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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象可能是()A. B. C. D.2.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.3.已知是等差數(shù)列的前項和,若,,則()A.5 B.10 C.15 D.204.已知實數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.5.已知函數(shù)且的圖象恒過定點,則函數(shù)圖象以點為對稱中心的充要條件是()A. B.C. D.6.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù);②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高;③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低;④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④7.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個向量,它的長度,若,,則()A. B.C.6 D.8.若向量,則()A.30 B.31 C.32 D.339.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.10.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知圓:,圓:,點、分別是圓、圓上的動點,為軸上的動點,則的最大值是()A. B.9 C.7 D.12.已知,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域為,其圖象如圖所示.函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),滿足,且當(dāng)時,.給出下列三個結(jié)論:①;②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個零點;③不等式的解集為.其中,正確結(jié)論的序號是________.14.設(shè)為數(shù)列的前項和,若,則____15.已知點是直線上的一點,將直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,所得直線方程是,若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角,所得直線方程是,則直線的方程是______.16.函數(shù)的定義域為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動,治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用(百萬元)和銷量(萬盒)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費用(百萬元)2361013151821銷量(萬盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時,可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對其進行兩次檢測,當(dāng)?shù)谝淮螜z測合格后,才能進行第二次檢測.第一次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測過程相互獨立,設(shè)經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.18.(12分)已知函數(shù)(I)若討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若,且對于函數(shù)的圖象上兩點,存在,使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證:.19.(12分)已知等比數(shù)列中,,是和的等差中項.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)記,求數(shù)列的前項和.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為().(1)求拋物線C的極坐標(biāo)方程;(2)若拋物線C與直線l交于A,B兩點,求的值.21.(12分)已知橢圓過點且橢圓的左、右焦點與短軸的端點構(gòu)成的四邊形的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2)設(shè)A是橢圓的左頂點,過右焦點F的直線,與橢圓交于P,Q,直線AP,AQ與直線交于M,N,線段MN的中點為E.①求證:;②記,,的面積分別為、、,求證:為定值.22.(10分)已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點,直線與曲線交于兩點,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號,結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,,該函數(shù)為偶函數(shù),排除B、D選項;當(dāng)時,,排除C選項.故選:A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象,一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號,結(jié)合排除法得出結(jié)果,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.2、C【解析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運算,運用平面向量基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡計算即可得到所求值.【詳解】在直角中,,,,,
,
若,則故選C.【點睛】本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運算能力,屬于中檔題.3、C【解析】
利用等差通項,設(shè)出和,然后,直接求解即可【詳解】令,則,,∴,,∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題,屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】
設(shè),,去絕對值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為實數(shù),滿足,設(shè),,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5、A【解析】
由題可得出的坐標(biāo)為,再利用點對稱的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點的坐標(biāo)為,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點問題和函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯誤;,,則,故②錯誤,③正確;顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).7、D【解析】
先根據(jù)向量坐標(biāo)運算求出和,進而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標(biāo)運算,引入新定義,屬于簡單題目.8、C【解析】
先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其漸近線方程為,化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.10、C【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運算進行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.11、B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對稱點,,故的最大值為,故選B.考點:圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對稱性,求出所求式子的最大值.12、D【解析】
分別解出集合然后求并集.【詳解】解:,故選:D【點睛】考查集合的并集運算,基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①③【解析】
利用奇函數(shù)和,得出函數(shù)的周期為,由圖可直接判斷①;利用賦值法求得,結(jié)合,進而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù),可判斷②的正誤;采用換元法,結(jié)合圖象即可得解,可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù),所以,又,所以,即,所以,函數(shù)的周期為.對于①,由于函數(shù)是上的奇函數(shù),所以,,故①正確;對于②,,令,可得,得,所以,函數(shù)在區(qū)間上的零點為和.因為函數(shù)的周期為,所以函數(shù)在內(nèi)有個零點,分別是、、、、,故②錯誤;對于③,令,則需求的解集,由圖象可知,,所以,故③正確.故答案為:①③.【點睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),涉及奇偶性、周期性和零點等知識點,考查學(xué)生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合能力,屬于中等題.14、【解析】
當(dāng)時,由,解得,當(dāng)時,,兩式相減可得,即,可得數(shù)列是等比數(shù)列再求通項公式.【詳解】當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,兩式相減可得,即,即,故數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以.故答案為:【點睛】本題考查數(shù)列的前項和與通項公式的關(guān)系,還考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
求出點坐標(biāo),由于直線與直線垂直,得出直線的斜率為,再由點斜式寫出直線的方程.【詳解】由于直線可看成直線先繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角得到,則直線與直線垂直,即直線的斜率為所以直線的方程為,即故答案為:【點睛】本題主要考查了求直線的方程,涉及了求直線的交點以及直線與直線的位置關(guān)系,屬于中檔題.16、【解析】
對數(shù)函數(shù)的定義域需滿足真數(shù)大于0,再由指數(shù)型不等式求解出解集即可.【詳解】對函數(shù)有意義,即.故答案為:【點睛】本題考查求對數(shù)函數(shù)的定義域,還考查了指數(shù)型不等式求解,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0.98;可用線性回歸模型擬合.(2)【解析】
(1)根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出,代入相關(guān)系數(shù)公式求出,根據(jù)的大小來確定結(jié)果;(2)求出藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率,發(fā)現(xiàn)它們相同,那么經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,服從二項分布,利用二項分布的期望公式求解即可.【詳解】解:(1)由題意可知,,由公式,,∴與的關(guān)系可用線性回歸模型擬合;(2)藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率分別為,,,由題意,,.【點睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的求解,考查二項分布的期望,是中檔題.18、(1)見解析(2)見證明【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),分別討論,以及,即可得出結(jié)果;(2)根據(jù)題意,由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到,將證明轉(zhuǎn)化為證明即可,再令,設(shè),用導(dǎo)數(shù)方法判斷出的單調(diào)性,進而可得出結(jié)論成立.【詳解】(1)解:易得,函數(shù)的定義域為,,令,得或.①當(dāng)時,時,,函數(shù)單調(diào)遞減;時,,函數(shù)單調(diào)遞增.此時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為.②當(dāng)時,時,,函數(shù)單調(diào)遞減;或時,,函數(shù)單調(diào)遞增.此時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為,.③當(dāng)時,時,,函數(shù)單調(diào)遞增;此時,的減區(qū)間為.綜上,當(dāng)時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為:當(dāng)時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為.;當(dāng)時,增區(qū)間為.(2)證明:由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得由(1)中得.易知,導(dǎo)函數(shù)在上為增函數(shù),所以,要證,只要證,即,即證.因為,不妨令,則.所以,所以在上為增函數(shù),所以,即,所以,即,即.故有(得證).【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,通常需要對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值等即可,屬于??碱}型.19、(1)(2)【解析】
(1)用等比數(shù)列的首項和公比分別表示出已知條件,解方程組即可求得公比,代入等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果;(2)把(1)中求得的結(jié)果代入bn=an?log2an,求出bn,利用錯位相減法求出Tn.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意知:,∴,即.∴,即.(2),∴.①.②①-②得∴.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和等差中項的概念以及錯位相減法求和,考查運算能力,屬中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,,即可求得結(jié)果.(2)由的幾何意義得,.將代入拋物線C的方程,利用韋達定理,,即可求得結(jié)果.【詳解】(1)因為,,代入得,所以拋物線C的極坐標(biāo)方程為.(2)將代入拋物線C的方程得,所以,,所以,由的幾何意義得,.【點睛】本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,考查極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,難度一般.21、(1);(2)①證明見解析;②證明見解析【解析】
(1)解方程即可;(2)①設(shè)直線,,,將點的坐標(biāo)用表示,證明即可;②分別用表示,,的面積即可.【詳解】(1)解之得:的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(2)①,,設(shè)直線代入橢圓方程:設(shè),,,直線,直線,,,,,.②,所以.【點睛】本題考查了直接法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓位置關(guān)系中的定值問題,在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系,本題思路簡單,但計算量比較大,是一道有一定難度的題.22、(1)直線普通方程:,曲線直角坐標(biāo)方程:;(2).【解析】
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