概率論頻率概率古典概型

頻率、概率、古典概型1一.頻率２．頻率的性質(zhì)：(非負(fù)性)(規(guī)范性)1．頻率的定義：頻率與概率在n次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)m稱為事件A的頻數(shù),而比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記作：23．頻率的穩(wěn)定性在不變的條件下,重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),事件A發(fā)生的頻率m/n穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng),并且n越大,擺動(dòng)幅度越小．則稱常數(shù)p為事件A在該條件下發(fā)生的概率．(簡(jiǎn)稱:頻率的穩(wěn)定值為該事件的概率)記作：P(A)=p概率統(tǒng)計(jì)定義（可列可加性）3我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象，通常稱為古典概型4古典概型一．古典概型（等可能概型)一般,如果隨機(jī)試驗(yàn)E具有：(1)有限性：它的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)則稱隨機(jī)試驗(yàn)E為古典概型,也稱等可能概型(2)等可能性：在每次試驗(yàn)中,每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同523479108615

例如，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.6因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得.也就是說，10個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10.1324567891010個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)都是1/10234791086157我們用i表示取到i號(hào)球，i=1,2,…,10.稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型.34791086152且每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說基本事件)出現(xiàn)的可能性相同.S={1,2,…,10},則該試驗(yàn)的樣本空間如i=28記A={摸到2號(hào)球}

P(A)=?

P(A)=1/10記B={摸到紅球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456二．古典概型中事件概率的計(jì)算公式9這里實(shí)際上是從“比例”

轉(zhuǎn)化為“概率”記B={摸到紅球}

P(B)=6/10靜態(tài)動(dòng)態(tài)當(dāng)我們要求“摸到紅球”的概率時(shí)，只要找出它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的比例.2347910861510

這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題.定義

設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法

.

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點(diǎn)總數(shù)11下面我們就來介紹如何計(jì)算古典概率.排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.12基本計(jì)數(shù)原理這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所要用到的1.加法原理設(shè)完成一件事有m種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法,…；

第m種方式有nm種方法,無論通過哪種方法都可以完成這件事，則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.13例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是14基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法,…；第m個(gè)步驟有nm種方法,必須通過每一步驟,才算完成這件事，15例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有多少種打扮？可以有種打扮16

加法原理和乘法原理是兩個(gè)很重要計(jì)數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問題，同時(shí)也是推導(dǎo)下面常用排列組合公式的基礎(chǔ).17排列、組合的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式排列和組合的區(qū)別：順序不同是不同的排列3把不同的鑰匙的6種排列而組合不管順序18從3個(gè)元素取出2個(gè)的排列總數(shù)有6種從3個(gè)元素取出2個(gè)的組合總數(shù)有3種191、排列:

從n個(gè)不同元素取k個(gè)（1kn)的不同排列總數(shù)為：k=n時(shí)稱全排列排列、組合的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式20ABDC例如：n=4,k=3第1次選取第2次選取第3次選取BDCBCDBDC……21從n個(gè)不同元素取k個(gè)（允許重復(fù)）（1kn)的不同排列總數(shù)為：例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法222、組合:從n個(gè)不同元素取k個(gè)（1kn)的不同組合總數(shù)為：常記作，稱為組合系數(shù)。你能證明嗎？23組合系數(shù)又常稱為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗霈F(xiàn)在下面的二項(xiàng)式展開的公式中：3、組合系數(shù)與二項(xiàng)式展開的關(guān)系24令

a=-1,b=1利用該公式，可得到許多有用的組合公式：令

a=b=1,得25由有比較兩邊

xk

的系數(shù)，可得

運(yùn)用二項(xiàng)式展開264、n個(gè)不同元素分為k組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rk的分法總數(shù)為r1個(gè)元素r2個(gè)元素rk個(gè)元素…n個(gè)元素因?yàn)?7請(qǐng)回答：對(duì)排列組合，我們介紹了幾個(gè)計(jì)算公式？排列：選排列，全排列，分組分配.組合；允許重復(fù)的排列;28三、古典概率計(jì)算舉例例1

把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：CISNCEE問:在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？29拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：

這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次.解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！30這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù).具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術(shù).31解：=0.3024允許重復(fù)的排列問：錯(cuò)在何處？例2

某城市的電話號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從0-9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率.計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同.從10個(gè)不同數(shù)字中取5個(gè)的排列32例3

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品33解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例4

n雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成n堆，每堆2只.問:“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？34“等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的.在實(shí)際應(yīng)用中，往往只能“近似地”出現(xiàn)等可能，“完全地”等可能是很難見到的。1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性”的條件.需要注意的是：35在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.36Ex1:擲兩顆均勻骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和是8的概率。答案：P=5/36擲一顆骰子，有6個(gè)等可能的結(jié)果，擲兩顆骰子，有6·6=36個(gè)等可能結(jié)果，設(shè)X為第一顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù)，Y為第二顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù)。A={X+Y=8},只有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）。372、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只38例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？正確的答案是：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.39“分球入箱”問題設(shè)有n個(gè)球，每個(gè)都以相同的概率1/N(Nn)落入N個(gè)箱子中的每一個(gè)中。根據(jù)以下條件，分別求事件A={某預(yù)先指定的n個(gè)箱子中各有一球}的概率p.條件：1.球編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限。2.球編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。3.球不編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。4.球不編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限以n=3,N=4為例計(jì)算。40“分球入箱”問題1.球編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限。因?yàn)槊總€(gè)箱子容納的球數(shù)不限，所以這是一個(gè)可重復(fù)的排列問題。41“分球入箱”問題2.球編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。這是一個(gè)選排列問題。42“分球入箱”問題3.球不編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。這是一個(gè)組合問題。43“分球入箱”問題4.球不編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限總情況數(shù)為：按占位法作，共有位置4+1+3-2=6（兩端不算）個(gè)，三個(gè)球在4個(gè)箱子中的一種分布就對(duì)應(yīng)于三個(gè)球在這6個(gè)位置上的一種占位法，共有443、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房453、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個(gè)人的生日互不相同的概率.人任一天463、許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：有n個(gè)旅客，乘火車途經(jīng)N個(gè)車站，