǎn)生破壞的判據(jù)

巖體力學(xué)研究對象:巖體，巖體是巖塊和結(jié)構(gòu)面的組合體，其力學(xué)性質(zhì)往往表現(xiàn)為彈性、塑性、粘性或三者之間的組合。

巖體基本力學(xué)問題求解基本單元:巖體微分單元體，其基本求解過程如下：2.8巖石強(qiáng)度理論巖體本構(gòu)關(guān)系:指巖體在外力作用下應(yīng)力或應(yīng)力速率與其應(yīng)變或應(yīng)變速率的關(guān)系。依據(jù)適合于巖體的強(qiáng)度理論，判斷巖體的破壞及其破壞形式。力的平衡關(guān)系（平衡方程）位移和應(yīng)變的關(guān)系（幾何方程）應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系（物理方程或本構(gòu)方程）應(yīng)力場位移場邊界條件+=

巖石的強(qiáng)度是指巖石抵抗破壞的能力。巖石材料破壞的形式:斷裂破壞、流動破壞（出現(xiàn)顯著的塑性變形或流動現(xiàn)象）。斷裂破壞發(fā)生于應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限，流動破壞發(fā)生于應(yīng)力達(dá)到屈服極限。強(qiáng)度準(zhǔn)則：通過試驗(yàn)以及強(qiáng)度理論。

巖體的力學(xué)性質(zhì)可分為變形性質(zhì)和強(qiáng)度性質(zhì)兩類，變形性質(zhì)主要通過本構(gòu)關(guān)系來反映，強(qiáng)度性質(zhì)主要通過強(qiáng)度準(zhǔn)則來反映。2.8巖石強(qiáng)度理論巖石強(qiáng)度理論：研究巖石在一定的假說條件下在各種應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則的理論。強(qiáng)度準(zhǔn)則：又稱破壞判據(jù)，巖石在極限應(yīng)力狀態(tài)下（破壞條件）的應(yīng)力狀態(tài)和巖石強(qiáng)度參數(shù)之間的關(guān)系。可表示為極限應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力間的關(guān)系方程，即:或處于極限平衡狀態(tài)截面上的剪應(yīng)力和正應(yīng)力間的關(guān)系方程：2.8巖石強(qiáng)度理論

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則巖石的破壞：剪切破壞。巖石的強(qiáng)度：抗摩擦強(qiáng)度等于巖石本身抗剪切摩擦的粘結(jié)力和剪切面上法向力產(chǎn)生的摩擦力。平面中的剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則（圖7-6）為：或（7-27）

圖7-6σ－τ坐標(biāo)下庫侖準(zhǔn)則2.8巖石強(qiáng)度理論固體內(nèi)任一點(diǎn)發(fā)生剪切破壞時，破壞面上的剪應(yīng)力(τ)應(yīng)等于或大于材料本身的抗切強(qiáng)度(C)和作用于該面上由法向應(yīng)力引起的摩擦阻力(σtgφ)之和。若規(guī)定最大主應(yīng)力方向與剪切面（指其法線方向）間的夾角為（稱為巖石破斷角），則由圖7-6可得：故：若用平均主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力表示，上式變成：

其中：

(7-29)

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則

由圖7-6可得：并可改寫為：若取，則極限應(yīng)力為巖石單軸抗壓強(qiáng)度，即有：利用三角恒等式，有：（7-31）

(7-30)剪切破斷角關(guān)系式可得：將方程（7-31）和（7-32）代入方程（7－30）得：(7-32)

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則圖7-7σ1－σ3坐標(biāo)系的庫侖準(zhǔn)則坐標(biāo)系統(tǒng)中庫侖準(zhǔn)則的完整強(qiáng)度曲線。如圖7-6所示，極限應(yīng)力條件下剪切面上正應(yīng)力和剪力用主應(yīng)力表示為：(7-34)

由方程（7-27）式并取，得：

(7-35)

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則

根據(jù)方程（7-27）式，如果方程（7-36）式小于，破壞不會發(fā)生；如果它等于（或大于），則發(fā)生破壞。令方程（7-35）式對求導(dǎo)可得由此給出的最大值，即(7-36)

則方程（7-36）式變?yōu)椋?-37）

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則上式表示（圖7-8)的直線交于，且：交軸于。注意：并不是單軸抗拉強(qiáng)度圖7-8σ1－σ3坐標(biāo)系中的庫侖準(zhǔn)則的完整強(qiáng)度曲線

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則由：有：或：由于，故若，則有：方程（7-37）式與（7-38）式聯(lián)立求解可得：

(7-38)

巖石發(fā)生破裂（或處于極限平衡）時取值的下限確定：考慮到剪切面（圖7-6）上的正應(yīng)力的條件，這樣在值條件下，由方程（7-34）式得：

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則圖7-8中直線AP代表的有效取值范圍。為負(fù)值（拉應(yīng)力），由實(shí)驗(yàn)知，可能會在垂直于平面內(nèi)發(fā)生張性破裂。特別在單軸拉伸中，當(dāng)拉應(yīng)力值達(dá)到巖石抗拉強(qiáng)度時，巖石發(fā)生張性斷裂?；趲靵鰷?zhǔn)則和試驗(yàn)結(jié)果分析，由圖7-8給出的簡單而有用的準(zhǔn)則可以用方程表示為：圖7-8σ1－σ3坐標(biāo)系中的庫侖準(zhǔn)則的完整強(qiáng)度曲線(7-39)

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則

在此庫侖準(zhǔn)則條件下，巖石可能發(fā)生以下四種方式的破壞。

(1)當(dāng)時，巖石屬單軸拉伸破裂；

(2)當(dāng)時，巖石屬雙軸拉伸破裂；

(3)當(dāng)時，巖石屬單軸壓縮破裂；

(4)當(dāng)時，巖石屬雙軸壓縮破裂。另外，由圖7－8

中強(qiáng)度曲線上A點(diǎn)坐標(biāo)可得，直線AP的傾角為：在主應(yīng)力坐標(biāo)平面內(nèi)的庫侖準(zhǔn)則可以利用單軸抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度來確定。

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則庫侖準(zhǔn)則主要公式：

2.8.1庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則按照庫侖-納維爾理論，巖石的強(qiáng)度包絡(luò)線是一條斜直線，破壞面與最小主平面的夾角α恒等于45－φ/2。庫侖-納維爾判據(jù)適用于堅(jiān)硬、較堅(jiān)硬的脆性巖石產(chǎn)生剪切破壞的情況，而不適用于拉破壞的情況。該判據(jù)沒有考慮中間主應(yīng)力σ2的影響。2.8.2莫爾強(qiáng)度理論2.8巖石強(qiáng)度理論莫爾（Mohr，1900年）把庫侖準(zhǔn)則推廣到考慮三向應(yīng)力狀態(tài)。最主要的貢獻(xiàn)是認(rèn)識到材料性質(zhì)本身乃是應(yīng)力的函數(shù)。他總結(jié)指出“到極限狀態(tài)時，滑動平面上的剪應(yīng)力達(dá)到一個取決于正應(yīng)力與材料性質(zhì)的最大值”，并可用下列函數(shù)關(guān)系表示：

(7-40)式在坐標(biāo)系中為一條對稱于軸的曲線，它可通過試驗(yàn)方法求得，即由對應(yīng)于各種應(yīng)力狀態(tài)（單軸拉伸、單軸壓縮及三軸壓縮）下的破壞莫爾應(yīng)力圓包絡(luò)線，即各破壞莫爾圓的外公切線（圖7-9)

，稱為莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線給定。(7-40)

莫爾包絡(luò)線的具體表達(dá)式，可根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果用擬合法求得。包絡(luò)線形式有：斜直線型、二次拋物線型、雙曲線型等等。斜直線型與庫侖準(zhǔn)則基本一致，庫侖準(zhǔn)則是莫爾準(zhǔn)則的一個特例。主要介紹二次拋物線和雙曲線型的判據(jù)表達(dá)式。圖7-9完整巖石的莫爾強(qiáng)度曲線2.8.2莫爾強(qiáng)度理論

1、二次拋物線型巖性較堅(jiān)硬至較弱的巖石。式中：為巖石的單軸抗拉強(qiáng)度；n為待定系數(shù)。利用圖7-10中的關(guān)系，有：1.雙向壓縮應(yīng)力圓，2.雙向拉壓應(yīng)力圓，3..雙向拉伸應(yīng)力圓圖7-10二次拋物型強(qiáng)度包絡(luò)線

(7-41)

(7-42)

2.8.2莫爾強(qiáng)度理論其中：消去式中的，得二次拋物線型包絡(luò)線的主應(yīng)力表達(dá)式為：單軸壓縮條件下，有：解得：

(7-43)

（7-44）

（7-45）

利用（7-41）式（7-44）式和（7-46）式可判斷巖石試件是否破壞。（7-46）

2.8.2莫爾強(qiáng)度理論

2、雙曲線型砂巖、灰?guī)r、花崗巖等堅(jiān)硬、較堅(jiān)硬巖石的強(qiáng)度包絡(luò)線近似于雙曲線（圖7-11)，其表達(dá)式為：式中，φ1為包絡(luò)線漸進(jìn)線的傾角，（7-47）

圖7-11雙曲線型強(qiáng)度包絡(luò)線2.8.2莫爾強(qiáng)度理論莫爾強(qiáng)度理論實(shí)質(zhì):剪應(yīng)力強(qiáng)度理論。優(yōu)點(diǎn)：

(1)適用塑性巖石及脆性巖石的剪切破壞；

(2)反映巖石抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)小于抗壓強(qiáng)度特性;(3)能解釋巖石在三向等拉時破壞，在三向等壓時不會破壞（曲線在受壓區(qū)不閉合）的特點(diǎn)。

缺點(diǎn):(1)忽略了中間主應(yīng)力的影響，與試驗(yàn)結(jié)果有一定的出入。

(2)該判據(jù)只適用于剪破壞，受拉區(qū)的適用性還值得進(jìn)一步探討，不適用于膨脹或蠕變破壞。2.8.2莫爾強(qiáng)度理論2.8.3格里菲斯強(qiáng)度理論2.8巖石強(qiáng)度理論格里菲斯（Griffith，1920年）認(rèn)為:脆性材料斷裂的起因是分布在材料中的微小裂紋尖端有拉應(yīng)力集中（這種裂紋稱之為Griffith裂紋）。格里菲斯確定斷裂擴(kuò)展的能量不穩(wěn)定原理認(rèn)為:當(dāng)作用力的勢能始終保持不變時，裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則可寫為：式中：C為裂紋長度參數(shù)；Wd為裂紋表面的表面能；We為儲存在裂紋周圍的彈性應(yīng)變能。式中：a為裂紋表面單位面積的表面能；E為非破裂材料的彈性模量。圖7-12平面壓縮的Griffith裂紋模型圖7-13Griffith強(qiáng)度曲線

1921年，Griffith把該理論用于初始長度為2C的橢圓形裂紋的擴(kuò)展研究中，并設(shè)裂紋垂直于作用在單位厚板上的均勻單軸拉伸應(yīng)力σ的加載方向。當(dāng)裂紋擴(kuò)展時滿足下列條件：2.8.3格里菲斯強(qiáng)度理論雙向壓縮下裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則（Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則）:

條件：1)不考慮摩擦對壓縮下閉合裂紋的影響；2)假定橢圓裂紋將從最大拉應(yīng)力集中點(diǎn)開始擴(kuò)展的情況下（圖7.12中的P點(diǎn)）。圖7-12平面壓縮的Griffith裂紋模型圖7-13Griffith強(qiáng)度曲線（7-50）

2.8.3格里菲斯強(qiáng)度理論結(jié)論：

(1)材料的單軸抗壓強(qiáng)度是抗拉強(qiáng)度的8倍，其反映了脆性材料的基本力學(xué)特征。

(2)材料發(fā)生斷裂時，可能處于各種應(yīng)力狀態(tài)。不論何種應(yīng)力狀態(tài)，材料都是因裂紋尖端附近達(dá)到極限拉應(yīng)力而斷裂開始擴(kuò)展，即材料的破壞機(jī)理是拉伸破壞。新裂紋與最大主應(yīng)力方向斜交，而且擴(kuò)展方向會最終趨于與最大主應(yīng)力平行。

Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則只適用于研究脆性巖石的破壞。

Mohr-coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的適用性一般的巖石材料。2.8.3格里菲斯強(qiáng)度理論7.3.4

Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則的三維推廣（Murrell強(qiáng)度準(zhǔn)則）7.3巖石強(qiáng)度理論Murrell將Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則從二維推廣到三維，得到強(qiáng)度準(zhǔn)則特點(diǎn)：1)形式簡單，能夠考慮中間主應(yīng)力的影響，并且將單軸壓拉強(qiáng)度比提高到12。2)Murrell準(zhǔn)則在主應(yīng)力之和小于3時應(yīng)為圓錐面，壓拉強(qiáng)度比仍然是8。3)該式并不能全部用來表示巖石的強(qiáng)度準(zhǔn)則，否則就得到3個主應(yīng)力為零時材料也會屈服破壞這樣的結(jié)論。因此必須考慮拉伸破壞時的強(qiáng)度準(zhǔn)則。平面Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則的幾何性質(zhì)是，以σ1＝σ3為對稱軸的拋物線，與直線σ1＝－和σ3＝－相切。在三維應(yīng)力情形，假設(shè)強(qiáng)度準(zhǔn)則具有類似的幾何性質(zhì)：以σ1＝σ2＝σ3為對稱軸的旋轉(zhuǎn)拋物面，與直線σ1＝σ2＝－，σ2＝σ3＝－和σ3＝σ1＝－相切。

(7-51)

子午面σ2＝σ3上，強(qiáng)度準(zhǔn)則形狀如圖7-14。圖7-14

Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則的三維推廣2.8.4Murrell強(qiáng)度準(zhǔn)則主應(yīng)力空間點(diǎn)P（－，－，－）在Oxy坐標(biāo)系的位置是（0，）。過該點(diǎn)的拋物線切線σ2＝σ3＝－就是圖中的PA，與主應(yīng)力σ1軸平行。切點(diǎn)A（x，y）滿足：主應(yīng)力σ1軸與對稱軸ON的夾角是arccos（），與其垂直的方向是σ2＝σ3。設(shè)對稱軸的坐標(biāo)為y，垂直于對稱軸方向坐標(biāo)為x，則拋物面的方程為：而：解切點(diǎn)坐標(biāo)

(7-52)

2.8.4Murrell強(qiáng)度準(zhǔn)則x，y用應(yīng)力不變量的式表達(dá)，可得到Murrell準(zhǔn)則即公式(7-51)。其成立范圍只能是切點(diǎn)以外的部分（圖中實(shí)線），即

。而兩切點(diǎn)之間并不是材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則。用主應(yīng)力表示，則分界面是：σ1+σ2+σ3≥3顯然，σ1＋σ2＋σ3＜3時強(qiáng)度準(zhǔn)則是一個以切線PA為母線的圓錐面，其方程是：(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=2(σ1+σ2+σ3+3)2

注意：1)雙向等拉時的強(qiáng)度是，即圖中點(diǎn)；而由于切線PB與坐標(biāo)軸不平行，單向拉伸的強(qiáng)度是－3／2，即圖中R點(diǎn)。但壓拉強(qiáng)度比仍然是8。2)Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則三維推廣時，不假設(shè)旋轉(zhuǎn)拋物面與平面σ1＝－

，σ2＝－

和σ3＝－

相切，否則旋轉(zhuǎn)拋物面方程不合實(shí)際。2.8.4Murrell強(qiáng)度準(zhǔn)則7.3巖石強(qiáng)度理論Coulom準(zhǔn)則和

Mohr準(zhǔn)則機(jī)理有相同之處，可以統(tǒng)稱為Mohr-CUulom(C-M）準(zhǔn)則。體現(xiàn)了巖土材料壓剪破壞的實(shí)質(zhì)；沒有反映中間主應(yīng)力的影響，不能解釋巖土材料在靜水壓力下也能屈服或破壞的現(xiàn)象。Druckre-Prager(德魯克一普拉格準(zhǔn)則)準(zhǔn)則，是在C-M準(zhǔn)則和塑性力學(xué)中著名的Mises準(zhǔn)則基礎(chǔ)上的擴(kuò)展和推廣而得的，表達(dá)式為：

其中：為應(yīng)力第一不變量；

為應(yīng)力偏量第二不變量；

Drucker-Prager準(zhǔn)則計(jì)入了中間主應(yīng)力的影響，又考慮了靜水壓力的作用。第二章習(xí)題選擇題1、在巖石單向抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)中，巖石試件高與直徑的比值h/d和試件端面與承壓板之間的磨擦力在下列哪種組合下，最容易使試件呈現(xiàn)錐形破裂。（）（A）h/d較大，磨擦力很小（B）h/d較小，磨擦力很大（C）h/d的值和磨擦力的值都較大（D）h/d的值和磨擦力的值都較小2、巖石的彈性模量一般指（）。（A）彈性變形曲線的斜率（B）割線模量（C）切線模量（D）割線模量、切線模量及平均模量中的任一種3、巖石的割線模量和切線模量計(jì)算時的應(yīng)力水平為（）。（A）(B)（C）4、由于巖石的抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)大于它的抗拉強(qiáng)度，所以巖石屬于（）。（A）脆性材料（B）延性材料（C）堅(jiān)硬材料（D）脆性材料，但圍壓較大時，會呈現(xiàn)延性特征5、剪脹（或擴(kuò)容）表示（）。（A）巖石體積不斷減少的現(xiàn)象（B）裂隙逐漸閉合的一種現(xiàn)象（C）裂隙逐漸漲開的一種現(xiàn)象（D）巖石的體積隨壓應(yīng)力的增大逐漸增大的現(xiàn)象6、剪脹（或擴(kuò)容）發(fā)生的原因是由于（）（A）巖石內(nèi)部裂隙閉合引起的（B）壓應(yīng)力過大引起的（C）巖石的強(qiáng)度大小引起的（D）巖石內(nèi)部裂隙逐漸張開的貫通引起的7、巖石的抗壓強(qiáng)度隨著圍壓的增大（）。（A）而增大（B）而減?。–）保持不變（D）會發(fā)生突變8、劈裂試驗(yàn)得出的巖石強(qiáng)度表示巖石的（）。（A）抗壓強(qiáng)度（B）抗拉強(qiáng)度（C）單軸抗拉強(qiáng)度（D）剪切強(qiáng)度9、格里菲斯強(qiáng)度準(zhǔn)則不能作為巖石的宏觀破壞準(zhǔn)則的原因是（）。（A）它不是針對巖石材料的破壞準(zhǔn)則（B）它認(rèn)為材料的破壞是由于拉應(yīng)力所致（C）它沒有考慮巖石的非均質(zhì)特征（D）它沒有考慮巖石中的大量生長裂隙及其相互作用10、巖石的吸水率是指（）。（A）巖石試件吸入水的重量和巖石天然重量之比（B）巖石試件吸入水的重量和巖石干重量之比（C）巖石試件吸入水的重量和巖石飽和重量之比（D）巖石試件天然重量和巖石飽和重量之比11、已知某巖石飽水狀態(tài)與干燥狀態(tài)的抗壓強(qiáng)度之比為0.72，則該巖石（）。（A）軟化性強(qiáng)，工程地質(zhì)性質(zhì)不良（B）軟化性強(qiáng)，工程地質(zhì)性質(zhì)較好（C）軟化性弱，工程地質(zhì)性質(zhì)較好（D）軟化性弱，工程地質(zhì)性質(zhì)不良12、當(dāng)巖石處于三向應(yīng)力狀態(tài)且比較大的時候，一般應(yīng)將巖石考慮為（）。（A）彈性體（B）塑性體（C）彈塑性體（D）完全彈性體13、在巖石抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)中，若加荷速率增大，則巖石的抗壓強(qiáng)度（）。（A）增大（B）減?。–）不變（D）無法判斷14、按照庫侖—莫爾強(qiáng)度理論，若巖石強(qiáng)度曲線是一條直線，則巖石破壞時破裂面與最大主應(yīng)力作用方向的夾角為（）。（A）45°（B）（C）（D）60°15、在巖石的含水率試驗(yàn)中，試件烘干時應(yīng)將溫度控制在（）。（A）95~105℃（B）100~105℃（C）100~110℃（D）105~110℃16、按照格理菲斯強(qiáng)度理論，脆性巖體破壞主要原因是（）。（A）受拉破壞（B）受壓破壞（C）彎曲破壞（D）剪切破壞17、在缺乏試驗(yàn)資料時，一般取巖石抗拉強(qiáng)度為抗壓強(qiáng)度的（）（A）1/2~1/5（B）1/10~1/50（C）2~5倍（D）10~50倍

18、某巖石試件相對密度ds=2.60，孔隙比e=0.05，則該巖石