湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知無窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.2.執(zhí)行下面的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.3.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為則()A. B.C. D.4.已知雙曲線,點是直線上任意一點,若圓與雙曲線的右支沒有公共點,則雙曲線的離心率取值范圍是().A. B. C. D.5.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù);②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高;③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低;④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④6.若雙曲線:()的一個焦點為,過點的直線與雙曲線交于、兩點,且的中點為,則的方程為()A. B. C. D.7.已知集合,則集合的非空子集個數(shù)是()A.2 B.3 C.7 D.88.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時,,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.9.函數(shù)的定義域為,集合,則()A. B. C. D.10.設(shè),分別是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于,兩點,且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.11.設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.12.已知函數(shù),若,則的值等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,且,則的最小值是______.14.已知拋物線的焦點和橢圓的右焦點重合,直線過拋物線的焦點與拋物線交于、兩點和橢圓交于、兩點,為拋物線準(zhǔn)線上一動點,滿足,,當(dāng)面積最大時,直線的方程為______.15.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是_____.16.已知函數(shù).若在區(qū)間上恒成立.則實數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點,且滿足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.18.(12分)設(shè)(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.20.(12分)11月,2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽舉辦,其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點投籃比賽(每人各投一次為一輪),在相同的條件下,每輪甲乙兩人在同一位置,甲先投,每人投一次球,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分,設(shè)甲每次投球命中的概率為,乙每次投球命中的概率為,且各次投球互不影響.(1)經(jīng)過1輪投球,記甲的得分為,求的分布列;(2)若經(jīng)過輪投球,用表示經(jīng)過第輪投球,累計得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②規(guī)定,經(jīng)過計算機(jī)計算可估計得,請根據(jù)①中的值分別寫出a,c關(guān)于b的表達(dá)式,并由此求出數(shù)列的通項公式.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時,若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求證:.22.(10分)已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,的前n項和為,滿足,,,.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)令,數(shù)列的前n項和,求.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項,再求出,利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果。【詳解】因為無窮等比數(shù)列的公比為2,則無窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A。【點睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。2、D【解析】

根據(jù)框圖,模擬程序運行,即可求出答案.【詳解】運行程序,,

,,,,,結(jié)束循環(huán),故輸出,故選:D.【點睛】本題主要考查了程序框圖,循環(huán)結(jié)構(gòu),條件分支結(jié)構(gòu),屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法,代入化簡即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點坐標(biāo)的幾何意義,復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程,可得則直線與直線的距離,根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點,可得,解得即可.【詳解】由題意,雙曲線的一條漸近線方程為,即,∵是直線上任意一點,則直線與直線的距離,∵圓與雙曲線的右支沒有公共點,則,∴,即,又故的取值范圍為,故選:B.【點睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系,以及兩平行線間的距離公式,其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點得出是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯誤;,,則,故②錯誤,③正確;顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).6、D【解析】

求出直線的斜率和方程,代入雙曲線的方程,運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式,結(jié)合焦點的坐標(biāo),可得的方程組,求得的值,即可得到答案.【詳解】由題意,直線的斜率為,可得直線的方程為,把直線的方程代入雙曲線,可得,設(shè),則,由的中點為,可得,解答,又由,即,解得,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,其中解答中屬于運用雙曲線的焦點和聯(lián)立方程組,合理利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.7、C【解析】

先確定集合中元素,可得非空子集個數(shù).【詳解】由題意,共3個元素,其子集個數(shù)為,非空子集有7個.故選:C.【點睛】本題考查集合的概念,考查子集的概念,含有個元素的集合其子集個數(shù)為,非空子集有個.8、D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識,并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點,構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運用這種思想去解決,往往能獲得簡潔明快的思路,有著非凡的功效.9、A【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點睛】本題考查了交集及其運算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)表示出線段長度,由勾股定理,解出每條線段的長度,再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系,求出離心率.【詳解】設(shè),則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項.【點睛】本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個常用方法,通過幾何關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)系,得到離心率.屬于中檔題.11、A【解析】

計算的中點坐標(biāo)為,圓半徑為,得到圓方程.【詳解】的中點坐標(biāo)為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計算能力.12、B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得,【詳解】∵其中為奇函數(shù),也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選:B【點睛】函數(shù)奇偶性的運用即得結(jié)果,小記,定義域關(guān)于原點對稱時有:①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù);②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù);③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù);④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù);⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù);⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、8【解析】

利用的代換,將寫成,然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因為(即取等號),所以最小值為.【點睛】已知,求解()的最小值的處理方法:利用,得到,展開后利用基本不等式求解,注意取等號的條件.14、【解析】

根據(jù)均值不等式得到,,根據(jù)等號成立條件得到直線的傾斜角為,計算得到直線方程.【詳解】由橢圓,可知,,,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng),等號成立),,,,,直線的傾斜角為,直線的方程為.故答案為:.【點睛】本題考查了拋物線,橢圓,直線的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.15、【解析】

對函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化,分離參數(shù)討論交點個數(shù),數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由題:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點,,等價于函數(shù)恰有兩個公共點,作出大致圖象:要有兩個交點,即,所以.故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)零點問題,根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于對函數(shù)零點問題恰當(dāng)變形,等價轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合求解.16、【解析】

首先解不等式,再由在區(qū)間上恒成立,即得到不等組,解得即可.【詳解】解:且,即解得,即因為在區(qū)間上恒成立,解得即故答案為:【點睛】本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)連接,設(shè),連接.通過證明,證得直線平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的正弦值.【詳解】(1)連接,設(shè),連接,因為,所以,所以,在中,因為,所以,且平面,故平面.(2)因為,,,,,所以,因為,平面,所以平面,所以,,取所在直線為軸,取所在直線為軸,取所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知可得,,,,所以,因為,所以,所以點的坐標(biāo)為,所以,,設(shè)為平面的法向量,則,令,解得,,所以,即為平面的一個法向量.,同理可求得平面的一個法向量為所以所以二面角的正弦值為【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)通過討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對值將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解:(1)當(dāng)時,,即或或解之得或,即不等式的解集為.(2)由題意得:當(dāng)時為減函數(shù),顯然恒成立.當(dāng)時,為增函數(shù),,當(dāng)時,為減函數(shù),綜上所述:使恒成立的的取值范圍為.【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1)答案見解析(2)【解析】

(1)先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,對分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當(dāng)時,則,故在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,.∴,即所求的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).20、(1)分布列見解析;(2)①;②,.【解析】

(1)經(jīng)過1輪投球,甲的得分的取值為,記一輪投球,甲投中為事件,乙投中為事件,相互獨立,計算概率后可得分布列;(2)由(1)得,由兩輪的得分可計算出,計算時可先計算出經(jīng)過2輪后甲的得分的分布列(的取值為),然后結(jié)合的分布列和的分布可計算,由,代入,得兩個方程,解得,從而得到數(shù)列的遞推式,變形后得是等比數(shù)列,由等比數(shù)列通項公式得,然后用累加法可求得.【詳解】(1)記一輪投球,甲命中為事件,乙命中為事件,相互獨立,由題意,,甲的得分的取值為,,,,∴的分布列為:-101(2)由(1),,同理,經(jīng)過2輪投球,甲的得分取值:記,,,則,,,,由此得甲的得分的分布列為:-2-1012∴,∵,,∴,,∴,代入得:,∴,∴數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項為,∴.∴.【點睛】本題考查隨機(jī)變量的概率分布列,考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率,考查由數(shù)列的遞推式求通項公式,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題難點在于求概率分布列,特別是經(jīng)過2輪投球后甲的得分的概率分布列,這里可用列舉法寫出各種可能,然后由獨立事件的概率公式計算出概率.21、(1);(2)當(dāng)時,在上是減函數(shù);當(dāng)時,在上是增函數(shù);(3)證明見解析.【解析】

(1)當(dāng)時,,求得其導(dǎo)函數(shù),,可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)由已知得,得出導(dǎo)函數(shù),并得出

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