統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)第4章綜合指標(biāo)

第4章

綜合指標(biāo)

總量指標(biāo)

基本指標(biāo)綜合指標(biāo)相對指標(biāo)派生指標(biāo)平均指標(biāo)變異指標(biāo)派生指標(biāo)綜合指標(biāo)從它的作用和方法特點的角度可概括為三類：

總量指標(biāo)相對指標(biāo)平均指標(biāo)概念：

總量指標(biāo)的概念總量指標(biāo)是反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象一定時間、地點、條件下總的規(guī)模、水平的統(tǒng)計指標(biāo)。

總量指標(biāo)表現(xiàn)形式是絕對數(shù)，也可表現(xiàn)為絕對差數(shù)。

例如：2005年我國財政收入30510億元，財政支出33510億元，財政赤字3000億元?？偭恐笜?biāo)的種類按反映的內(nèi)容不同總體標(biāo)志總量總體單位總量按反映的時間不同時期指標(biāo)時點指標(biāo)返回按其反映的內(nèi)容不同可分為：總體總量指標(biāo)——

說明總體的單位數(shù)數(shù)量。

標(biāo)志總量指標(biāo)——

說明總體中某個標(biāo)志值總和的量。

總量指標(biāo)的分類

按其反映的時間狀況不同可分為：時期指標(biāo)——

反映現(xiàn)象在某一時期發(fā)展過程的總數(shù)量。(可連續(xù)計數(shù)，與時間長短有關(guān)，是累計結(jié)果)時點指標(biāo)——

反映現(xiàn)象在某一時刻的狀況。(間斷計數(shù)，與時間間隔無關(guān)，不能累計)

時期指標(biāo)與時點指標(biāo)時期指標(biāo)(又稱流量指標(biāo))表明總體在一段時間內(nèi)累積的總量。時點指標(biāo)(又稱存量指標(biāo))表明總體在某一時刻的數(shù)量狀態(tài)。時期指標(biāo)和時點指標(biāo)的區(qū)別：

區(qū)別

時期指標(biāo)

時點指標(biāo)123

數(shù)值是連續(xù)登記結(jié)果各期數(shù)值可以直接相加數(shù)值大小與時期長短成正比數(shù)值是間斷計數(shù)的結(jié)果各時點的數(shù)值相加沒有實際意義數(shù)值大小與時點間間隔沒有直接關(guān)系。返回

根據(jù)總量指標(biāo)所反映的社會經(jīng)濟現(xiàn)象性質(zhì)不同，計量單位分三種形式：

(1)實物單位自然單位：輛、雙、頭、根、個……

b.度量衡單位：噸、米、克、立方米……

c.雙重單位：公里/小時、人/平方公里……d.復(fù)合單位：噸公里、公斤米、千瓦小時……

(2)價值單位(貨幣單位)

貨幣單位有現(xiàn)行價格和不變價格之分。

價值單位使不能直接相加的產(chǎn)品產(chǎn)量過渡到能夠加總，用于綜合說明具有不同使用價值的產(chǎn)品生產(chǎn)總量或商品銷售量等的總規(guī)模、總水平。(3)勞動單位

工時——

工人數(shù)和勞動時數(shù)的乘積；臺時——

設(shè)備臺數(shù)和開動時數(shù)的乘積。

例

由于具體條件不同，不同企業(yè)的勞動量指標(biāo)不具有可比性，因此，勞動量指標(biāo)只限于企業(yè)內(nèi)部使用。

是兩個有聯(lián)系的絕對指標(biāo)之比。

2005年我國對外貿(mào)易進口總額增長率為16.1%，出口總額增長率為25.7%。例

相對指標(biāo)的概念

-人口密度：人/平方公里

-平均每人分攤的糧食產(chǎn)量：千克/人

系數(shù)或倍數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1；

成數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為10；百分數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為100；

千分數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1000。

相對指標(biāo)的數(shù)值有兩種表現(xiàn)形式：無名數(shù)，分以下幾種:

有名數(shù)

相對指標(biāo)的種類和計算方法相對指標(biāo)計劃完成相對數(shù)結(jié)構(gòu)相對數(shù)比例相對數(shù)比較相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)強度相對數(shù)返回(一)計劃完成相對指標(biāo)

相對指標(biāo)的種類及其計算1.計算公式(1)根據(jù)絕對數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

計算結(jié)果表明該廠超額10%完成總產(chǎn)值計劃。

設(shè)某工廠某年計劃工業(yè)總產(chǎn)值為200萬元，實際完成220萬元，則：

(2)根據(jù)平均數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

某化肥廠某年每噸化肥計劃成本為200元，實際成本為180元，則：實際單位成本-計劃單位成本=180-200=-20(元)計算結(jié)果表明該廠化肥單位成本實際比計劃降低了10%，平均每噸化肥節(jié)約生產(chǎn)費用20元。例(3)根據(jù)相對數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品，上年度實際成本為420元/噸，本年度計劃單位成本降低6%，實際降低7.6%，則：∴比計劃多完成1.71%；例本題也可換算成絕對數(shù)計算：

∴計劃

-6%～394.8元/噸[(1-6%)×420]實際–7.6%～388.08元/噸[(1-7.6%)×420]

某企業(yè)計劃規(guī)定勞動生產(chǎn)率比上年提高10%，實際比上年提高15%，則：∴勞動生產(chǎn)率超額4.5%完成計劃任務(wù)。例以五年計劃來說明這個問題。

2.長期計劃的檢查(1)水平法

計算公式為：

某產(chǎn)品計劃規(guī)定第五年產(chǎn)量56萬噸，實際第五年

產(chǎn)量63萬噸，則：

那么，提前多少時間完成計劃？例月份一二三四五六七八九十十一十二合計第四年3.53.543.843.84(4(555449.6第五年4445555)6)666763第四年9月～第五年8月產(chǎn)量合計57萬噸第四年8月～第五年7月產(chǎn)量合計55萬噸

現(xiàn)假定第四年、第五年各月完成情況如下：

(單位：萬噸)正好生產(chǎn)56萬噸的時間應(yīng)是第四年八月第X天到第五年八月第(31-X)天。圖示如下：

∴X=15.5(天)即提前四個月又15天半完成五年計劃。

51(31-x)56(31-x)xx第四年9月～第五年7月第四年8月第五年8月（2）累計法

計算公式為：

提前完成計劃時間＝（計劃期月數(shù)－實際完成月數(shù)）+超額完成計劃數(shù)÷平均每日計劃數(shù)[例5]某市某五年計劃規(guī)定整個計劃期間基建投資總額達到500億元，實際執(zhí)行情況如下：時間第1年第2年第

3年第4年第5年5年合計一季度二季度三季度四季度投資額140135708040221820525試計算該市5年基建投資額計劃完成相對數(shù)和提前完成時間。解：

1.計劃完成相對數(shù)＝525÷500＝105％

2.從第一年的第一季度起至第5年的第三季度投資額之和505億元，比計劃數(shù)500億元多5億元，則：提前完成計劃時間＝（60-57）+5÷[500/（365×5）]=3個月零18天(二)

結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)

計算公式為：

上海市“十五”期間GDP構(gòu)成（%）

2001年2002年2003年2004年2005年第一產(chǎn)業(yè)1.731.631.491.300.87第二產(chǎn)業(yè)47.5847.4250.0950.8548.95第三產(chǎn)業(yè)50.6950.9548.4247.8550.18例(三)比例相對指標(biāo)

計算公式為：

常用的比例形式有兩種：

1.將作為比較基礎(chǔ)的數(shù)值抽象化為1、10、100或1000，看被比較的數(shù)值是多少。

我國2000年第五次人口普查結(jié)果，男女性別比例為106.74:100，這說明以女性為100，男性人口是女性人口數(shù)的106.74倍。簡稱性比例106.74。目前已上升到116.86：100。

例2.首先將總體全部數(shù)值抽象化為100，求得各部分數(shù)值在總體中所占百分數(shù)，然后將各部分的百分數(shù)連比得比例相對數(shù)。

2005年北京市GDP抽象化為100，第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)、第三產(chǎn)業(yè)的比例為：0.87︰48.95︰50.18。

例(四)比較相對指標(biāo)(類比相對指標(biāo))

計算公式為：

比較相對數(shù)的特點：

1.分子分母的數(shù)值分別屬于不同的總體。

2.分子分母是同類指標(biāo)。

3.分子分母可以互換。

某年有甲、乙兩企業(yè)同時生產(chǎn)一種性能相同的產(chǎn)品，甲企業(yè)工人勞動生產(chǎn)率為19,307元，乙企業(yè)為27,994元。說明甲企業(yè)勞動生產(chǎn)率比乙企業(yè)低31%。例(五)強度相對指標(biāo)

計算公式為：

①一般用復(fù)名數(shù)表示；

②也有少數(shù)用百分數(shù)或千分數(shù)表示。

1.強度相對數(shù)的數(shù)值表示有兩種方法：用百分數(shù)表示說明平均每百元銷售額負擔(dān)多少流通費。產(chǎn)值利潤率、資金利潤率一般用千分數(shù)表示。

例某城市人口100萬人，有零售商業(yè)機構(gòu)5000個，則：例2.有些強度相對數(shù)有正、逆兩種計算方法：(六)動態(tài)相對指標(biāo)

計算公式為：

基期

——作為對比標(biāo)準(zhǔn)的時間報告期——

同基期比較的時期，也稱計算期

2.特點

-數(shù)量抽象性

-集中趨勢代表性1.概念

平均指標(biāo)是指在同質(zhì)總體內(nèi)將各單位某一數(shù)量標(biāo)志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。

平均指標(biāo)的意義和作用

-比較作用

a.同類現(xiàn)象在不同空間的對比。

b.同一總體在不同時間上的比較。

-利用平均指標(biāo)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系

-利用平均指標(biāo)可以進行數(shù)量上的推算，還可以作為論斷事物的一種數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考3.作用

4.種類

算術(shù)平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù) 眾數(shù)

位置平均數(shù)

中位數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)的基本公式

算術(shù)平均數(shù)

式中：——

算術(shù)平均數(shù)

X——

各單位的標(biāo)志值

n——

總體單位數(shù)

——

總和符號2.簡單算術(shù)平均數(shù)式中：——

算術(shù)平均數(shù)

X——

各組數(shù)值

f——

各組數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(即權(quán)數(shù))3.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)設(shè)某廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合計-16413550例在掌握比重權(quán)數(shù)的情況下，可以直接利用權(quán)數(shù)系數(shù)來求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其公式為：按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合計-1641.0082.7加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因素的影響：

變量值大小的影響。次數(shù)多少的影響。

而簡單算術(shù)平均數(shù)只反映變量值大小這一因素的影響。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)不同在于：①各個變量值與算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零4.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)簡單平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)：②各個變量值與算術(shù)平均數(shù)離差平方之和

等于最小值△算術(shù)平均數(shù)的特點算術(shù)平均數(shù)適合用代數(shù)方法運算，因此運用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變??；受極大值的影響大于受極小值的影響；當(dāng)組距數(shù)列為開口組時，由于組中點不易確定，使的代表性也不很可靠。

調(diào)和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。三、調(diào)和平均數(shù)(又稱“倒數(shù)平均數(shù)”)

其計算方法如下：在社會經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)中經(jīng)常用到的僅是一種特定權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。即有以下數(shù)學(xué)關(guān)系式成立：m是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標(biāo)志值總量。已知某商品在三個集市貿(mào)易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價格(元)(即銷售量)

甲1.003000030000乙1.503000020000丙1.403500025000合計-95000750001.由平均數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：例某公司有四個工廠，已知其計劃完成程度(%)及實際產(chǎn)值資料如下：工廠計劃完成程度(%)X實際產(chǎn)值(萬元)m=Xf實際產(chǎn)值÷計劃完成程度(%)(即計劃產(chǎn)值)(萬元)

甲9090100乙100200200丙110330300丁120480400合計-1,1001,0002.由相對數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：例△調(diào)和平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于零，則無法計算；較之算術(shù)平均數(shù)，受極端值的影響要小。1.簡單幾何平均數(shù)

幾何平均數(shù)(又稱“對數(shù)平均數(shù)”)計算時要進行對數(shù)變換，即：例

某機械廠有鑄造車間、機加工車間、裝配車間三個連續(xù)流水作業(yè)車間。本月份這三個車間產(chǎn)品合格率分別為95%、92%、90%，求平均車間產(chǎn)品合格率。解：這說明該廠車間產(chǎn)品平均合格率為92.31%2.加權(quán)幾何平均數(shù)△幾何平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一個標(biāo)志值等于零或負值，就無法計算；受極端值的影響較和小；它適用于反映特定現(xiàn)象的平均水平，即現(xiàn)象的總標(biāo)志值是各單位標(biāo)志值的連乘積。由定義可看出眾數(shù)存在的條件：1.概念：眾數(shù)是在總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個標(biāo)志值

眾數(shù)M0M0M0M0M0M0若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。①只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數(shù)。下三圖無眾數(shù)：②在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時，計算眾數(shù)是沒有意義的。①根據(jù)單項數(shù)列確定眾數(shù)；價格(元)銷售數(shù)量(千克)2.00202.40603.001404.0080合計300某種商品的價格情況眾數(shù)M0=3.00(元)2.眾數(shù)的計算方法例②根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)⑵利用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。⑴由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組；按日產(chǎn)量分組(千克)工人人數(shù)(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即眾數(shù)所在組。例計算眾數(shù)的近似值：下限公式：上限公式：由下限公式，日產(chǎn)量眾數(shù)由上限公式，日產(chǎn)量眾數(shù)△眾數(shù)的特點

眾數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標(biāo)志值的影響，從而增強了對變量數(shù)列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。

眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數(shù)2.中位數(shù)的計算方法1.概念：將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標(biāo)志值就是中位數(shù)。

中位數(shù)Me⑴n為奇數(shù)時，則居于中間位置的那個標(biāo)志值

就是中位數(shù)。例⑵n為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標(biāo)志值的算術(shù)

平均數(shù)為中位數(shù)。②由單項數(shù)列確定中位數(shù)某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下：按日產(chǎn)零件分組（件）工人數(shù)（人）較小制累計較大制累計26338031101377321427673427545336187226418808合計80--例③由組距數(shù)列確定中位數(shù)

按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)以下累計以上累計50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合計164--下限公式（以下累計時用）：上限公式（以上制累計時用）：①中位數(shù)不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和是個最小值。③對某些不具有數(shù)學(xué)特點或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)求其一般水平。3.中位數(shù)的特點f如圖：(二）三者的關(guān)系1.當(dāng)總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一,如圖：fX2.

當(dāng)總體分布呈非對稱狀態(tài)時如圖：fX所以如果，則說明分布右偏（或上偏）如果，則說明分布左偏（或下偏）如果，則說明分布對稱一組工人的月收入眾數(shù)為700元，月收入的算術(shù)平均數(shù)為1000元，則月收入的中位數(shù)近似值是：例根據(jù)卡爾·皮爾遜經(jīng)驗公式，還可以推算出：

變異指標(biāo)的種類和計算變異指標(biāo)全距平均差標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)返回①標(biāo)志變動度是評價平均數(shù)代表性的依據(jù)。

標(biāo)志變動度2.作用：1.概念：標(biāo)志變動度是指總體中各單位標(biāo)志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。

標(biāo)志變動度的意義、作用和種類

甲、乙兩學(xué)生某次考試成績列表語文數(shù)學(xué)物理化學(xué)政治英語甲959065707585乙1107095508075

甲、乙兩學(xué)生的平均成績?yōu)?0分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。例②標(biāo)志變動度可用來反映社會生產(chǎn)和其他社會經(jīng)濟活動過程的均衡性或協(xié)調(diào)性，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定程度。

供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執(zhí)行結(jié)果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例3.種類即測定標(biāo)志變動度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.標(biāo)準(zhǔn)差 S.D.(σ)離散系數(shù) Vσ①優(yōu)點：計算方便，易于理解。②缺點：全距只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，它是測定標(biāo)志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標(biāo)志的變異程度。1.全距是總體各單位標(biāo)志值最大值和最小值之差,2.全距的特點

全距R1.概念：將總體各單位的標(biāo)志值按大小順序排列，然后將數(shù)列分為四等分，形成三個分割點(Q1、Q2、Q3)，這三個分割點稱為四分位數(shù)，(其中第二個四分位數(shù)Q2就是數(shù)列的中位數(shù)Me)。

四分位差

Q.D.=Q3-Q1

四分位差Q.D.①根據(jù)未分組資料求Q.D.2.計算：例①四分位差不受兩端各25%數(shù)值的影響，能對開口組數(shù)列的差異程度進行測定；②用四分位差可以衡量中位數(shù)的代表性高低；③四分位差不反映所有標(biāo)志值的差異程度，它所描述的只是次數(shù)分配中一半的離差，所以也是一個比較粗略的指標(biāo)。四分位差的特點

平均差是數(shù)列中各單位標(biāo)志值與平均數(shù)之間絕對離差的平均數(shù)。1.概念和計算：

平均差A(yù).D.以某車間100個工人按日產(chǎn)量編成變量數(shù)列的資料：工人按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值XXf20-30525125-178530-4035351225-724540-5045452025313550-60155582513195合計100-4200-660例

平均差例題分析

某車間工人日產(chǎn)量量數(shù)據(jù)平均差計算表按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）f組中值

xxf40——5050——6060——7070——80122038104555657554011002470750189115161.5142.5

合計80

——4860608.0平均差例題分析

計算結(jié)果表明:每個工人日產(chǎn)量與平均日產(chǎn)量平均相差7.6件/人。(件/人)(件/人)①平均差是根據(jù)全部標(biāo)志值與平均數(shù)離差而計算出的變異指標(biāo)，能全面反映標(biāo)志值的差異程度；②平均差計算有絕對值符號，不適合代數(shù)