概率論與數(shù)理統(tǒng)計假設(shè)檢驗

1§8.1假設(shè)檢驗的基本概念

假設(shè)檢驗是指施加于一個或多個總體的概率分布或參數(shù)的假設(shè).所作的假設(shè)可以是正確的,也可以是錯誤的.

為判斷所作的假設(shè)是否正確,從總體中抽取樣本,根據(jù)樣本的取值,按一定的原則進行檢驗,然后,作出接受或拒絕所作假設(shè)的決定.何為假設(shè)檢驗?§8.12假設(shè)檢驗所以可行,其理論背景為實際推斷原理,即“小概率原理”假設(shè)檢驗的內(nèi)容參數(shù)檢驗（§8.2）非參數(shù)檢驗總體均值,均值差的檢驗總體方差,方差比的檢驗分布擬合檢驗（§8.3）符號檢驗秩和檢驗假設(shè)檢驗的理論依據(jù)3

引例1

某產(chǎn)品出廠檢驗規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否出廠？解

假設(shè)這是小概率事件,一般在一次試驗中是不會發(fā)生的,現(xiàn)一次試驗竟然發(fā)生,故認(rèn)為原假設(shè)不成立,即該批產(chǎn)品次品率,則該批產(chǎn)品不能出廠.4這不是小概率事件,沒理由拒絕原假設(shè),從而接受原假設(shè),即該批產(chǎn)品可以出廠.若不采用假設(shè)檢驗,按理也不能夠出廠.注直接算5對總體提出假設(shè)要求利用樣本觀察值對提供的信息作出接受(可出廠),還是接受(不準(zhǔn)出廠)的判斷.出廠檢驗問題的數(shù)學(xué)模型6

某廠生產(chǎn)的螺釘,按標(biāo)準(zhǔn)強度為68/mm2,而實際生產(chǎn)的強度X服N(,3.62).若E(X)==68,則認(rèn)為這批螺釘符合要求,否則認(rèn)為不符合要求.為此提出如下假設(shè):H0:=68稱為原假設(shè)或零假設(shè)

原假設(shè)的對立面:H1:

68稱為備擇假設(shè)現(xiàn)從生產(chǎn)的螺釘中抽取容量為36的樣本,其均值為

,問原假設(shè)是否正確?

引例2

引例27若原假設(shè)正確,則故取較大值是小概率事件.因而

,即偏離68不應(yīng)該太遠,偏離較遠是小概率事件,由于

8規(guī)定為小概率事件的概率大小,通常取

=0.05,0.01,…例如,取=0.05,則因此,可以確定一個常數(shù)c,使得9由為檢驗的接受域(實際上沒理由拒絕),現(xiàn)落入接受域,則接受原假設(shè)而區(qū)間(,66.824)與(69.18,+)為檢驗的拒絕域稱的取值區(qū)間(66.824,69.18)H0:=6810由引例2可見,在給定的前提下,接受還是拒絕原假設(shè)完全取決于樣本值,因此所作檢驗可能導(dǎo)致以下兩類錯誤的產(chǎn)生：第一類錯誤棄真錯誤第二類錯誤取偽錯誤11正確正確第一類錯誤

(棄真)第二類錯誤

(取偽)假設(shè)檢驗的兩類錯誤犯第一類錯誤的概率通常記為犯第二類錯誤的概率通常記為表H0為真H0為假真實情況所作判斷接受H0拒絕H012

任何檢驗方法都不能完全排除犯錯誤的可能性.理想的檢驗方法應(yīng)使犯兩類錯誤的概率都很小,但在樣本容量給定的情形下,不可能使兩者都很小,降低一個,往往使另一個增大.

假設(shè)檢驗的指導(dǎo)思想是控制犯第一類錯誤的概率不超過,然后,若有必要,通過增大樣本容量的方法來減少

.13P(拒絕H0|H0為真)若H0為真,則

所以,拒絕H0的概率為,又稱為顯著性水平,越大,犯第一類錯誤的概率越大,即越顯著.引例2

中，犯第一類錯誤的概率14H0不真,即68,可能小于68,也可能大于68,的大小取決于的真值的大小.下面計算犯第二類錯誤的概率

設(shè)=P(接受H0|H0不真)15若取偽的概率較大.16/2/2H0

真H0

不真圖17仍取=0.05,則由可以確定拒絕域為

(,67.118)與(68.882,+)因此，接受域為(67.118,68.882)現(xiàn)增大樣本容量,取n=64,=66,則1819

當(dāng)樣本容量確定后,犯兩類錯誤的命題概率不可能同時減少.此時犯第二類錯誤的概率為證設(shè)在水平給定下,檢驗假設(shè)證明20又由此可見,當(dāng)

n固定時1)若2)若(見注)證畢.21注從而當(dāng)時22一般,作假設(shè)檢驗時,先控制犯第一類錯誤的概率,在此基礎(chǔ)上使盡量地小.要降低一般要增大樣本容量.當(dāng)H0不真時,參數(shù)值越接近真值,越大.備擇假設(shè)可以是單側(cè),也可以雙側(cè).原假設(shè)H0:=68；備擇假設(shè)H1:

>68注1o注2o引例2中的備擇假設(shè)是雙側(cè)的.若根據(jù)以往生產(chǎn)情況,0=68.現(xiàn)采用了新工藝,關(guān)心的是新工藝能否提高螺釘強度,越大越好.此時,可作如下的假設(shè)檢驗:23當(dāng)原假設(shè)H0:=0=68為真時,取較大值的概率較小當(dāng)備擇假設(shè)H1:>68為真時,取較大值的概率較大給定顯著性水平,根據(jù)可確定拒絕域24因而,接受域稱這種檢驗為右邊檢驗.原假設(shè)H0:68備擇假設(shè)H1:

>68另外,可設(shè)若原假設(shè)正確,則25但現(xiàn)不知的真值,只知0=68

——小概率事件故取拒絕域顯著性水平不超過26關(guān)于零假設(shè)與備擇假設(shè)的選取H0與H1地位應(yīng)平等,但在控制犯第一類錯誤的概率的原則下,使得采取拒絕H0的決策變得較慎重,即H0得到特別的保護.因而,通常把有把握的、有經(jīng)驗的結(jié)論作為原假設(shè),或者盡可能使后果嚴(yán)重的錯誤成為第一類錯誤.注3o27假設(shè)檢驗步驟(三部曲)

其中

根據(jù)實際問題所關(guān)心的內(nèi)容,建立H0與H1

在H0為真時,選擇合適的統(tǒng)計量V,由H1確給定顯著性水平,其對應(yīng)的拒絕域雙側(cè)檢驗左邊檢驗定拒絕域形式

根據(jù)樣本值計算,并作出相應(yīng)的判斷.右邊檢驗三部曲

28§8.2正態(tài)總體的參數(shù)檢驗拒絕域的推導(dǎo)設(shè)X~N(2)，2已知，需檢驗：H0:0；H1:0構(gòu)造統(tǒng)計量

給定顯著性水平與樣本值(x1,x2,…,xn)一個正態(tài)總體（1）關(guān)于的檢驗29P(拒絕H0|H0為真)所以本檢驗的拒絕域為H0：U檢驗法300000

<

0

>

0U檢驗法

(2已知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗統(tǒng)計量及其H0為真時的分布拒絕域U檢驗法310000

<

0

>

0T檢驗法

(2未知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗統(tǒng)計量及其H0為真時的分布拒絕域T檢驗法32例1

某廠生產(chǎn)小型馬達,說明書上寫著:這種小型馬達在正常負(fù)載下平均消耗電流不會超過0.8安培.

現(xiàn)隨機抽取16臺馬達試驗,求得平均消耗電流為0.92安培,消耗電流的標(biāo)準(zhǔn)差為0.32安培.

假設(shè)馬達所消耗的電流服從正態(tài)分布,取顯著性水平為

=0.05,問根據(jù)這個樣本,能否否定廠方的斷言?解

根據(jù)題意待檢假設(shè)可設(shè)為例133

H0:0.8；

H1:>0.8

未知,故選檢驗統(tǒng)計量:查表得

t0.05(15)=1.753,故拒絕域為現(xiàn)故接受原假設(shè),即不能否定廠方斷言.34解二

H0:

0.8；

H1:<0.8

選用統(tǒng)計量:查表得

t0.05(15)=1.753,故拒絕域現(xiàn)故接受原假設(shè),即否定廠方斷言.35

由例1可見:對問題的提法不同(把哪個假設(shè)作為原假設(shè)),統(tǒng)計檢驗的結(jié)果也會不同.

上述兩種解法的立場不同，因此得到不同的結(jié)論.第一種假設(shè)是不輕易否定廠方的結(jié)論；第二種假設(shè)是不輕易相信廠方的結(jié)論.36由于假設(shè)檢驗是控制犯第一類錯誤的概率,使得拒絕原假設(shè)H0的決策變得比較慎重,也就是H0得到特別的保護.因而,通常把有把握的,經(jīng)驗的結(jié)論作為原假設(shè),或者盡量使后果嚴(yán)重的錯誤成為第一類錯誤.372022>022<022022=02202原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布拒絕域

檢驗法(

已知)（2）關(guān)于2的檢驗

X2檢驗法382022>022<022022=02202原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布拒絕域(

未知)39

例2

某汽車配件廠在新工藝下對加工好的25個活塞的直徑進行測量,得樣本方差S2=0.00066.已知老工藝生產(chǎn)的活塞直徑的方差為0.00040.問進一步改革的方向應(yīng)如何？(P.244例6)

解一般進行工藝改革時,若指標(biāo)的方差顯著增大,則改革需朝相反方向進行以減少方差；若方差變化不顯著,則需試行別的改革方案.例240設(shè)測量值需考察改革后活塞直徑的方差是否不大于改革前的方差？故待檢驗假設(shè)可設(shè)為：

H0:2

0.00040;

H1:2

>0.00040.

此時可采用效果相同的單邊假設(shè)檢驗

H0:2

=0.00040；H1:2>0.00040.

41取統(tǒng)計量拒絕域0：落在0內(nèi),故拒絕H0.即改革后的方差顯著大于改革前,因此下一步的改革應(yīng)朝相反方向進行.42設(shè)X~N(1

1

2),Y~

N(2

2

2)兩樣本X,Y相互獨立,樣本(X1,X2,…,Xn),(Y1,Y2,…,Ym)

樣本值(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,ym)顯著性水平兩個正態(tài)總體兩個總體431–2

=(12，22

已知)(1)關(guān)于均值差1–

2

的檢驗1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布拒絕域1–2

檢441–2

=1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

其中12,

22未知12=

22原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布拒絕域45

12=

22

12

22

12

22

12>

22

12

22

12<

22(2)關(guān)于方差比

12

/

22的檢驗1,

2均未知原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布拒絕域

12

/

22檢46例3

杜鵑總是把蛋生在別的鳥巢中,現(xiàn)從兩種鳥巢中得到杜鵑蛋24個.其中9個來自一種鳥巢,15個來自另一種鳥巢,測得杜鵑蛋的長度(mm)如下:m=1519.820.020.320.820.920.921.021.021.021.221.522.022.022.122.3n=921.221.621.922.022.022.222.822.923.247試判別兩個樣本均值的差異是僅由隨機因素造成的還是與來自不同的鳥巢有關(guān)().解

H0:1=

2

；

H1:1

2

取統(tǒng)計量48拒絕域0：統(tǒng)計量值.落在0內(nèi),拒絕H0即蛋的長度與不同鳥巢有關(guān).49例4假設(shè)機器A和B都生產(chǎn)鋼管,要檢驗A和B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度.設(shè)它們生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別為X和Y,且都服從正態(tài)分布X~N(1,

12),Y~N(2,

22)例4現(xiàn)從機器A和B生產(chǎn)的鋼管中各抽出18根和13根,測得

s12=0.34,s22=0.29,50設(shè)兩樣本相互獨立.問是否能認(rèn)為兩臺機器生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同?(取

=0.1)解設(shè)H0:

12=

22；H1:

12

22

查表得F0.05(17,12)=2.59,F0.95(17,12)=51拒絕域為:或由給定值算得:落在拒絕域外,故接受原假設(shè),即認(rèn)為內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同.52接受域置信區(qū)間假設(shè)檢驗區(qū)間估計統(tǒng)計量樞軸量對偶關(guān)系同一函數(shù)假設(shè)檢驗與區(qū)間估計的聯(lián)系53

假設(shè)檢驗與置信區(qū)間對照接受域置信區(qū)間檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布

00（2

已知)（2

已知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1待估參數(shù)54接受域置信區(qū)間檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1待估參數(shù)

0

0（

2未知）（

2未知）55接受域置信區(qū)間檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1待估參數(shù)2022=022(未知)(未知)56例5

新設(shè)計的某種化學(xué)天平，其測量誤差服從正態(tài)分布,現(xiàn)要求99.7%的測量誤差不超過0.1mg,即要求30.1.現(xiàn)拿它與標(biāo)準(zhǔn)天平相比，得10個誤差數(shù)據(jù)，其樣本方差s2=0.0009.解一H0:1/30；H1:1/30例5試問在=0.05的水平上能否認(rèn)為滿足設(shè)計要求？57拒絕域：未知,故選檢驗統(tǒng)計量現(xiàn)故接受原假設(shè),即認(rèn)為滿足設(shè)計要求.58解二2的單側(cè)置信區(qū)間為H0中的滿足設(shè)計要求.則H0

成立,從而接受原假設(shè),即認(rèn)為59樣本容量的選取

雖然當(dāng)樣本容量n固定時,我們不能同時控制