恒成立：高中數(shù)學(xué)恒成立專題解法總結(jié)

、曲線恒過定點(diǎn)問題有關(guān)含有參數(shù)的曲線方程的恒成立問題是學(xué)生普遍感到困難的問題.參數(shù)與主變元交錯在一起，目標(biāo)不明確，將參數(shù)分離出來，可使問題明朗化.例1已知20-31)=「證明直線s+加=5恒過定點(diǎn).證明.”由2l-3h-1,得q=~(3fi+1入代入直線方程后分離參數(shù)A得(X-10J+

由方程(X-10J+

由方程M\x-10,解彳黑\x-10,解彳黑lr=-15.3x+2)=0/■方程晨-10>+b(3x+2y)=0表示經(jīng)過兩直線力-10=0與3工+2y=0的交點(diǎn)(10,-15)的直線系方程.故直線儂+by=5?E2a-3h=1時恒過定點(diǎn)(10,-15).直線mx-y+2m+1=0經(jīng)過一定點(diǎn)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是D(1，2)A(-2,1)B(2,1)C(1,-2)D(1，2)7?例2已知動圓C{:x￥r―43十2ay￥20a-20=0,qCR定圓⑸J+y2=4.11)證明不論口取任何實(shí)數(shù)值,動圓卻恒過一個定點(diǎn)”2J求應(yīng)使圓C\與圓(1相切.證明將圓a中的參數(shù)門分離出來,得22丁方程組(x^y-2O>+a(2y-4x+20；=0.p)L+y2-20=0,有―/=4;丁方程組2y-4天+20=0[y=-2.二廳)式表示過直線2y-4犬+20二0與圓者2+廠二20的交點(diǎn)(4-2)的圓系方程.故動圓Ci不論〃取任何實(shí)數(shù)值恒過定點(diǎn)(4-2).二、方程恒有解問題-3=。恒3-2『"其例4關(guān)于H的方程疝18-奴X）-3=。恒3-2『"其解:原方程等價于J14/sin（9+4j=中里勺二-a）.分離參數(shù)&得3~2a=加/9+9人J1+Q，丁十年）1<153-2(i三、不等式恒成立1、一次函數(shù)一，一次函數(shù)型給定一次函數(shù)=ax+b(rt/(1),若y=/'G)在皿川內(nèi)恒有/G)>0,則根據(jù)函數(shù)的圖象｛直線)可得上述結(jié)論等價于/(m)>0a<0［f\ni)>0或?，亦可合并成」>0〔/(Q>0同理，若在［%r］內(nèi)恒有/(X)<0,則有jXm)<0\f(n)<0-例1.對于滿足加蕓2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式/+爐什1>2/)+,恒成立的x的取值范圍.2、二次函數(shù)型

類型1設(shè)/(r)=dz2+^z+r—WO).在工ER上恒成立口>0且i<0(門了)<。在h￡R上恒成立=^式<0且A<0.類型2設(shè)/［e)一口+8龍4人心工0)一(1)當(dāng)a>0時.義工)>0在］￡［口、田上恒成立一廠為，，《如%「△》?.l/Q)>0(A<0義工)<。在%、團(tuán)上恒成立<=>［I：；：：'(Jip，(2)當(dāng)以<0時.八1)八1)〉0在工￡［討、閨上恒成立U>戶)〉0.伉￡)〉0;/(z)<0在［明田上恒成立一「慨?；虍a(chǎn)“為甸—］〃g〉oU<°l/(p<o.3、變量分離法(構(gòu)造為參數(shù)和X的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值處理)f(x)>a對一*切xg/恒成立of(x)>a,f(x)<a對一*切xg/恒成立of(x)<aminmaxf(x)>g(x)對一切xg/恒成立of(x)的圖像在g(x)的圖像上方或f(x)-g(x)>0三、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已如，另一個變量的范圍為所求.且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊.則叮將桓成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解才例3.已知當(dāng)工￡R時卜不等式立十m缶y5-4^in3+V5n-4恒成立，求實(shí)數(shù)口的取,值范圍.4、數(shù)形結(jié)合5、轉(zhuǎn)化為恒成立處理(1)若函數(shù)y=X3.ax+6在區(qū)間(1,+8)為增函數(shù)，求a的取值范圍y'=3x2-a>0在區(qū)間(1，+8)恒成立，即a<3x2在在區(qū)間(1，+8)恒成立，顯然a<3四、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)是奇(偶)函數(shù),則對一切定義域中的h/(-必=-fCx)iyc-x)=^g)］恒成立;若函數(shù)y才出的周期為「則對一切定義域中的Xj/tx)=f(JC+T)恒成立c例4.若/(%)=siiiGc+oD+cds(x—a)為偶函數(shù)，求a的值.分析.告訴我們偶函數(shù)的條件，即相當(dāng)于告訴我們一個恒成立問題0解：由題得:，〔-工)=f(x)對一切;TER恒成立，四、舉例方法二（限值法）原不等式可化為F-2冽1+3制+2>0,在￡2[0，1]上恒成立[其中f=s砧）.設(shè)代用=（3一如加+F+2+要使/Gn）〉Q恒成立.即求Am）?n>0時斌的取值范圍.V函數(shù)〃加）是斜率46口，3].截距方WL2.3]之間的一系列直線,易證函數(shù)八加）為增函數(shù).二在｛[0,1]上.當(dāng)E=0時,/（初）取到最小值,即」（艱）.13皿十2,2由題意得3瓶+2>0,解得用>—t-,即印的取值葩圍為（得，+2卜SB）本髭也可分離參數(shù)用和變量1