第四章 控制策略

第4章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的控制策略4.1

數(shù)字PID控制4.2

串級(jí)控制4.3

大林（Dahlin）算法4.4

數(shù)字控制器設(shè)計(jì)方法

連續(xù)生產(chǎn)過程DDC控制的主要任務(wù):設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字調(diào)節(jié)器，其方法是：①用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)模擬調(diào)節(jié)器，然后在DDC系統(tǒng)中，用數(shù)字方法對(duì)PID進(jìn)行數(shù)字模擬；②用采樣控制理論進(jìn)行數(shù)字直接分析和設(shè)計(jì)（離散化系統(tǒng)）。方法系統(tǒng)分類連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)輸入量與輸出量之關(guān)系微分方程差分方程數(shù)學(xué)工具拉氏變換Z

變換使用函數(shù)傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)現(xiàn)代控制理論狀態(tài)方程離散時(shí)間狀態(tài)方程表4-1

控制系統(tǒng)的研究方法

4.1

數(shù)字PID控制

PID

優(yōu)點(diǎn)：

技術(shù)成熟接受程度高

不需要求出數(shù)字模型

控制效果好4.1.1

模擬PID控制器式中u——控制器的輸出；

e(t)——控制器的輸入，一般為

偏差值，即e(t)=y(t)-r(t)；

Kp

——比例系數(shù)；

比例控制器的微分方程為:(4-1)1.比例控制器（P）u(t)

比例調(diào)節(jié)作用的大小，除了與偏差e(t)有關(guān)外，主要取決于比例系數(shù)KP。比例系數(shù)愈大調(diào)節(jié)作用愈強(qiáng)，動(dòng)態(tài)特性也愈好。KP太大時(shí)會(huì)引起自激震蕩。主要缺點(diǎn):存在靜差。

TI——積分時(shí)間常數(shù)。它表示積分速度的大小，TI越大，積分速度越慢，積分作用越弱。2.

比例積分控制器（PI）其積分方程為:

(4-2)

積分作用優(yōu)點(diǎn)：積分作用能消除靜差。

積分作用缺點(diǎn)：動(dòng)作緩慢，不能及時(shí)克服擾動(dòng)的影響，致使被調(diào)參數(shù)的動(dòng)態(tài)偏差增大，調(diào)節(jié)過程增長(zhǎng)。

對(duì)于PI調(diào)節(jié)器當(dāng)有一階躍作用時(shí)，開始瞬時(shí)有一比例輸出uI。隨后在同一方向，在uI的基礎(chǔ)上輸出值不斷增大，這就是積分作用。

如果把比例和積分兩種作用合起來，就構(gòu)成PI調(diào)節(jié)器，其調(diào)節(jié)規(guī)律為：(4-3)

積分作用具有飽和作用，經(jīng)過一段時(shí)間以后，PI調(diào)節(jié)器的輸出趨于穩(wěn)定值KIKPe(t)，其中系數(shù)K1KP是時(shí)間t→∞時(shí)的增益，稱之為靜態(tài)增益，用K（∞）=K1KP表示。PI控制器既克服了單純比例控制器有靜差存在的缺點(diǎn)，又避免了積分控制器響應(yīng)慢的缺點(diǎn)?？刂茖?duì)象具有較大的慣性時(shí)，用PI控制器就無法得到很好的調(diào)節(jié)品質(zhì)。

如果在控制器中加入微分作用，使偏差盡快消除。3.比例微分控制器（PD）微分方程為:式中TD

——微分時(shí)間常數(shù)微分作用的特點(diǎn):微分作用不能消除靜差，而只能在偏差剛剛出現(xiàn)的時(shí)刻產(chǎn)生一個(gè)很大的調(diào)節(jié)作用。同積分作用一樣，微分作用一般也不能單獨(dú)使用，需要與比例作用配合使用，構(gòu)成PD控制器。當(dāng)偏差剛出現(xiàn)的瞬間，PD控制器輸出一個(gè)很大的階躍信號(hào)，然后按指數(shù)規(guī)律下降，直至最后微分作用完全消失，變成一個(gè)純比例調(diào)節(jié)。

微分作用的強(qiáng)弱可以通過改變微分時(shí)間常數(shù)TD來進(jìn)行調(diào)節(jié)。理想的PID微分方程為:

(4-5)把比例、積分、微分三種作用組合起來，形成PID控制器PID結(jié)構(gòu)

對(duì)于一個(gè)PID三作用控制器，在階躍信號(hào)作用下，首先是比例和微分作用，使其調(diào)節(jié)作用加強(qiáng)，然后再進(jìn)行積分，直到消除靜差為止。

并非所有系統(tǒng)都需要使用PID調(diào)節(jié)器控制器，在工業(yè)控制系統(tǒng)中，PI、PD調(diào)節(jié)器也常常被人們采用。4.1.2數(shù)字PID控制器控制算法式中：u(t)——控制器的輸出信號(hào)；

e(t)——控制器的偏差信號(hào)，它等于測(cè)量值

與給定值之差；

KP

——控制器的比例系數(shù)；

TI——控制器的積分時(shí)間；

TD

——控制器的微分時(shí)間。1.PID算法的數(shù)字化

由公式(4-5)可知，在模擬調(diào)節(jié)系統(tǒng)中PID算法的模擬表達(dá)式為：(4-6)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，必須把式(4-6)離散化。(4-7)(4-8)(4-6)式中，Δt=T

——采樣周期；

e(n)

——第n次采樣時(shí)的偏差值；

e(n-1)

——第(n-1)次采樣時(shí)的偏差值；

n

——采樣序號(hào)，n=0，1，2……

將式(4-7)和式(4-8)代入式(4-6)，則可得到離散PID表達(dá)式：（4-9）

提供了執(zhí)行機(jī)構(gòu)在第n個(gè)采樣時(shí)刻的位置U（n），其輸出值U（n）與閥門開度的位置一一對(duì)應(yīng)，通常把式(4-9)稱為PID的位置控制算式。根據(jù)推理原理可寫出(n–1)次的PID輸出表達(dá)式：

用式(4-9)減去式(4-10)可得：(4-10)（4-9）（4-9）式中

——積分系數(shù)

由式(4-11)可知，要計(jì)算第n次輸出值U(n)，只需知道U(n-1)，e(n)，e(n-1)，e(n-2)即可。整理后可得：(4-11)——微分系數(shù)

式(4-12)表示第n次輸出的增量ΔU(n)，等于第n次與第n-1次控制器輸出的差值。PID的增量控制式(4-12)

在位置控制算式中，輸出的是執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置，控制算式要對(duì)E(j)進(jìn)行累加；由于輸出全量，計(jì)算機(jī)的任何故障都會(huì)引起U(n)大幅度變化，對(duì)生產(chǎn)不利。（4-9）增量式PID控制算法：例如步進(jìn)電機(jī)作為系統(tǒng)的輸出控制部件。作為一個(gè)積分元件，并兼作輸出保持器，對(duì)計(jì)算機(jī)的輸出增量Δu(k)進(jìn)行累加，實(shí)現(xiàn)了u(k)=∑Δu(k)的作用。在可控硅作為執(zhí)行器或?qū)刂凭纫蟾叩南到y(tǒng)中，應(yīng)當(dāng)采用位置型算法，而在以步進(jìn)電機(jī)或電動(dòng)閥門作執(zhí)行器的系統(tǒng)中，則應(yīng)用增量式算法。

例題：設(shè)有一個(gè)溫度控制系統(tǒng)，溫度測(cè)量范圍是0~600℃，溫度采用PID控制，控制指標(biāo)是(450±2)℃。已知比例系數(shù)KP=4，積分時(shí)間TI=60s，微分時(shí)間TD=15s，采樣周期T=5s。當(dāng)測(cè)量值c(n)=448,c(n-1)=449,c(n-2)=452時(shí)，計(jì)算增量輸出Δu(n),若u(n-1)=1860,計(jì)算第n次閥位輸出u(n).解：將題中給出的參數(shù)代入有關(guān)公式中計(jì)算得：由題知，給定值x=450中,將題中給出的測(cè)量值代入計(jì)算得：代入式4-12得：位置型和增量型PID程序設(shè)計(jì)。式中

——積分系數(shù)

——微分系數(shù)(4-13)2.PID算法程序設(shè)計(jì)(1)位置型PID算法的程序設(shè)計(jì)根據(jù)式(4-9)可寫出第k

次采樣PID表達(dá)式為:(4-12)4-11（4-9）由于KP，KI，KD有可能是小數(shù)，E(k)也可能是負(fù)數(shù)，編程時(shí)通常采用如下處理方法：①將小數(shù)或混合小數(shù)化為整數(shù);②采用16位有符號(hào)指令運(yùn)算。為了計(jì)算方便設(shè):則式(4-13)可寫為:(4-14)(4-13)①將小數(shù)或混合小數(shù)化為整數(shù)運(yùn)算前通過乘以2N將其化為整數(shù)，然后把運(yùn)算結(jié)果再乘以2-N。例如，設(shè)KP=3.5，將其擴(kuò)大28取整數(shù)，則KP=896=380H，編程時(shí)可將其定義為符號(hào)變量，即KPEQU380H。②采用16位有符號(hào)指令運(yùn)算

負(fù)數(shù)應(yīng)以補(bǔ)碼形式存放，如KP=-3.5，將其擴(kuò)大28取整數(shù)，則KP=-896=FC80H，定義為符號(hào)變量為KPEQU0FC80H或

KPEQU-896即可。

根據(jù)式（4-14）編寫的位置型PID程序如下：DATASEGMENTUREQU0500H;設(shè)定值=80HKPEQU0383H;KP=3.5KIEQU0040H;KI=0.25KDEQU0000H;KD=0SAMPDW?;定義A/D采樣值

E0DW0;定義E(k)E1DW0;定義E(k-1)UPKDW2DUP(0);定義UP(K)UIK1DW2DUP(0);定義UI(K-1)UKDW2DUP(0);定義U(k)DATAENDSCODESEGMENTASSUMECS:CODE,DS:DATASTARTPEOCMOVAX,DATAMOVDS,AX(4-14)

PID:MOVAX,UR;取設(shè)定值

MOVBX,SAMP;取采樣值

SUBAX,BX;計(jì)算E(K)MOVE0,AX;保存E(k)MOVBX,KP;計(jì)算UP(k)=KP×E(k)IMULBXMOVUPK,AXMOVDS:UPK+2,DX;存UP(k)MOVAX,E0;計(jì)算KI×E(k)MOVBX,KIIMULBXADDUIK1,AX;計(jì)算UI(k)=UI(k-1)+KI×E(k)ADCDS:UIK1+2,DXMOVAX,E0;計(jì)算UD(k)=KD(E(k)-E(k-1))MOVBX,E1SUBAX,BX

MOVBX,KDIMULBXADDAX,UIK1;計(jì)算UD(k)+UI(k)ADCDX,DS:UIK1+2ADDAX,UPK;計(jì)算UD(k)+UI(k)+UP(k)

ADCDX,DS:UPK+2MOVUK,AX;存U(k)MOVDS:UK+2,DXMOVAX,E0;E(k-1)=E(k)MOVE1,AXRETCODEENDSENDSTART

（2）增量型PID算法的程序設(shè)計(jì)根據(jù)式(4-12)可寫出第k次采樣增量型PID表達(dá)式為:(4-12)令：(4-15)(4-16)得：

(4-17)式中：對(duì)（4-12）加以改進(jìn)：(4-12)增量式PID控制算法

此外在位置型PID算法中亦可采用增量型PID表達(dá)式計(jì)算，將式(4-11)改寫為：(4-17)4.1.3數(shù)字PID控制器控制算法改進(jìn)

用PID數(shù)字控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，其控制質(zhì)量一般說來不如采用PID模擬控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制：

①模擬控制器進(jìn)行的控制是連續(xù)的，控制作用每時(shí)每刻都在進(jìn)行；而數(shù)字控制器在保持器作用下，控制量在一個(gè)采樣周期內(nèi)是不變化的。

②由于計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算和輸入/輸出需要一定的時(shí)間，控制作用在時(shí)間上有延滯。

③計(jì)算機(jī)的運(yùn)算字長(zhǎng)有限、A/D、D/A轉(zhuǎn)換器的分辨率及精度而使控制有誤差。

(1)積分飽和的原因及影響

假設(shè)給定值從0突變?yōu)閤*。在執(zhí)行器不存在極限時(shí)，偏差e大，控制量u大，y↑;e保持很大，控制量u↑;當(dāng)e減小到某個(gè)值后，u不會(huì)再增加，然后開始下降;當(dāng)y等于設(shè)定值x*時(shí)，e=0，控制量u仍很大，輸出量y↑,輸出量出現(xiàn)超調(diào)。1.積分飽和及其防止方法一、對(duì)積分項(xiàng)的改進(jìn)

在e變負(fù)后，積分項(xiàng)開始減小，使u下降較快。在y下降到小于x*時(shí)，偏差e

→+，y↑

。u→

u*，y→

x*，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

如果執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在極限，在設(shè)定值從0突變?yōu)閤*時(shí)：控制量u=umax，系統(tǒng)輸出y↑。輸出y=x*，e小于等于0，u仍保持較大的數(shù)值，y>x*e→-，持續(xù)τ后，使u<umax，退出飽和區(qū)，回到正常的控制狀態(tài)。由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)的限制和積分項(xiàng)的存在，引起了PID運(yùn)算的飽和，稱為積分飽和?？刂撇呗裕寒?dāng)誤差較大時(shí)，取消積分作用，當(dāng)被調(diào)量接近設(shè)定值時(shí)，再加入積分作用，以減小靜差。即:

（2）積分飽和的抑制使用PID數(shù)字控制器使用PD數(shù)字控制器

a.

積分分離法偏差值ε：積分界限積分分離的PID控制算法的程序流程圖b

變速積分的PID算法

變速積分的實(shí)質(zhì)是改進(jìn)的積分分離法，其基本思想是根據(jù)偏差的大小改變積分項(xiàng)的累加速度。偏差越大，累加速度越慢，積分作用越弱；偏差越小，累加速度越快，積分作用越強(qiáng)。在變速積分中，積分項(xiàng)前面的系數(shù)a是緩慢變化的，它對(duì)積分項(xiàng)采用線性控制。變速積分的PID控制算式為:(4-37)式中:Ae(k)1αAB1αe(k)變速積分則是緩慢變化積分分離的積分項(xiàng)采用開關(guān)控制，是突變的

遇限制削弱積分法的思想是：當(dāng)控制量進(jìn)入飽和區(qū)后，停止增大積分項(xiàng)的累加，只執(zhí)行削弱積分項(xiàng)的累加。在計(jì)算u(k)時(shí)，先判斷u(k–1)是否超過umin或umax，若已超過umax，則只累計(jì)負(fù)偏差；若小于umin，則只累計(jì)正偏差。c.遇限制削弱積分法

d.

減小積分整量化誤差的方法增量式PID控制算式中的積分項(xiàng)為:當(dāng)采樣周期比較小，積分時(shí)間常數(shù)比較大，由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制，其運(yùn)算結(jié)果有可能小于計(jì)算機(jī)的最低有效位，在運(yùn)算的時(shí)候，積分項(xiàng)的輸出就可能被計(jì)算機(jī)取整，當(dāng)作零而舍掉，積分作用消失，產(chǎn)生誤差。由于計(jì)算機(jī)取整而產(chǎn)生的積分項(xiàng)輸出誤差稱為積分整量化誤差。例如，某字長(zhǎng)為8位的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，采用增量式PID控制器，比例系數(shù)kp=1，積分時(shí)間常數(shù)TI=10s，采樣周期T=1s，當(dāng)數(shù)字量偏差e(k)=0.01，對(duì)應(yīng)的積分項(xiàng)輸出為:此時(shí)積分項(xiàng)的輸出小于計(jì)算機(jī)的最低有效位1/256，計(jì)算機(jī)會(huì)把它當(dāng)作零舍去，控制器的積分環(huán)節(jié)就沒起作用。例：某溫度控制系統(tǒng)采用PID控制，溫度量程為0~1500℃，A/D的分辨率為8位，并采用8位字長(zhǎng)定點(diǎn)計(jì)算。已知KP=1，T=1s，TI=10s,試計(jì)算當(dāng)溫差達(dá)到多少時(shí)，才會(huì)有積分作用？

積分整量化誤差的存在勢(shì)必使系統(tǒng)存在靜差，必須予以消除。

解：截尾量化誤差：解得e(k)>58.8℃,積分環(huán)節(jié)才能起作用。通常采用兩種方法來解決這個(gè)問題：

①擴(kuò)大計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)，增加計(jì)算機(jī)的位數(shù)，提高運(yùn)算精度。。

②當(dāng)積分項(xiàng)的輸出小于計(jì)算機(jī)的最低有效位時(shí)，不要把它們當(dāng)作零舍去，而是把它們一次次累加起來，直到積分項(xiàng)輸出的數(shù)字量大于最低有效位，把整數(shù)作為積分項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，小數(shù)部分作為下次累加的基數(shù)值。這種改進(jìn)的PID控制算法稱為防止積分整量化誤差的PID控制算法，其控制算式可以寫成:每次運(yùn)算時(shí)，把積分項(xiàng)單獨(dú)累加，根據(jù)累加結(jié)果，決定積分項(xiàng)的輸出值。

(4-35)圖4.14

防止積分整量化誤差的PID控制算法程序流程二、數(shù)字PID控制微分作用的改進(jìn)（1）數(shù)字PID控制微分作用的特點(diǎn)在PID控制中，微分環(huán)節(jié)加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)節(jié)時(shí)間，減小超調(diào)，克服振蕩，擴(kuò)大穩(wěn)定域，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。偏差的變化率很大，微分輸出很大，如果在一個(gè)采樣周期內(nèi)執(zhí)行機(jī)構(gòu)不能達(dá)到預(yù)期的位置，輸出將會(huì)失真，這就產(chǎn)生了“微分失控飽和”。

即僅在t=T時(shí)，輸出等于

，在其他采樣時(shí)刻輸出均為0。

為了分析數(shù)字PID的微分作用，由式(4-4)中得出微分部分的輸出與偏差的關(guān)系：對(duì)應(yīng)的Z變換為：當(dāng)e(t)為單位階躍輸入時(shí)，所以：

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字PID控制器的微分作用的另一個(gè)問題是：當(dāng)偏差e(k)突然變大時(shí)，控制器的輸出U(k)在偏差產(chǎn)生的那一個(gè)采樣周期內(nèi)，輸出的數(shù)值很大，可能使執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)生飽和。

在標(biāo)準(zhǔn)PID數(shù)字控制器算式中，加入一個(gè)慣性環(huán)節(jié)可構(gòu)成微分先行PID數(shù)字控制器。（2）微分先行PID控制一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)PID控制器的傳遞函數(shù)為：(4-18)(4-19)設(shè)：由式(4-18)和(4-19)可得到微分先行PID調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)：(4-20)即（4-21）

使用后向差分近似方法，利用

，由式(4-21)可得

由式(4-22)可直接得出差分方程為：（4-22）（4-21）設(shè)：可得：(4-23)

它僅改變了標(biāo)準(zhǔn)PID控制器的微分部分，使得在偏差發(fā)生突變時(shí)，微分作用可比較平緩。

(3)不完全微分PID控制

在標(biāo)準(zhǔn)PID算法的微分環(huán)節(jié)上直接加上一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)，也可克服完全微分的缺點(diǎn)，構(gòu)成不完全微分PID控制器。傳遞函數(shù)為：(4-24)Kd為微分增益，一般在3～10的范圍內(nèi)選取。完全微分?jǐn)?shù)字PID控制器中的微分作用只在第一個(gè)采樣周期產(chǎn)生一個(gè)幅度很大的輸出信號(hào)，易引起系統(tǒng)振蕩。不完全微分?jǐn)?shù)字PID微分作用在第一個(gè)采樣周期里的輸出幅度小得多，持續(xù)多個(gè)采樣周期，信號(hào)變化比較緩慢，故不易引起振蕩。3.其他PID控制方法(1)帶死區(qū)的PID控制

B值太小，調(diào)節(jié)動(dòng)作過于頻繁，達(dá)不到穩(wěn)定控制過程的目的；B值太大，又會(huì)產(chǎn)生很大的誤差和滯后。問題的提出：有些生產(chǎn)過程，不希望執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)作過于頻繁，防止由此引起的振蕩。解決方案：設(shè)置死區(qū)，在死區(qū)內(nèi)控制器無動(dòng)作。

砰砰（Bang-Bang）控制是一種時(shí)間最優(yōu)控制，又稱快速控制法。它的輸出只有開和關(guān)兩種狀態(tài)。

控制思想：在輸出低于設(shè)定值時(shí)，控制為開狀態(tài)（最大控制量），使輸出量迅速增大。在輸出預(yù)計(jì)將達(dá)到設(shè)定值的時(shí)刻，關(guān)閉控制輸出，依靠系統(tǒng)慣性使輸出達(dá)到設(shè)定值。

(2)砰砰—PID復(fù)合控制

綜合砰砰與PID兩種控制方式。在偏差大時(shí)，使用砰砰控制，以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度。在偏差較小時(shí)，使用PID控制，以提高控制精度。即：

|ek|>Q，砰砰控制

|ek|≤Q，PID控制

4.1.4數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定

根據(jù)被控過程的特性確定PID控制器的比例系數(shù)KP，積分時(shí)間TI和微分時(shí)間TD，采樣周期T。

1.采樣周期T的確定

香農(nóng)（shannon）采樣定理給出了系統(tǒng)采樣頻率的上限為fn≥2fmax，此時(shí)系統(tǒng)可真實(shí)地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號(hào)。

從控制器本身來講，大都是依靠偏差E(k)進(jìn)行調(diào)節(jié)計(jì)算的。采樣頻率高，占用計(jì)算機(jī)工作時(shí)間長(zhǎng)；E(k)過小，由于整量化誤差的影響，此時(shí)計(jì)算機(jī)將失去調(diào)節(jié)作用。選擇采樣周期應(yīng)綜合考慮的因素1)給定值的變化頻率。加到被控對(duì)象上的給定值變化頻率越高，采樣頻率也越高，以使給定值的改變通過采樣迅速得到反映。2)被控對(duì)象的特性?？紤]對(duì)象變化的緩急?？紤]干擾的情況。當(dāng)被控對(duì)象的純滯后比較顯著時(shí)，采樣周期T應(yīng)取得與純滯后時(shí)間基本相等。3)使用的算式和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的類型。采樣周期太小，會(huì)使積分作用、微分作用不明顯。受計(jì)算機(jī)計(jì)算精度的影響，當(dāng)采樣周期小到一定程度時(shí)，前后兩次采樣的差別反映不出來，控制作用會(huì)因此而減弱。快速執(zhí)行機(jī)構(gòu)，選擇較短的采樣周期；慢速執(zhí)行機(jī)構(gòu)，則反之。4)測(cè)量控制的回路數(shù)。

當(dāng)要求測(cè)量控制的回路較多時(shí)，相應(yīng)的采樣周期越長(zhǎng)，以使每個(gè)回路的控制算法都有足夠的時(shí)間來完成?？刂频幕芈窋?shù)n與采樣周期T有如下關(guān)系：式中，Tj是第j個(gè)回路控制程序的執(zhí)行時(shí)間和輸入輸出時(shí)間。

采樣周期的選擇方法有兩種，一種是計(jì)算法，一種是經(jīng)驗(yàn)法。

經(jīng)驗(yàn)法是一種試湊法。即根據(jù)人們?cè)诳刂乒こ虒?shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn)以及被控對(duì)象的特點(diǎn)及參數(shù)，先選擇一個(gè)采樣周期T，然后送入微型機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)被控對(duì)象的實(shí)際控制效果，再反復(fù)地改變采樣周期T，知道滿意為止。被測(cè)參數(shù)采樣周期T（秒）備注流量1~5優(yōu)先選用1~2秒壓力3~10優(yōu)先選用6~8秒液位6~8優(yōu)先選用7s溫度15~20或取純滯后時(shí)間成分15~20優(yōu)先選用18s表4-2采樣周期的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)

簡(jiǎn)易工程整定方法之一。整定的步驟：

(1)選擇一個(gè)足夠短的采樣周期Tmin。

(2)求出臨界比例度δu和臨界振蕩周期Tu。具體方法是將上述的采樣周期Tmin輸入到計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，并只有比例控制，逐漸加大比例系數(shù)，直到系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩。此時(shí)的比例度即為臨界比例度δu，振蕩周期稱為臨界振蕩周期Tu。2.擴(kuò)充臨界比例度法整定PID參數(shù)

(3)選擇控制度。所謂控制度，就是以模擬調(diào)節(jié)器為基準(zhǔn)，將DDC的控制效果與模擬調(diào)節(jié)器的控制效果相比較，控制效果的評(píng)價(jià)函數(shù)通常采用

（誤差平方積分）表示。

(4-25)

(4)根據(jù)控制度，查表4-3即可求出T、KP、TI和TD的值。

擴(kuò)充臨界比例度法整定參數(shù)表控制度控制規(guī)律TKPTITD1.05PI0.03Tu0.53δu0.88Tu—PID0.014Tu0.63δu0.49Tu0.14Tu1.2PI0.05Tu0.49δu0.91Tu—PID0.043Tu0.47δu0.47Tu0.16Tu1.5PI0.14Tu0.42δu0.99Tu—PID0.09Tu0.34δu0.43Tu0.20Tu2.0PI0.22Tu0.36δu1.05Tu—PID0.16Tu0.27δu0.40Tu0.22Tu

斷開數(shù)字調(diào)節(jié)器，使系統(tǒng)在手動(dòng)狀態(tài)下工作。當(dāng)系統(tǒng)在給定值處平衡后，給一階躍輸入（如圖4-14(a)所示）。

用儀表記錄下被調(diào)參數(shù)在階躍作用下的變化過程曲線（即廣義對(duì)象的飛升特性曲線），如圖4-14(b)所示。

在曲線最大斜率處做切線，求得被控對(duì)象滯后時(shí)間θ，慣性時(shí)間常數(shù)τ以及它們的比值τ/θ。3.擴(kuò)充響應(yīng)曲線法

根據(jù)所求得的τ，θ和τ/θ的值，查表4-4即可求得控制器的T、KP、TI和TD。擴(kuò)充臨界比例度法和擴(kuò)充響應(yīng)曲線法特別適用于被控對(duì)象是一階滯后慣性環(huán)節(jié)，如果對(duì)象為其他特性，用其他方法整定PID參數(shù).4.歸一參數(shù)整定法

RobertsP．D．在1974年提出了一種簡(jiǎn)化擴(kuò)充臨界比例度整定法，由于該方法只需整定一個(gè)參數(shù)，故稱其為歸一參數(shù)整定法。根據(jù)大量的經(jīng)驗(yàn)和研究表明，一個(gè)動(dòng)態(tài)性能好的系統(tǒng)，有關(guān)參數(shù)可這樣選取：

式中TK為純比例控制時(shí)的臨界振蕩周期，將上式代入增量式數(shù)字PID控制算式，則增量式PID控制的公式簡(jiǎn)化為:

當(dāng)被控對(duì)象存在較大滯后時(shí)，可采用D.M.Bain和G.D.Martin提出的適用大滯后過程參數(shù)整定方法。已知被控對(duì)象為一階滯后系統(tǒng)，即：

5.大滯后系統(tǒng)的參數(shù)整定(4-27)其中：K=Δy/Δu為相對(duì)增益；τ為慣性時(shí)間常數(shù)；

θ為純滯后時(shí)間。

按下面公式計(jì)算KP、TI和TDA，B和C依表4-5的性能指標(biāo)選擇：表4-5性能指標(biāo)的選擇性能指標(biāo)ABC5%超調(diào)013/2501%超調(diào)03/70最小IAE3/103/104/10(4-28)絕對(duì)誤差積分(4-27)例4-1：已知某一階滯后被控對(duì)象的參數(shù)為K=1.47，τ=750秒，θ=50秒。（1）按擴(kuò)充響應(yīng)曲線法求得，當(dāng)控制度等于1.05時(shí)，PID控制器參數(shù)為：

T=2.5，KP=17.25，TI=100，TD

=22.5。例4-1：已知某一階滯后被控對(duì)象的參數(shù)為K=1.47，τ=750秒，θ=50秒。（2）按D.M.Bain方法，當(dāng)T=5秒時(shí)，按最小IAE指標(biāo)選擇PID控制器參數(shù)為：

最小IAE3/103/104/106.試湊法整定PID參數(shù)試湊法是觀察系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，然后根據(jù)各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，反復(fù)湊試參數(shù)，直到得到滿意的響應(yīng)過程，從而整定出PID參數(shù)。

遵循先比例、后積分、再微分的整定步驟。

(1)

整定比例系數(shù)在純比例作用下，將比例系數(shù)從小變大，觀察系統(tǒng)的響應(yīng)，直到得到反應(yīng)快、超調(diào)小的響應(yīng)曲線。

(2)

加入積分環(huán)節(jié)

如果系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，就要加入積分環(huán)節(jié)。整定時(shí)，先取積分時(shí)間常數(shù)TI為一較大值，并且把第一步整定的比例系數(shù)縮小至原來的0.8，然后減小積分時(shí)間常數(shù)TI，加強(qiáng)積分作用，在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能滿足要求的前提下，消除穩(wěn)態(tài)誤差。

(3)

加入微分環(huán)節(jié)

如果系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程不能令人滿意，可以加入微分環(huán)節(jié)，構(gòu)成PID控制器。整定時(shí)，先讓微分時(shí)間常數(shù)TD=0，在整定比例系數(shù)和積分時(shí)間常數(shù)的基礎(chǔ)上，逐漸增大TD，加強(qiáng)微分作用，同時(shí)相應(yīng)改變比例系數(shù)和積分時(shí)間常數(shù)，逐步試湊，直至獲得滿意的響應(yīng)過程。試湊法整定PID參數(shù)的步驟可總結(jié)如下：參數(shù)整定找最佳，從小到大順序查。先是比例后積分，最后再把微分加。曲線振蕩很頻繁，比例度盤要放大。曲線漂浮繞大灣，比例度盤往小扳。曲線偏離回復(fù)慢，積分時(shí)間往下降。曲線波動(dòng)周期長(zhǎng)，積分時(shí)間再加長(zhǎng)。曲線振蕩頻率快，先把微分降下來。動(dòng)差大來波動(dòng)慢，微分時(shí)間應(yīng)加長(zhǎng)。理想曲線兩個(gè)波，前高后低4比1。一看二調(diào)多分析，調(diào)節(jié)質(zhì)量不會(huì)低。4.3大林（Dahlin）算法純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)

這類系統(tǒng)的控制特點(diǎn)是要求其超調(diào)量為零或較小，而快速性是次要的，并且允許有較長(zhǎng)的調(diào)整時(shí)間。

這類控制系統(tǒng)的被控對(duì)象連續(xù)傳遞函數(shù)G0(S)常用帶純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)描述，即：

式中，τ為滯后時(shí)間，T1、T2為時(shí)間常數(shù)，K為放大系數(shù)?；颍?4-38)4.3.1

大林算法的設(shè)計(jì)原理設(shè)計(jì)原理：以大林算法設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器，使所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)帶有滯后的一階慣性環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)，其滯后時(shí)間與被控對(duì)象G0(s)的滯后時(shí)間相同，即：

上式中Tτ為閉環(huán)系統(tǒng)的的時(shí)間常數(shù)，設(shè)τ=NT，T為系統(tǒng)采樣時(shí)間。(4-39)

數(shù)字控制器D(z)的脈沖傳遞函數(shù)為：D(z)H0(s)G0(s)c(t)+–r(t)U(z)E(z)R(z)G(z)H(z)C(z)u*(t)e*(t)圖4-21計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)框圖

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖4-21所示，圖中H0(s)為零階保持器；大林算法的閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為：(4-40)(4-41)因?yàn)閷⑸鲜酱?4-41)式，得： 1、帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)的大林算法：(4-42)代入τ=NT，并進(jìn)行Z變換：(4-43)（4-43）(4-41)將(4-46)、(4-47)、(4-48)式代入(4-41)，得：

2、帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)的大林算法（4-45）代入τ=NT，并進(jìn)行Z變換：（4-46）其中：（4-47）（4-48）（4-49）(4-41)例題：已知某工業(yè)對(duì)象的傳遞函數(shù)為設(shè)采樣周期T=1s，期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：試按大林算法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器。解：采樣周期T=1s，延時(shí)時(shí)間τ=1s，所以N=1，Tτ=2可直接帶入公式計(jì)算H(z).(4-40)同理求G(z)得：求數(shù)字控制器D(z)得：(4-43)4.3.2

振鈴現(xiàn)象及其消除

振鈴現(xiàn)象是指數(shù)字控制器的輸出u(kT)以接近1/2采樣頻率（既二倍采樣周期）的頻率大幅度的波動(dòng)。

衡量振鈴現(xiàn)象強(qiáng)烈程度的量是振鈴幅度RA（RingAmplitude）。它的定義是數(shù)字控制器在單位階躍輸入的作用下，第0次的輸出幅度與第一次的輸出幅度之差，即

RA=u(0)-u(T)

(4-50)

振零現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于控制器輸出的Z變換U(z)中含有Z平面單位圓內(nèi)左半平面接近z=-1的極點(diǎn)。在單位階躍作用下振鈴幅度，幾個(gè)有代表性的例子如下：極點(diǎn)在z=-1時(shí)，振鈴幅度最大。右半平面的極點(diǎn)會(huì)削弱振鈴現(xiàn)象。離z=-1越遠(yuǎn)則振鈴幅度越小。

大林提出了一種消除振鈴現(xiàn)象的方法，既先找出D(z)中引起振玲現(xiàn)象的極點(diǎn)的因子（z=-1附近的因子），然后令因子的z=1，這樣就消除了這個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出保持不變。

U(z)中單位圓右半平面的零點(diǎn)會(huì)加劇振鈴現(xiàn)象例4-4

已知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)

，采樣周期T=0.5s，所期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)

=0.5s，試用大林算法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)，并分析是否產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，若有則消除。分析：τ=2.5s，T=0.5s，N=5,Tτ=0.5(4-39) 其中

，

，

，代入上式，得：

1、求系統(tǒng)的廣義被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)以T=0.5代入得：2、求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)H(z)

顯然，數(shù)字控制器輸出U(kT)正負(fù)上下擺動(dòng)，有振鈴現(xiàn)象。因?yàn)閁(z)中有z=-0.858這個(gè)靠近z=-1的極點(diǎn)。3、判斷是否出現(xiàn)振零現(xiàn)象4、求數(shù)字控制器D(z)上式中，令極點(diǎn)因子

中z=1，得：例4-5某一階近似控制系統(tǒng)的大林控制器為：系統(tǒng)響應(yīng)如圖所示，看上去比較滿意，但閥門控制信號(hào)u(nT)呈現(xiàn)出過渡的閥門位移，即出現(xiàn)了振鈴現(xiàn)象。用大林消除振鈴方法，令振鈴因子（1+0.738z-1)中的z=1,得：系統(tǒng)響應(yīng)y(t)及對(duì)應(yīng)的閥門反應(yīng)如下圖所示，這樣的算法基本消除了振鈴，y(t)與有振鈴算法的響應(yīng)十分相似。例4-6已知某控制系統(tǒng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為：試用大林算法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)。設(shè)采樣周期為T=0.5S，并討論該系統(tǒng)是否會(huì)發(fā)生振鈴現(xiàn)象，如發(fā)生，該如何消除。解：由題可知：τ=1，K=1,T1=1,N=τ/T=2，當(dāng)被控對(duì)象與零階保持器相連時(shí)，系統(tǒng)廣義被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為：廣義對(duì)象的數(shù)字脈沖傳遞函數(shù)為：大林算法的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，據(jù)此可設(shè)Tτ=0.1s.D(z)有三個(gè)極點(diǎn)，z1=1,z2，3=-0.4967±0.864j,所以引起振鈴的極點(diǎn)是后者,應(yīng)去掉D(z)中的這個(gè)因子。令中的z=1得無振鈴時(shí)的d(z)為：4.4

數(shù)字控制器設(shè)計(jì)方法

數(shù)字控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)是基于被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型已知的情況下，用控制理論的方法，設(shè)計(jì)出數(shù)字控制器，使控制系統(tǒng)滿足一定的性能指標(biāo)。數(shù)字控制器數(shù)—模轉(zhuǎn)換器保持器對(duì)象模—數(shù)轉(zhuǎn)換器r(t)+–y(t)離散部分連續(xù)部分圖4-22

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法分為離散化設(shè)計(jì)方法和連續(xù)化設(shè)計(jì)方法兩種。

離散化設(shè)計(jì)方法是將被控對(duì)象和保持器組成的連續(xù)部分離散化，直接應(yīng)用離散控制理論的一套方法進(jìn)行分析和綜合，設(shè)計(jì)出滿足控制指標(biāo)的離散控制器，由計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)。

連續(xù)化設(shè)計(jì)方法是忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，在s域中按連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行初步設(shè)計(jì)，求出連續(xù)控制器，然后再將連續(xù)控制器變換為離散控制器，由計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)。4.4.1連續(xù)對(duì)象的離散化方法1.沖激響應(yīng)不變法

沖激響應(yīng)不變法就是指離散環(huán)節(jié)G(z)的單位沖激響應(yīng)h(kT)與連續(xù)環(huán)節(jié)G(s)的單位脈沖響應(yīng)h(t)的采樣點(diǎn)的值相等。(4-51)定義：模擬調(diào)節(jié)器離散化的目的就是由模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)D(S)得到數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，從而求出其差分方程。

若系統(tǒng)的輸入r(t)=δ(t)，在連續(xù)系統(tǒng)的情況下，G(s)=L[h(t)]/L[δ(t)]，由于L[δ(t)]=1，所以G(s)=L[h(t)]，

在離散系統(tǒng)中，G(z)=Z[h(kT)]/Z[δ(kT)]，因?yàn)閆[δ(kT)]=1，所以G(z)=Z[h(kT)]，

它可以按照以下三個(gè)步驟進(jìn)行：1.利用拉普拉斯反變換，計(jì)算單位脈沖響應(yīng)

；2.

將h(t)按采樣周期T離散化求得離散序列h(kT),簡(jiǎn)寫為h(k)；3.

應(yīng)用Z變換求等效的離散傳遞函數(shù)：(4-52)利用以上步驟求G(z)的過程通常簡(jiǎn)記為：（4-53）解：脈沖響應(yīng)函數(shù)

，

對(duì)采樣周期為T，得

，作為離散環(huán)節(jié)的單位沖激響應(yīng)，則離散環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)：例4-5

設(shè)離散化連續(xù)環(huán)節(jié)，求G(z)。例4-6設(shè)圖4-23中，

，試求G(z)。解：例4-7設(shè)圖4-23中，

，試求G(z)。

由于沖激響應(yīng)不變法實(shí)質(zhì)上是Z變換法，故又稱為Z變換法。

s平面與z平面的映射關(guān)系是基于z=esT，因此s平面左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)，當(dāng)G(s)是穩(wěn)定的，變換后的G(z)也是穩(wěn)定的。解：2.

差分變換法

差分變換法也稱為差分反演法。模擬調(diào)節(jié)器如果用微分方程的形式表示，其導(dǎo)數(shù)就可以用差分方程來近似代替，把連續(xù)校正裝置的傳遞函數(shù)D(S)轉(zhuǎn)換成差分方程，再用差分方程來近似表示這個(gè)微分方程。

差分變換法分為前向差分法和后向差分法。(1)前向差分法利用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，可將

寫成以下形式：

(4-1)由上式可得：（4-2）把式(4-2)代入模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)D(S)中，即可求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，得到前向差分法的計(jì)算公式（4-3）式中：T是系統(tǒng)的采樣周期。(2)

后向差分法

利用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，還可將寫成以下形式：(4-5)由上式可得：(4-6)把式(4-6)代入模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)D(S)中，即可求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，得到后向差分法的計(jì)算公式：(4-7)

式中：T是系統(tǒng)的采樣周期。例4-1

已知模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)分別采用前向差分和后向差分法對(duì)其進(jìn)行離散化，求出其脈沖傳遞函數(shù)D(z)以及所對(duì)應(yīng)的差分方程。解：①前向差分法：根據(jù)其變換公式，則對(duì)應(yīng)的差分方程為：②后向差分法：根據(jù)其變換公式，則:對(duì)應(yīng)的差分方程為：3.零階保持器法

在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，常常需要將連續(xù)的控制對(duì)象連同保持器一起離散化，使其變成純粹的離散系統(tǒng)來簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，Gh(s)是零階保持器的傳遞函數(shù)。圖4-24(a)中，若令：(4-54)利用沖激響應(yīng)不變法，并參考式(4-54)及Z變換的性質(zhì)可以求得：(4-55)例4-8試將帶有零階保持器的對(duì)象

變換成G(z)。

解：可以很容易求得從G(z)到G(s)的變換關(guān)系為：(4-57)(4-56)4.雙線性變換法雙線性變換法又稱塔斯廷變換或稱梯形積分法。

根據(jù)從G(s)到G(z)的雙線性變換：例4-9試將

雙線性變換成G(z)。解：例4-10試將

雙線性變換成G(s)。解：例

已知模擬調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)選擇采樣周期T=1s，用雙線性變換法求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，并寫出其差分方程。解：根據(jù)式(4-56)，得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為所對(duì)應(yīng)的差分方程：（1）雙線性變換方法簡(jiǎn)單，容易計(jì)算，它適用于G(s)或G(z)的分子和分母已展成多項(xiàng)式的情形。（2）雙線性變換將s左半平面映射到z平面上的單位圓內(nèi)，因而沒有混疊效應(yīng)，而且雙線性變換不改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（3）

雙線性變換是基于用梯形法則對(duì)微分方程進(jìn)行差分近似，因而這樣的變換是近似的。但是當(dāng)采樣周期T足夠小時(shí)，有較高的變換精度。雙線性變換法的主要特點(diǎn)：5.零極點(diǎn)匹配法

(4-58)(4-59)

應(yīng)用以上給出的變換規(guī)則，可以寫出相應(yīng)于式(4-58)的離散傳遞函數(shù)為：G(s)常常以零極點(diǎn)的形式給出，如：其中n≥m。這時(shí)獲得離散等效傳遞函數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的方法是利用

的關(guān)系，將s平面上的零點(diǎn)（）和極點(diǎn)（）一一對(duì)應(yīng)地映射到z平面上的零點(diǎn)（）和極點(diǎn)（）。式(4-59)中系數(shù)的選擇是使得在某個(gè)特征頻率G(s)與G(z)具有同樣的增益。在絕大多數(shù)控制系統(tǒng)的應(yīng)用中，特征頻率通常選為ω=0，就是使得:(4-61)(4-60)例4-11試應(yīng)用上述規(guī)則，將

離散為G(z)。解：G(s)有一極點(diǎn)在s=-a，有一零點(diǎn)在s=∞。按上述規(guī)則求得：利用增益匹配原則:

根據(jù)式(4-60)的增益匹配原則:(4-62)(4-66)得:(4-63)將式(4-63)代入式(4-61)得:(4-64)(4-61)若考慮一拍的延遲，則應(yīng)有:(4-65)(4-60)得

，代入式(4-65)得:(4-67)4.4.2數(shù)字控制器的離散設(shè)計(jì)方法

直接離散化設(shè)計(jì)方法--解析設(shè)計(jì)法。

若根據(jù)系統(tǒng)的性能要求給出適當(dāng)?shù)拈]環(huán)傳遞函數(shù)H(z)，那么可以很容易地利用解析設(shè)計(jì)法求得所需求的控制器的傳遞函數(shù)D(z)。

該方法的關(guān)鍵不在于式(4-69)的計(jì)算，而在于如何根據(jù)性能指標(biāo)的要求合適地給出閉環(huán)傳遞函數(shù)H(z)，同時(shí)考慮到閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制器的可實(shí)現(xiàn)性等要求。根據(jù)圖4-25，可以求得從r到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(4-68)從而解得:(4-69)最少拍系統(tǒng)是指如圖4-25所示典型系統(tǒng)對(duì)某種特定輸入具有最快的響應(yīng)速度，被控量能在最短的調(diào)節(jié)時(shí)間即最少的采樣周期數(shù)內(nèi)達(dá)到設(shè)定值。

一、最少拍有紋波控制器的設(shè)計(jì)原理與設(shè)計(jì)方法最少拍控制器設(shè)計(jì)必須從被控對(duì)象的特性出發(fā)，依據(jù)系統(tǒng)性能要求，運(yùn)用解析的方法推得。4.4.3最少拍控制器設(shè)計(jì)一）．最小拍控制器的一般設(shè)計(jì)步驟第一步：根據(jù)性能指標(biāo)要求和約束條件確定H(z)。性能指標(biāo)要求和約束條件有：

(1)穩(wěn)定性

(2)準(zhǔn)確性：閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)典型輸入的響應(yīng)誤差必須是穩(wěn)態(tài)誤差。最少拍有紋波控制器只是在采樣點(diǎn)上無穩(wěn)態(tài)誤差。

(3)快速性

(4)物理可實(shí)現(xiàn)性

第二步：由G(z)、H(z)確定D(z)。

第三步：根據(jù)D(z)編制控制算法的程序。從性能指標(biāo)要求和約束條件的四個(gè)方面逐步討論H(z)的確定。二）．由準(zhǔn)確性要求確定H(z)

假定廣義對(duì)象G(z)是穩(wěn)定的，且不含單位圓上和圓外的零點(diǎn)，被控對(duì)象G0(s)不含純滯后。根據(jù)準(zhǔn)確性要求，系統(tǒng)在采樣點(diǎn)無穩(wěn)態(tài)誤差，即對(duì)最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)而言，典型的輸入信號(hào)有三種，即：①單位階躍輸入②單位速度輸入(單位斜坡信號(hào))③單位加速度輸入(單位拋物線信號(hào))其中B(z)不含(1-z-1)因子寫成通式：顯然，要使穩(wěn)態(tài)誤差為零，He(z)中必須包含（1-z-1)因子，且冪次不能低于q,即：其中m≥q，F(xiàn)(z)是關(guān)于z-1的多項(xiàng)式。快速性要求閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)能在最短時(shí)間內(nèi)使采樣點(diǎn)上的誤差為零，這就要求He(z)包含z-1的冪次盡可能小。在滿足準(zhǔn)確性的前提下，令m=q，F(xiàn)(z)=1,此時(shí)He(z)既能滿足準(zhǔn)確性又滿足快速性要求，故有：三）、由快速性要求確定H(z)

這樣選擇不僅可以簡(jiǎn)化數(shù)字控制器的結(jié)構(gòu)，而且還可以使E(z)的項(xiàng)數(shù)最少，因而調(diào)節(jié)時(shí)間ts最短。對(duì)應(yīng)于上述三種典型輸入信號(hào)，其閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)選擇為：

單位階躍輸入時(shí)：?jiǎn)挝凰俣容斎霑r(shí)：?jiǎn)挝患铀俣容斎霑r(shí)：

由此可知，單位速度輸入時(shí)，最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts=2T。2拍后穩(wěn)態(tài)誤差為零。

根據(jù)上述分析，可得不同輸入時(shí)的誤差序列如下：1、單位階躍輸入時(shí)(4-118)求Z反變換得e(k)=δ(k)，即：

由此可知，單位階躍輸入時(shí)，最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts=T，T為系統(tǒng)采樣周期。1拍后穩(wěn)態(tài)誤差為零。2、單位速度輸入時(shí)誤差序列為：(4-119)3、單位加速度輸入時(shí)（4-120）誤差序列為：由此可知，單位加速度輸入時(shí)，最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts=3T，3拍后穩(wěn)態(tài)誤差為零。

對(duì)于不同的典型輸入，合理地選擇誤差脈沖傳遞函數(shù)He(z)才能獲得最少拍響應(yīng)。選定He(z)后，根據(jù)廣義對(duì)象函數(shù)G(z)特性，可求得最少拍數(shù)字控制器D(z)。三種典型輸入下，最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts分別為T、2T和3T。

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)：二者關(guān)系：四）、由穩(wěn)定性要求確定H(Z)D(z)H0(s)G0(s)c(t)+–r(t)U(z)E(z)R(z)G(z)H(z)C(z)u*(t)e*(t)由上式可知，D(z)不僅與輸入信號(hào)有關(guān)，而且與廣義對(duì)象G(z)有關(guān)。當(dāng)G(z)含有單位圓上和圓外的零點(diǎn)、極點(diǎn)時(shí)，必定對(duì)H(z)和He(z)有更多的要求。如果廣義對(duì)象G(z)中所有零、極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即被控量y和控制量u都是穩(wěn)定的。如果廣義對(duì)象G(z)含有單位圓上和圓外的零點(diǎn)、極點(diǎn)時(shí)，G(z)和U(z)含有不穩(wěn)定的極點(diǎn)，則控制量u就是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)輸出y也就不穩(wěn)定。由上式可以看出，D(z)和G(z)總是成對(duì)出現(xiàn)，但不能簡(jiǎn)單地用D(z)的相關(guān)零極點(diǎn)去抵消G(z)的單位圓上、圓外的零極點(diǎn)。原因：若要抵消G(z)的單位圓上、圓外的零極點(diǎn)，D(z)必含單位圓上、圓外的零極點(diǎn)，從而使D(z)不穩(wěn)定，從而控制量u不穩(wěn)定。觀察上式可以找到正確解決上述問題的辦法：①讓H(z)的零點(diǎn)包含G(z)單位圓上或單位圓外的零點(diǎn)②讓He(z)的零點(diǎn)包含G(z)單位圓上或圓外的極點(diǎn)五）、由D(z)的物理可實(shí)現(xiàn)性要求確定H(Z)

D(z)物理可實(shí)現(xiàn)性就是指D(z)當(dāng)前時(shí)刻的輸出只取決于當(dāng)前時(shí)刻及過去時(shí)刻的輸入，而與未來時(shí)刻無關(guān)。數(shù)學(xué)上體現(xiàn)在保證D(z)分母中z-1的最低冪次不大于分子中z-1的最低冪次。例題：設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為，T=1s，初始條件為y(0)=0.試針對(duì)單位階躍輸入信號(hào)設(shè)計(jì)無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍控制系統(tǒng)。（e-1=0.368,e-2=0.136)解：首先將廣義對(duì)象離散化分析G(z)可看到，G(z)不包括單位圓上及圓外的零極點(diǎn)，所以針對(duì)單位階躍輸入，閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)取為：顯然D(z)是物理可實(shí)現(xiàn)的。系統(tǒng)輸出為：誤差輸出為：該系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，瞬態(tài)過程將在一個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束，且在采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為0例題：設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為，T=1s，試針對(duì)單位階躍輸入信號(hào)設(shè)計(jì)最少拍控制器D(z)解：首先將廣義對(duì)象離散化因?yàn)镚(z)中含有z-1項(xiàng)和單位圓外零點(diǎn)z=-2.78，故H(z)應(yīng)包含z-1及（1+2.78z-1)項(xiàng)。G(z)中含有單位圓上極點(diǎn)z=1，He(z)應(yīng)包含（1-z-1)項(xiàng)，同時(shí)考慮到He(z)和H(z)應(yīng)有相同冪次，故：解方程得：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：由圖可見，控制量收斂，輸出量穩(wěn)定，系統(tǒng)兩拍后準(zhǔn)確跟蹤輸入。例題：已知系統(tǒng)的要求設(shè)計(jì)D(z)使系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入為無穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍控制系統(tǒng)。某設(shè)計(jì)人員設(shè)計(jì)的D(z)滿足如下差分方程：審查上述設(shè)計(jì)是否正確，如有錯(cuò)，請(qǐng)做出正確設(shè)計(jì)。解：由差分方程得：可見D(z)中有一個(gè)極點(diǎn)分布在z平面的單位圓外，D(z)是不穩(wěn)定的，故該設(shè)計(jì)是不正確的。因?yàn)镚(z)中含有單位圓外的零點(diǎn)和單位圓上的極點(diǎn)，所以H(z)必須含有（1+1.1z-1)和z-1因子，故設(shè)：b1待定He(z)應(yīng)包括（1-z-1)因子，且應(yīng)與H(z)同階次，故設(shè)：a1待定由于是得：顯然D(z)是穩(wěn)定且物理可實(shí)現(xiàn)的。系統(tǒng)輸出：偏差輸出：系統(tǒng)兩拍后準(zhǔn)確跟蹤輸入，采樣點(diǎn)上偏差為零最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)方法步驟如下：(1)根據(jù)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，由Z變換公式求出廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)；(2)根據(jù)輸入信號(hào)類型，查表4-7確定誤差脈沖傳遞函數(shù)Ge(z)；(3)將G(z)，Ge(z)代入(4-113)式求得最少拍數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)；(4)根據(jù)結(jié)果分析控制效果，求出輸出序列并畫出響應(yīng)曲線。3.

設(shè)計(jì)舉例例4-13

對(duì)圖4-31所示的最少拍隨動(dòng)系統(tǒng)，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為

，采樣周期

，試設(shè)計(jì)單位階躍輸入時(shí)的最少拍數(shù)字控制器D(z)。解：該系統(tǒng)中用零階保持器，所以其廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為:

上式中含有因子

和單位圓外零點(diǎn)z＝-1.4815，因此，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)H(z)中應(yīng)含有(

)及因子

。又因?yàn)槭街泻幸粋€(gè)極點(diǎn)(z＝1)在單位圓上，因此，He(z)應(yīng)含有有（1-z-1)因子。由H(z)和He(z)應(yīng)該是同階次的多項(xiàng)式，應(yīng)有比較等式兩邊的系數(shù)，可得式中a、b為待定系數(shù)，由上述方程組，可得:

將所得結(jié)果代入式(4-113)，可求出最少拍數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)：由此可得：a=0.403，b=0.579將系數(shù)代入方程組，得：?jiǎn)挝浑A躍輸入時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：由此可得y(0)=0，y(1)=0.403，y(2)=y(3)=...=1單位階躍輸入時(shí)，系統(tǒng)偏差輸出為：例如對(duì)單位速度輸入：最少拍設(shè)計(jì)的局限性1、對(duì)不同輸入信號(hào)的適應(yīng)性差單位階躍輸入時(shí)，系統(tǒng)偏差輸出兩拍后無差。穩(wěn)態(tài)誤差是固定值例如對(duì)單位加速度輸入：

按照某種典型輸入設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)，當(dāng)輸入形式改變時(shí)，系統(tǒng)的性能變壞，輸出響應(yīng)不一定理想。(2)

對(duì)參數(shù)變化過于敏感

最少拍無差系統(tǒng)是針對(duì)被控對(duì)象的精確的數(shù)學(xué)模型來設(shè)計(jì)的。當(dāng)被控對(duì)象包含不穩(wěn)定的零極點(diǎn)時(shí)，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)H(z)的不穩(wěn)定零點(diǎn)去抵消G(z)的不穩(wěn)定零點(diǎn)，用誤差脈沖傳遞函數(shù)He(z)的不穩(wěn)定零點(diǎn)去抵消G(z)的不穩(wěn)定極點(diǎn)。但是如果被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型不準(zhǔn)確或者由于環(huán)境的變化導(dǎo)致系統(tǒng)參數(shù)改變，不穩(wěn)定的零極點(diǎn)是不可能相消的，系統(tǒng)的性能就會(huì)被破壞，致使系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間延長(zhǎng)，不再滿足最少拍設(shè)計(jì)的快速性要求。(3)

未考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和特性最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)沒有對(duì)控制量做出限制，在設(shè)計(jì)中強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)在最少拍內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，因此是時(shí)間最優(yōu)系統(tǒng)，得到的設(shè)計(jì)結(jié)果是在假定控制量沒有限制的基礎(chǔ)上，保證系統(tǒng)的輸出能在最少拍內(nèi)準(zhǔn)確地跟蹤輸入。從理論上講，采樣周期越短，調(diào)節(jié)速度就越快，調(diào)節(jié)時(shí)間也越短，但這是不切實(shí)際的。采樣周期的減小，會(huì)使控制量增大。由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和特性，控制量會(huì)被限制在一個(gè)有限的范圍，實(shí)際控制情況與最少拍控制器輸出的控制量不相符，控制效果會(huì)因此變差，最少拍設(shè)計(jì)的目標(biāo)就不能實(shí)現(xiàn)。5.6

數(shù)字控制器的計(jì)算機(jī)算法實(shí)現(xiàn)方法前面幾節(jié)中已經(jīng)介紹了各種數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)方法，求出數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)以后，最重要的是如何去實(shí)現(xiàn)它的功能。數(shù)字控制器的實(shí)現(xiàn)方法有硬件實(shí)現(xiàn)和軟件實(shí)現(xiàn)兩種，用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制器，具有靈活、方便、簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，特別是當(dāng)控制算式比較復(fù)雜時(shí)，更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。這一節(jié)主要講述數(shù)字控制器在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)方法。5.6.1

直接程序設(shè)計(jì)法數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)的一般表達(dá)式為:(5-46)

式中：U(z)和E(z)分別是數(shù)字控制器輸出的控制量序列和輸入的誤差序列的Z變換，為了保證數(shù)字控制器的物理可實(shí)現(xiàn)性，要求。式(5-46)對(duì)應(yīng)的差分方程為:

(5-47)用計(jì)算機(jī)軟件直接實(shí)現(xiàn)式(5-47)，就可很方便地實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制器的功能，這種實(shí)現(xiàn)方法稱為數(shù)字控制器的直接程序設(shè)計(jì)法，式(5-47)就是直接程序設(shè)計(jì)法所用到的控制算式。從式中可以看出，如果所有的系數(shù)都不為零，要計(jì)算一次u(k)，首先需要進(jìn)行n+1次乘法運(yùn)算和m次乘法運(yùn)算，分別求出前面所有時(shí)刻的偏差值和控制量。然后再進(jìn)行n次加法和m-1次加法，分別求出所有時(shí)刻的偏差和與控制量的和。最后再進(jìn)行一次求和運(yùn)算，才能求出第k個(gè)采樣時(shí)刻控制器的輸出值u(k)。因此需要進(jìn)行n+m次加法運(yùn)算，n+m+1次乘法運(yùn)算和n+m次數(shù)據(jù)傳送，才能計(jì)算機(jī)出一次u(k)。

直接程序設(shè)計(jì)法的算法比較簡(jiǎn)單，可大大減少計(jì)算機(jī)運(yùn)算的延時(shí)，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。但是其運(yùn)算量比較大，程序占用的內(nèi)存容量也比較大，程序的可讀性較差，調(diào)試不方便。例5-11

設(shè)數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)為:試用直接程序設(shè)計(jì)法寫出的差分方程。解：首先對(duì)D(z)變形，表示成式(5-46)的形式，即:式中：n=m=4，控制器物理可實(shí)現(xiàn)。對(duì)應(yīng)的差分方程為:雖然其算法比較簡(jiǎn)單，但是控制算式比較長(zhǎng)。因?yàn)?，所以需要進(jìn)行7次加法運(yùn)算，8次乘法運(yùn)算，7次數(shù)據(jù)傳送，才能計(jì)算出u(k)。補(bǔ)充例題:已知某最少拍有紋波控制器為:試寫出直接實(shí)現(xiàn)的疊代算法解:先將分式的分子分母展開為z-1的多項(xiàng)式:交叉相乘并移項(xiàng)得:求Z反變換，得差分方程為:用C語言編制的程序如下，由于偏差必須在閉環(huán)系統(tǒng)中得到，所以程序中定義了一個(gè)偏差數(shù)組來模擬，程序之后給出了控制量的結(jié)果，用于驗(yàn)證程序的正確性。#include<stdio.h>Intk=10;floate[11]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};floatu(intk){if(k<=0)return(0);elsereturn(0.282*u(k-1)+0.718u(k-2)+0.5434*e[k]-0.4716e[k-1]+0.1*e[k-2]);}Main(){floatuk;uk=u(k);printf(“u(%d)=%f\n\n”,k,uk);}測(cè)試結(jié)果如下：u(1)=0.543400u(2)=0.768439u(3)=1.393861u(4)=1.903608u(5)=2.668210u(6)=3.421626u(7)=4.354873u(8)=5.330801u(9)=7.6354195.6.2

串行