第11章梁和結(jié)構(gòu)的位移

第十一章梁和結(jié)構(gòu)的位移11-1概述11-2梁的撓曲線近似微分方程及其積分11-3疊加法11-4單位荷載法11-5圖乘法11-6線彈性體的互等定理11-7結(jié)構(gòu)的剛度校核11-1概述1．研究的對(duì)象：微小、彈性變形情況下，靜定梁和靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。2．計(jì)算位移的目的：（1）剛度驗(yàn)算——變形符合使用要求（2）超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析——變形條件“鳥(niǎo)巢”-國(guó)家體育場(chǎng)整個(gè)卸載工作將拆除鳥(niǎo)巢鋼結(jié)構(gòu)的78個(gè)臨時(shí)支撐鋼柱，鋼結(jié)構(gòu)在獨(dú)立承擔(dān)重力后將出現(xiàn)不同程度的下沉，最大下沉距離不超過(guò)30厘米。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，外圈的下降總量將控制在67—70毫米，中圈161—178毫米，內(nèi)圈208—286毫米。3．位移——結(jié)構(gòu)桿件橫載面的位置發(fā)生的移動(dòng)（1）撓曲線——梁的變形曲線稱為撓曲線。（2）撓度——梁橫截面沿與梁軸線垂直方向的線位移稱為梁的撓度。（3）轉(zhuǎn)角——截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)一角度，稱為該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。它等于撓曲線上這點(diǎn)處的斜率。如圖所示梁變形后的曲線稱為撓曲線，其曲線方程稱為撓曲線方程。另截面撓度為截面位置的單值連續(xù)函數(shù)，且在小變形情況下，截面轉(zhuǎn)角：小變形即撓曲線上任意點(diǎn)的斜率為該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。4．求位移兩種方法（1）撓曲線方程：確定梁的位移方便。（2）單位荷載法及圖乘法：確定結(jié)構(gòu)的位移方便，不但適用于荷載產(chǎn)生的位移，而且可求支座移動(dòng)、溫度變化所引起的位移。11-2梁的撓曲線近似微分方程及其積分純彎曲梁

剪切彎曲，當(dāng)梁的高跨比較小（h/l<1/5）而成為細(xì)長(zhǎng)梁時(shí)，剪力對(duì)變形的影響比較小，上述公式仍然實(shí)用。但是ρ、M不再是常量

從高等數(shù)學(xué)中知曲率公式：在小變形時(shí)，w(x)極其平坦，1+(dw/dx)21，所以上式可以簡(jiǎn)化為

正負(fù)號(hào)fxM>0fxM<0對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫(xiě)成如下形式：二、求撓曲線方程（彈性曲線）1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。④優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。支點(diǎn)位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：PABCPD例1

求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程寫(xiě)出微分方程并積分解：PLxf應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)xfPL寫(xiě)出撓曲線方程并畫(huà)出曲線端點(diǎn)處：最大撓度及最大轉(zhuǎn)角例2簡(jiǎn)支梁撓曲線解：建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程寫(xiě)出微分方程并積分qABLx應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)寫(xiě)出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角qABLx11-3疊加法一、載荷疊加：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。撓度：轉(zhuǎn)角：例1按疊加原理求AC點(diǎn)轉(zhuǎn)角撓度PP=+AAABBBCaa解、載荷分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。疊加qPP=+AAABBBCaa例2如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EI為常數(shù)，求B點(diǎn)位移及轉(zhuǎn)角。

Fl/2ql/2ABC解：1)在F作用下2)在q作用下ABqABCyBqyCqqCqqBFFyBFB查表：C3)在q和F共同作用下11-4單位荷載法&外力的功實(shí)功：例如：力在本身引起的位移上作的功。虛功:力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是彼此無(wú)關(guān)的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無(wú)關(guān)的狀態(tài)。例如：W12=P1·△2&變形體的虛功原理

變形體平衡的必要和充分條件是：對(duì)任意微小虛位移，外力所作的虛功總和等于此變形體各微段上內(nèi)力所作的變形虛功總和。即

W外=W內(nèi)W外——外力虛功

W內(nèi)——內(nèi)力虛功變力做功—貯能外力緩慢做功W，無(wú)損失地轉(zhuǎn)化為變形位能U，貯存于彈性體內(nèi)部：U=W進(jìn)而計(jì)算可變形固體的位移、變形和內(nèi)力，稱為能量方法。

P

廣義力（力，力偶）△廣義位移（線，角位移）11-4-2線彈性桿件的變形位能1.軸向拉壓桿的變形能計(jì)算

微元dx上軸力N(x)做功2.扭轉(zhuǎn)桿的變形能計(jì)算

微元dx上扭矩T(x)做功3.彎曲桿的變形能計(jì)算微元dx上彎矩M(x)做功四、變形能的普遍表達(dá)式1、軸力、扭矩和彎矩各自的變形垂直,相互不做功

2、變形能與加載次序無(wú)關(guān)，位能相互疊加（略掉剪力

的影響）(例題：11-6,7)11-4-3單位荷載法1．研究的對(duì)象：一般為線彈性變形情況下靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。(包括梁、剛架、桁架等各種結(jié)構(gòu))2．理論依據(jù)（1）變形位能在數(shù)值上等于外力在變形過(guò)程中所作的功。（適用于所有的變形體）加載方式假定：外力由零逐漸增大，變形過(guò)程中動(dòng)能始終為零。（2） （適用于線彈性的梁）對(duì)應(yīng)一般結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)(P)平衡的力狀態(tài)(i)如圖示，求k點(diǎn)豎向位移.由變形體虛功方程:δWe=δWi

δWe=PΔiP，P=1δWi=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

ΔiP=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

----適用于各種桿件體系(線性,非線性).線彈性時(shí)對(duì)于由線彈性直桿組成的結(jié)構(gòu)，有：適用于線彈性直桿體系桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式受彎梁：拉壓桿：注意事項(xiàng)注:1)適用于靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu);2)材料可以是彈性的也可是非彈性的;3)產(chǎn)生位移的原因可以是各種因素;4)既考慮了彎曲變形也考慮了剪切變形和軸向變形對(duì)位移的影響；5)一般公式右邊三項(xiàng)乘積,當(dāng)力與變形的方向一致時(shí),乘積取正。

通過(guò)虛設(shè)單位廣義力作用的力狀態(tài)，利用虛功方程求位移的方法—單位荷載法。虛擬狀態(tài)的設(shè)置：在應(yīng)用單位荷載法計(jì)算時(shí)，應(yīng)據(jù)所求位移不同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬單位力狀態(tài)。

例1：已知圖示粱的E、G,求A點(diǎn)的豎向位移。l解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài).對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿,剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)與彎曲變形相比可略去不計(jì).位移方向是如何確定的?例2求圖示剛架A點(diǎn)的豎向位移△Ay。E、A、I為常數(shù)。ABCqLLA`實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)ABC1解：1.設(shè)置單位力狀態(tài)xx選取坐標(biāo)如圖。則各桿彎矩方程為:AB段：BC段：2.實(shí)際狀態(tài)中各桿彎矩方程為AB段：BC段：MP=MP=xx3.可得：△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx討論1.梁和剛架△KP=2.桁架△KP=3.組合結(jié)構(gòu)△KP=在實(shí)際計(jì)算時(shí)，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況,位移計(jì)算公式可以簡(jiǎn)化：11-5圖乘法△KP=1.圖乘法:計(jì)算梁和剛架在荷載作用下的位移時(shí)，要計(jì)算下面的積分（1）桿軸為直線；（2）EI=常數(shù)；和M兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形。（3）當(dāng)結(jié)構(gòu)符合下述條件時(shí)：上述積分可以得到簡(jiǎn)化，積分式可用和M圖形互乘表示設(shè)等截面直桿AB段的兩個(gè)彎矩圖中，為一段直線，MP圖為任意形狀，則上式中的ds可用dx代替。故且tan=常數(shù)，則積分為：MP圖xy面積ABOABMPdxd=MPdxx⌒MP圖xy形心C面積ABOABMPdxd=MPdxxxCyCyC=xCtg⌒有而

則積分運(yùn)算化簡(jiǎn)為一個(gè)彎矩圖的面積乘以其形心處所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)直線彎矩圖上的豎標(biāo)yC。

如果結(jié)構(gòu)上所有各桿段均可圖乘則位移計(jì)算公式可寫(xiě)成△KP=2.圖乘法的注意事項(xiàng)（1）必須符合上述三個(gè)前提條件（2）豎標(biāo)yC只能取自直線圖形（3）與yC若在桿件同側(cè)則乘積取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。3.常用的幾種簡(jiǎn)單圖形的面積和形心Lh2L/3L/3形心Lhab（L+a)/3(L+b)/3形心Lh二次拋物線頂點(diǎn)L/2二次拋物線Lh3L/4L/43L/85L/8121=2(hL)/32=(hL)/3頂點(diǎn)4.圖乘的技巧：

當(dāng)圖形的面積和形心位置不便確定時(shí)，將它分解成簡(jiǎn)單圖形，之后分別與另一圖形相乘，然后把所得結(jié)果疊加。MP圖abcdL則ya=2/3×c+1/3×dyb=1/3×c+2/3×dMP圖abcdyayb此時(shí)ya=2/3×c－1/3×dyb=2/3×d－1/3×cybya當(dāng)yC所屬圖形是由若干段直線組成時(shí)，或各桿段的截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段相乘，然后疊加。123y1y2y3123y1y2y3△=

(1y1+2y2+3y3)I1I2I3△=例求下圖所示剛架C、D兩點(diǎn)間距離的改變。設(shè)EI=常數(shù)。ABCDLhqMP圖11hhyC=h形心解：1.作實(shí)際狀態(tài)的MP圖。2.設(shè)置虛擬狀態(tài)并作。3.（→←）?CD=∑EI=EI1(328qL2L)h=12EIqhL3yC例求圖示剛架A點(diǎn)的豎向位移△Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP圖、PPLMP圖1L；2.圖乘計(jì)算?！鰽y=（↓）∑EIyC=EI1(2L?L2PL(L?4=16EIPL2)-2EI123L)PL2EIEIEI例求圖示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移△Cy。EI=常數(shù)。qABCL圖11y2y3+解：1.作MP圖2.作圖3.圖乘計(jì)算y1=y2=y3=△Cy=y1MP圖2311-6線彈性體的互等定理&功的互等定理應(yīng)用條件:1)σ<σP;2)小變形。即:線性變形體系。1.功的互等定理:P1P2①N1

M1

Q1F1F2②N2

M2

Q2即線彈性體上第一組外力（已達(dá)最終值）在由第二組外力引起的相應(yīng)位移上所作的總虛功，等于第二組外力（已達(dá)最終值）在由第一組外力引起的相應(yīng)位移上所作的總虛功。功的互等定理2.位移互等定理PPD=D212121若：P1=1，P2=1②P2P1①Δ21Δ12

由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移δ21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移δ12。注意:1）這里荷載可以是廣義荷載,位移是相應(yīng)的廣義位移。2）δ12與δ21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。3反力互等定理k11k21k22k12kck×+×=221120ckk×+×221110c1=1c2=1

在任一線性變形體系中，由單位位移C1=1所引起的與位移C2相應(yīng)的反力r21等于由單位位移C2=1所引起的與位移C1相應(yīng)的反力r12。

注意:1）這里支座位移可以是廣義位移,反力是相應(yīng)的廣義力。2）反力互等定理僅用與超靜定結(jié)構(gòu)。11-7結(jié)構(gòu)的剛度校核對(duì)于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強(qiáng)度條件的同時(shí)，為保證其正常工作還需對(duì)彎曲