概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)

1§8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念

假設(shè)檢驗(yàn)是指施加于一個(gè)或多個(gè)總體的概率分布或參數(shù)的假設(shè).所作的假設(shè)可以是正確的,也可以是錯(cuò)誤的.

為判斷所作的假設(shè)是否正確,從總體中抽取樣本,根據(jù)樣本的取值,按一定的原則進(jìn)行檢驗(yàn),然后,作出接受或拒絕所作假設(shè)的決定.何為假設(shè)檢驗(yàn)?§8.12假設(shè)檢驗(yàn)所以可行,其理論背景為實(shí)際推斷原理,即“小概率原理”假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容參數(shù)檢驗(yàn)（§8.2）非參數(shù)檢驗(yàn)總體均值,均值差的檢驗(yàn)總體方差,方差比的檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)（§8.3）符號(hào)檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)3

引例1

某產(chǎn)品出廠檢驗(yàn)規(guī)定:次品率p不超過(guò)4%才能出廠.現(xiàn)從一萬(wàn)件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問(wèn)該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品,問(wèn)能否出廠？解

假設(shè)這是小概率事件,一般在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的,現(xiàn)一次試驗(yàn)竟然發(fā)生,故認(rèn)為原假設(shè)不成立,即該批產(chǎn)品次品率,則該批產(chǎn)品不能出廠.4這不是小概率事件,沒(méi)理由拒絕原假設(shè),從而接受原假設(shè),即該批產(chǎn)品可以出廠.若不采用假設(shè)檢驗(yàn),按理也不能夠出廠.注直接算5對(duì)總體提出假設(shè)要求利用樣本觀察值對(duì)提供的信息作出接受(可出廠),還是接受(不準(zhǔn)出廠)的判斷.出廠檢驗(yàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型6

某廠生產(chǎn)的螺釘,按標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度為68/mm2,而實(shí)際生產(chǎn)的強(qiáng)度X服N(,3.62).若E(X)==68,則認(rèn)為這批螺釘符合要求,否則認(rèn)為不符合要求.為此提出如下假設(shè):H0:=68稱為原假設(shè)或零假設(shè)

原假設(shè)的對(duì)立面:H1:

68稱為備擇假設(shè)現(xiàn)從生產(chǎn)的螺釘中抽取容量為36的樣本,其均值為

,問(wèn)原假設(shè)是否正確?

引例2

引例27若原假設(shè)正確,則故取較大值是小概率事件.因而

,即偏離68不應(yīng)該太遠(yuǎn),偏離較遠(yuǎn)是小概率事件,由于

8規(guī)定為小概率事件的概率大小,通常取

=0.05,0.01,…例如,取=0.05,則因此,可以確定一個(gè)常數(shù)c,使得9由為檢驗(yàn)的接受域(實(shí)際上沒(méi)理由拒絕),現(xiàn)落入接受域,則接受原假設(shè)而區(qū)間(,66.824)與(69.18,+)為檢驗(yàn)的拒絕域稱的取值區(qū)間(66.824,69.18)H0:=6810由引例2可見(jiàn),在給定的前提下,接受還是拒絕原假設(shè)完全取決于樣本值,因此所作檢驗(yàn)可能導(dǎo)致以下兩類錯(cuò)誤的產(chǎn)生：第一類錯(cuò)誤棄真錯(cuò)誤第二類錯(cuò)誤取偽錯(cuò)誤11正確正確第一類錯(cuò)誤

(棄真)第二類錯(cuò)誤

(取偽)假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤犯第一類錯(cuò)誤的概率通常記為犯第二類錯(cuò)誤的概率通常記為表H0為真H0為假真實(shí)情況所作判斷接受H0拒絕H012

任何檢驗(yàn)方法都不能完全排除犯錯(cuò)誤的可能性.理想的檢驗(yàn)方法應(yīng)使犯兩類錯(cuò)誤的概率都很小,但在樣本容量給定的情形下,不可能使兩者都很小,降低一個(gè),往往使另一個(gè)增大.

假設(shè)檢驗(yàn)的指導(dǎo)思想是控制犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò),然后,若有必要,通過(guò)增大樣本容量的方法來(lái)減少

.13P(拒絕H0|H0為真)若H0為真,則

所以,拒絕H0的概率為,又稱為顯著性水平,越大,犯第一類錯(cuò)誤的概率越大,即越顯著.引例2

中，犯第一類錯(cuò)誤的概率14H0不真,即68,可能小于68,也可能大于68,的大小取決于的真值的大小.下面計(jì)算犯第二類錯(cuò)誤的概率

設(shè)=P(接受H0|H0不真)15若取偽的概率較大.16/2/2H0

真H0

不真圖17仍取=0.05,則由可以確定拒絕域?yàn)?/p>

(,67.118)與(68.882,+)因此，接受域?yàn)?67.118,68.882)現(xiàn)增大樣本容量,取n=64,=66,則1819

當(dāng)樣本容量確定后,犯兩類錯(cuò)誤的命題概率不可能同時(shí)減少.此時(shí)犯第二類錯(cuò)誤的概率為證設(shè)在水平給定下,檢驗(yàn)假設(shè)證明20又由此可見(jiàn),當(dāng)

n固定時(shí)1)若2)若(見(jiàn)注)證畢.21注從而當(dāng)時(shí)22一般,作假設(shè)檢驗(yàn)時(shí),先控制犯第一類錯(cuò)誤的概率,在此基礎(chǔ)上使盡量地小.要降低一般要增大樣本容量.當(dāng)H0不真時(shí),參數(shù)值越接近真值,越大.備擇假設(shè)可以是單側(cè),也可以雙側(cè).原假設(shè)H0:=68；備擇假設(shè)H1:

>68注1o注2o引例2中的備擇假設(shè)是雙側(cè)的.若根據(jù)以往生產(chǎn)情況,0=68.現(xiàn)采用了新工藝,關(guān)心的是新工藝能否提高螺釘強(qiáng)度,越大越好.此時(shí),可作如下的假設(shè)檢驗(yàn):23當(dāng)原假設(shè)H0:=0=68為真時(shí),取較大值的概率較小當(dāng)備擇假設(shè)H1:>68為真時(shí),取較大值的概率較大給定顯著性水平,根據(jù)可確定拒絕域24因而,接受域稱這種檢驗(yàn)為右邊檢驗(yàn).原假設(shè)H0:68備擇假設(shè)H1:

>68另外,可設(shè)若原假設(shè)正確,則25但現(xiàn)不知的真值,只知0=68

——小概率事件故取拒絕域顯著性水平不超過(guò)26關(guān)于零假設(shè)與備擇假設(shè)的選取H0與H1地位應(yīng)平等,但在控制犯第一類錯(cuò)誤的概率的原則下,使得采取拒絕H0的決策變得較慎重,即H0得到特別的保護(hù).因而,通常把有把握的、有經(jīng)驗(yàn)的結(jié)論作為原假設(shè),或者盡可能使后果嚴(yán)重的錯(cuò)誤成為第一類錯(cuò)誤.注3o27假設(shè)檢驗(yàn)步驟(三部曲)

其中

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所關(guān)心的內(nèi)容,建立H0與H1

在H0為真時(shí),選擇合適的統(tǒng)計(jì)量V,由H1確給定顯著性水平,其對(duì)應(yīng)的拒絕域雙側(cè)檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)定拒絕域形式

根據(jù)樣本值計(jì)算,并作出相應(yīng)的判斷.右邊檢驗(yàn)三部曲

28§8.2正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)拒絕域的推導(dǎo)設(shè)X~N(2)，2已知，需檢驗(yàn)：H0:0；H1:0構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

給定顯著性水平與樣本值(x1,x2,…,xn)一個(gè)正態(tài)總體（1）關(guān)于的檢驗(yàn)29P(拒絕H0|H0為真)所以本檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)镠0：U檢驗(yàn)法300000

<

0

>

0U檢驗(yàn)法

(2已知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域U檢驗(yàn)法310000

<

0

>

0T檢驗(yàn)法

(2未知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域T檢驗(yàn)法32例1

某廠生產(chǎn)小型馬達(dá),說(shuō)明書(shū)上寫(xiě)著:這種小型馬達(dá)在正常負(fù)載下平均消耗電流不會(huì)超過(guò)0.8安培.

現(xiàn)隨機(jī)抽取16臺(tái)馬達(dá)試驗(yàn),求得平均消耗電流為0.92安培,消耗電流的標(biāo)準(zhǔn)差為0.32安培.

假設(shè)馬達(dá)所消耗的電流服從正態(tài)分布,取顯著性水平為

=0.05,問(wèn)根據(jù)這個(gè)樣本,能否否定廠方的斷言?解

根據(jù)題意待檢假設(shè)可設(shè)為例133

H0:0.8；

H1:>0.8

未知,故選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:查表得

t0.05(15)=1.753,故拒絕域?yàn)楝F(xiàn)故接受原假設(shè),即不能否定廠方斷言.34解二

H0:

0.8；

H1:<0.8

選用統(tǒng)計(jì)量:查表得

t0.05(15)=1.753,故拒絕域現(xiàn)故接受原假設(shè),即否定廠方斷言.35

由例1可見(jiàn):對(duì)問(wèn)題的提法不同(把哪個(gè)假設(shè)作為原假設(shè)),統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的結(jié)果也會(huì)不同.

上述兩種解法的立場(chǎng)不同，因此得到不同的結(jié)論.第一種假設(shè)是不輕易否定廠方的結(jié)論；第二種假設(shè)是不輕易相信廠方的結(jié)論.36由于假設(shè)檢驗(yàn)是控制犯第一類錯(cuò)誤的概率,使得拒絕原假設(shè)H0的決策變得比較慎重,也就是H0得到特別的保護(hù).因而,通常把有把握的,經(jīng)驗(yàn)的結(jié)論作為原假設(shè),或者盡量使后果嚴(yán)重的錯(cuò)誤成為第一類錯(cuò)誤.372022>022<022022=02202原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域

檢驗(yàn)法(

已知)（2）關(guān)于2的檢驗(yàn)

X2檢驗(yàn)法382022>022<022022=02202原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域(

未知)39

例2

某汽車配件廠在新工藝下對(duì)加工好的25個(gè)活塞的直徑進(jìn)行測(cè)量,得樣本方差S2=0.00066.已知老工藝生產(chǎn)的活塞直徑的方差為0.00040.問(wèn)進(jìn)一步改革的方向應(yīng)如何？(P.244例6)

解一般進(jìn)行工藝改革時(shí),若指標(biāo)的方差顯著增大,則改革需朝相反方向進(jìn)行以減少方差；若方差變化不顯著,則需試行別的改革方案.例240設(shè)測(cè)量值需考察改革后活塞直徑的方差是否不大于改革前的方差？故待檢驗(yàn)假設(shè)可設(shè)為：

H0:2

0.00040;

H1:2

>0.00040.

此時(shí)可采用效果相同的單邊假設(shè)檢驗(yàn)

H0:2

=0.00040；H1:2>0.00040.

41取統(tǒng)計(jì)量拒絕域0：落在0內(nèi),故拒絕H0.即改革后的方差顯著大于改革前,因此下一步的改革應(yīng)朝相反方向進(jìn)行.42設(shè)X~N(1

1

2),Y~

N(2

2

2)兩樣本X,Y相互獨(dú)立,樣本(X1,X2,…,Xn),(Y1,Y2,…,Ym)

樣本值(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,ym)顯著性水平兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)總體431–2

=(12，22

已知)(1)關(guān)于均值差1–

2

的檢驗(yàn)1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域1–2

檢441–2

=1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

其中12,

22未知12=

22原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域45

12=

22

12

22

12

22

12>

22

12

22

12<

22(2)關(guān)于方差比

12

/

22的檢驗(yàn)1,

2均未知原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域

12

/

22檢46例3

杜鵑總是把蛋生在別的鳥(niǎo)巢中,現(xiàn)從兩種鳥(niǎo)巢中得到杜鵑蛋24個(gè).其中9個(gè)來(lái)自一種鳥(niǎo)巢,15個(gè)來(lái)自另一種鳥(niǎo)巢,測(cè)得杜鵑蛋的長(zhǎng)度(mm)如下:m=1519.820.020.320.820.920.921.021.021.021.221.522.022.022.122.3n=921.221.621.922.022.022.222.822.923.247試判別兩個(gè)樣本均值的差異是僅由隨機(jī)因素造成的還是與來(lái)自不同的鳥(niǎo)巢有關(guān)().解

H0:1=

2

；

H1:1

2

取統(tǒng)計(jì)量48拒絕域0：統(tǒng)計(jì)量值.落在0內(nèi),拒絕H0即蛋的長(zhǎng)度與不同鳥(niǎo)巢有關(guān).49例4假設(shè)機(jī)器A和B都生產(chǎn)鋼管,要檢驗(yàn)A和B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度.設(shè)它們生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別為X和Y,且都服從正態(tài)分布X~N(1,

12),Y~N(2,

22)例4現(xiàn)從機(jī)器A和B生產(chǎn)的鋼管中各抽出18根和13根,測(cè)得

s12=0.34,s22=0.29,50設(shè)兩樣本相互獨(dú)立.問(wèn)是否能認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同?(取

=0.1)解設(shè)H0:

12=

22；H1:

12

22

查表得F0.05(17,12)=2.59,F0.95(17,12)=51拒絕域?yàn)?或由給定值算得:落在拒絕域外,故接受原假設(shè),即認(rèn)為內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同.52接受域置信區(qū)間假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)量樞軸量對(duì)偶關(guān)系同一函數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的聯(lián)系53

假設(shè)檢驗(yàn)與置信區(qū)間對(duì)照接受域置信區(qū)間檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布樞軸量及其分布

00（2

已知)（2

已知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1待估參數(shù)54接受域置信區(qū)間檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布樞軸量及其分布原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1待估參數(shù)

0

0（

2未知）（

2未知）55接受域置信區(qū)間檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布樞軸量及其分布原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1待估參數(shù)2022=022(未知)(未知)56例5

新設(shè)計(jì)的某種化學(xué)天平，其測(cè)量誤差服從正態(tài)分布,現(xiàn)要求99.7%的測(cè)量誤差不超過(guò)0.1mg,即要求30.1.現(xiàn)拿它與標(biāo)準(zhǔn)天平相比，得10個(gè)誤差數(shù)據(jù)，其樣本方差s2=0.0009.解一H0:1/30；H1:1/30例5試問(wèn)在=0.05的水平上能否認(rèn)為滿足設(shè)計(jì)要求？57拒絕域：未知,故選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量現(xiàn)故接受原假設(shè),即認(rèn)為滿足設(shè)計(jì)要求.58解二2的單側(cè)置信區(qū)間為H0中的滿足設(shè)計(jì)要求.則H0

成立,從而接受原假設(shè),即認(rèn)為59樣本容量的選取

雖然當(dāng)樣本容量n固定時(shí),我們不能同時(shí)控制