土木工程測量第05章

第五章測量誤差理論

◆測量與觀測值

◆觀測與觀測值的分類

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觀測條件

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等精度觀測和不等精度觀測

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直接觀測和間接觀測

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觀測和非獨(dú)立觀測第一節(jié)觀測誤差一、測量誤差的來源1．測量儀器和工具2．觀測者3．外界條件的影響由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。由于觀測者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。外界條件的變化所引起的誤差。觀測條件不相同的各次觀測，稱為非等精度觀測。觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；人、儀器和外界條件，通常稱為觀測條件。在觀測結(jié)果中，有時還會出現(xiàn)錯誤，稱之為粗差。粗差在觀測結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。二、測量誤差的分類例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld

計(jì)算改正

鋼尺溫度誤差lt

計(jì)算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)

操作時抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性?！裣到y(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計(jì)算改正、觀測方法、儀器檢校)測量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差1.粗差(錯誤)——超限的誤差3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相同，表面看無規(guī)律性。

例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差。

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準(zhǔn)確度(測量成果與真值的差異）

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最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

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測量平差（求解最或是值并評定精度）4.幾個概念:

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精（密）度（觀測值之間的離散程度）1．系統(tǒng)誤差

在相同觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差在測量成果中具有累積性，對測量成果影響較大，但它的符號和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。

（1）進(jìn)行計(jì)算改正

（2）選擇適當(dāng)?shù)挠^測方法

（3）檢驗(yàn)校正儀器2．偶然誤差

在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，如果觀測誤差的符號和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。三、偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對同一量觀測次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，觀測次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。例如，對三角形的三個內(nèi)角進(jìn)行測量，由于觀測值含有偶然誤差，三角形各內(nèi)角之和l不等于其真值180?。用X表示真值，則l與X的差值Δ稱為真誤差（即偶然誤差），即現(xiàn)在相同的觀測條件下觀測了217個三角形，計(jì)算出217個內(nèi)角和觀測值的真誤差。再按絕對值大小，分區(qū)間統(tǒng)計(jì)相應(yīng)的誤差個數(shù)，列入表中。

偶然誤差的統(tǒng)計(jì)**

（1）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差個數(shù)多；

（2）絕對值相等的正負(fù)誤差的個數(shù)大致相等；

（3）最大誤差不超過27″。**舉例:

在某測區(qū)，等精度觀測了358個三角形的內(nèi)角之和，得到358個三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對三角形閉合差i

進(jìn)行分析。

分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律

圖6-1誤差統(tǒng)計(jì)直方圖偶然誤差的四個特性：

（1）在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零；(有界性)

（2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；(趨向性)

（3）絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；(對稱性)

（4）同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)n的無限增大而趨于零，

(抵償性)即式中[Δ]——偶然誤差的代數(shù)和，***偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。圖6-1誤差統(tǒng)計(jì)直方圖第二節(jié)精度評定的標(biāo)準(zhǔn)在測量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評定測量成果的精度。中誤差

相對中誤差

極限誤差*一、中誤差設(shè)在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行n次重復(fù)觀測，其觀測值為l1，l2，…，ln，相應(yīng)的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測值的中誤差m為：式中[??]——真誤差的平方和，

例5-1設(shè)有甲、乙兩組觀測值，各組均為等精度觀測，它們的真誤差分別為：甲組：乙組：試計(jì)算甲、乙兩組各自的觀測精度。解:中誤差所代表的是某一組觀測值的精度。

m1小于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比較離散，其精度較低：

m1=2.7是第一組觀測值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。二、相對中誤差相對中誤差是中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測結(jié)果之比，并化為分子為1的分?jǐn)?shù)，即

例丈量兩段距離，D1=100m，m1=±1cm和D2=30m，m2=±1cm，試計(jì)算兩段距離的相對中誤差。解三、極限誤差在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應(yīng)超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差?；蛉绻硞€觀測值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認(rèn)為該觀測值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重測。

根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：

將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：

P(||m)=0.683=68.3出現(xiàn)機(jī)會（31.7%）P(||2m)=0.954=95.4出現(xiàn)機(jī)會（4.6%）P(||3m)=0.997=99.7出現(xiàn)機(jī)會（0.3%）測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=2|m|或|=3|m||一.一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(c)式為：由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得對(a)全微分：(b)設(shè)有函數(shù)：為獨(dú)立觀測值設(shè)有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差(a)第三節(jié)觀測值函數(shù)的中誤差（誤差傳播定律）對Z觀測了k次，有k個式(d)對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對K個(e)式取總和：(f)(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶然誤差的抵償性知：(g)式最后一項(xiàng)極小于前面各項(xiàng)，可忽略不計(jì)，則：<<前面各項(xiàng)即(h)(h)考慮，代入上式，得中誤差關(guān)系式：(6-10)上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。

通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：

1.列出函數(shù)式；2.對函數(shù)式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長度=168.5mm0.2mm,計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)的中誤差

2.線性函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù)其中、、分別為獨(dú)立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。

解：對上式全微分：由中誤差式得：

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術(shù)平均值的中誤差式

由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進(jìn)行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。4.和或差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測時：上式可寫成：例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

觀測值的算術(shù)平均值(最或是值)

用觀測值的改正數(shù)v計(jì)算觀測值的中誤差(即:白塞爾公式)

算術(shù)平均值的相對中誤差第四節(jié)等（同）精度直接觀測平差

一.觀測值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對某未知量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號兩邊分別相加得和：L=當(dāng)觀測無限多次時：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術(shù)平均

值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L≈X觀測值改正數(shù)特點(diǎn)二.觀測值的改正數(shù)v：以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計(jì)算各觀測值的改正數(shù)v，符合[vv]=min的“最小二乘原則”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特點(diǎn)1——改正數(shù)總和為零：對上式取和：以代入：通常用于計(jì)算檢核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特點(diǎn)2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n精度評定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號內(nèi)的部分是相等的，即在與中：精度評定——用觀測值的改正數(shù)v計(jì)算中誤差一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號內(nèi)相等對上式取n項(xiàng)的平方和由上兩式得其中:證明兩式根號內(nèi)相等中誤差定義:白塞爾公式:解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)算其中誤差：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表，求其算術(shù)平均值及觀測值的中誤差。算例1:76°42′45″

±1.74″

例5-2某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對誤差。148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046返回距離丈量精度計(jì)算例算例3：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測值的中誤差；③算術(shù)平均值的中誤差；④算術(shù)平均值的相對中誤差：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。第五節(jié)誤差傳播定律的應(yīng)用用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差m15。例1：要求三角形最大閉合差m15，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？?=(1+2+3)-180解：由題意：2m=15,則m=7.5每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(1)測量水平距離的精度

基本公式：

求全微分：

水平距離中誤差：

其中：

誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(2)測量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中誤差：

其中：

誤差傳播定律的應(yīng)用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長為求該正方形的周長S和面積A的中誤差.解:(1)周長,(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中:求該正方形的周長S和面積A的中誤差.

面積,

周長的中誤差為全微分:面積的中誤差為全微分:解:(1)周長和面積的中誤差分別為例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中:求該正方形的周長S和面積A的中誤差.

(2)周長;周長的中誤差為面積得周長的中誤差為全微分:但由于第六節(jié)不等（同）精度直接觀測平差一、權(quán)的概念權(quán)是權(quán)衡利弊、權(quán)衡輕重的意思。在測量工作中權(quán)是一個