第九章動荷載

第九章動載荷(Dynamicloading)教學(xué)目的與要求：掌握動荷載問題的基本知識和動荷系數(shù)的概念，能熟練地對作等加速運動的桿件、作等速旋轉(zhuǎn)圓盤、沖擊荷載引起桿件進行應(yīng)力、應(yīng)變和位移計算；掌握交變應(yīng)力概念、表示方法，循環(huán)特征及疲勞破壞特征，了解在對稱循環(huán)時材料的疲勞極限和構(gòu)件的疲勞極限，掌握對稱循環(huán)時材料的疲勞強度的計算。教學(xué)重點：三類動荷載概念；三類動荷載的應(yīng)力分析和計算。交變應(yīng)力有關(guān)概念；疲勞破壞特征；影響疲勞極限的重要因素。教學(xué)難點：對動靜法和動荷系數(shù)的理解。在簡單沖擊問題中，被沖擊桿件沖擊點的相的理解和計算，特別是水平?jīng)_擊時的靜荷位移的理解和計算。對稱循環(huán)應(yīng)力問題中，材料疲勞強度和構(gòu)件疲勞強度的聯(lián)系與區(qū)別。1、靜荷載（Staticload）荷載由零緩慢增長至最終值,然后保持不變.構(gòu)件內(nèi)各質(zhì)點加速度很小,可略去不計.§9-1概述（Instruction）2、動荷載（Dynamicload）荷載作用過程中隨時間快速變化,或其本身不穩(wěn)定（包括大小、方向）,引起構(gòu)件內(nèi)各質(zhì)點加速度較大.一、基本概念（Basicconcepts）二、動響應(yīng)（Dynamicresponse）構(gòu)件在動載荷作用下產(chǎn)生的各種響應(yīng)（如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等）,稱為動響應(yīng)（dynamicresponse）.三、動荷系數(shù)（Dynamicfactor）四、動荷載的分類（Classificationofdynamicload）1.慣性荷載（Inertiaforce）2.沖擊荷載（Impactload）3.振動荷載（Vibrationproblem）4.交變應(yīng)力（Alternatestress）動荷系數(shù)Kd

=

動響應(yīng)靜響應(yīng)

實驗表明在靜載荷下服從胡克定律的材料,只要應(yīng)力不超過比例極限,在動載荷下胡克定律仍成立，且E靜=E動.

達朗伯原理（D’Alembert’sPrinciple）:達朗伯原理認為處于不平衡狀態(tài)的物體,存在慣性力,慣性力的方向與加速度方向相反,慣性力的數(shù)值等于加速度與質(zhì)量的乘積.只要在物體上加上慣性力,就可以把動力學(xué)問題在形式上作為靜力學(xué)問題來處理,這就是動靜法（Methodofkinetostatic）.§9-2構(gòu)件作變速運動時應(yīng)力與變形的計算（Theapplicationformethodofdynamicequilibrium）

慣性力（Inertiaforce）:大小等于質(zhì)點的質(zhì)量m與加速度a的乘積,方向與a的方向相反,即FG=-ma

例題1一起重機繩索以加速度a

提升一重為P的物體,設(shè)繩索的橫截面面積為A,繩索單位體積的質(zhì)量r,求距繩索下端為x處的m-m

截面上的應(yīng)力.Paxmm一、直線運動構(gòu)件的動應(yīng)力（Dynamicstressofthebodyinthestraight-linemotion）PaxmmPrAg物體的慣性力為繩索每單位長度的慣性力rAa繩索的單位長度上的重力為

rAgPa/garAa物體的重力為P繩索中的動應(yīng)力為st為靜荷載下繩索中的靜應(yīng)力

強度條件為xmmxmm

當材料中的應(yīng)力不超過比例極限時荷載與變形成正比△d表示動變形

△st表示靜變形

結(jié)論:只要將靜載下的應(yīng)力,變形,乘以動荷系數(shù)Kd即得動載下的應(yīng)力與變形.xmm例題3

起重機鋼絲繩長60m,名義直徑2.8cm,有效橫截面面積A=2.9cm2

,單位長度的重量q=25.5N/m,[]=300MPa,以a=2m/s2的加速度提起重50kN

的物體,試校核鋼絲繩的強度.G(1+a/g)FNdlq(1+a/g)解：（1）受力分析如圖（2）動應(yīng)力例題4

一平均直徑為D的薄圓環(huán),繞通過其圓心且垂于環(huán)平面的軸作等速轉(zhuǎn)動.已知環(huán)的角速度為,環(huán)的橫截面面積為A,材料的單位體積質(zhì)量為r.求圓環(huán)橫截面上的正應(yīng)力.rO二、轉(zhuǎn)動構(gòu)件的動應(yīng)力（Dynamicstressoftherotatingmember）

因圓環(huán)很薄,可認為圓環(huán)上各點的向心加速度相同,等于圓環(huán)中線上各點的向心加速度.解：

因為環(huán)是等截面的,所以相同長度的任一段質(zhì)量相等.rOrOqd

其上的慣性力集度（單位長度上的慣性力）為OqdyFddFNdFNd

其微段上的慣性力在y軸上的投影為圓環(huán)軸線上點的線速度強度條件

環(huán)內(nèi)應(yīng)力與橫截面面積無關(guān).要保證強度,應(yīng)限制圓環(huán)的轉(zhuǎn)速.FdoqdydFNdFNd例題5

重為G的球裝在長l的轉(zhuǎn)臂端部,以等角速度在光滑水平面上繞O點旋轉(zhuǎn),已知許用應(yīng)力[s],求轉(zhuǎn)臂的截面面積（不計轉(zhuǎn)臂自重）（2）強度條件解:（1）受力分析如圖

慣性力為wFGlO例題6汽輪機葉片在工作時通常要發(fā)生拉伸、扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形，本題只計算在勻速轉(zhuǎn)動時葉片的拉伸應(yīng)力和軸向變形.設(shè)葉片可近似地簡化為變截面直桿,且橫截面面積沿軸線按線性規(guī)律變化.葉根的橫截面面積A0為葉頂?shù)臋M截面面積A1的兩倍,即A0=2A1.令葉根和葉頂?shù)陌霃椒謩e為R0和R1.轉(zhuǎn)速為,材料單位體積的質(zhì)量為r.試求葉片根部的應(yīng)力和總伸長.R0R1ldmmx葉根頂部轉(zhuǎn)軸解:設(shè)距葉根為x的橫截面

m-m

的面積為A(x)

在距葉根為

處取長為d

的微元,其質(zhì)量應(yīng)為R0R1ldmmx葉根頂部轉(zhuǎn)軸在距葉根為處的向心加速度為dm

的慣性力應(yīng)為R0R1ldmmx葉根頂部轉(zhuǎn)軸m-m以上部分的慣性力為FNxdFxmmm-m截面上的軸力FNx等于FR0R1ldmmx葉根頂部轉(zhuǎn)軸最大的慣性力發(fā)生在葉根截面上在葉根截面上的拉應(yīng)力為式中為葉頂?shù)木€速度dFFNxxmmR0R1ldmmx葉根頂部轉(zhuǎn)軸在距葉根為x處取dx一段其伸長應(yīng)為葉片的總伸長為dPFNxxmmR0R1ldmmx葉根頂部

在沖擊過程中,運動中的物體稱為沖擊物（impactingbody）

阻止沖擊物運動的構(gòu)件,稱為被沖擊物（impactedbody）

當運動著的物體碰撞到一靜止的構(gòu)件時,前者的運動將受阻而在短時間停止運動,這時構(gòu)件就受到了沖擊作用.

原理（Principle）:能量法

§9-3構(gòu)件受沖擊時的應(yīng)力和變形（Stressanddeformationbyimpactloading)

沖擊時,沖擊物在極短的時間間隔內(nèi)速度發(fā)生很大的變化,其加速度a很難測出,無法計算慣性力,故無法使用動靜法.在實用計算中,一般采用能量法.即在若干假設(shè)的基礎(chǔ)上,根據(jù)能量守恒定律對受沖擊構(gòu)件的應(yīng)力與變形進行偏于安全的簡化計算.機械能守恒定律

T,V是沖擊物在沖擊過程中所減少的動能和勢能.

Vε是被沖擊物所增加的應(yīng)變能.一、自由落體沖擊問題（Impactproblemaboutthefreefallingbody）假設(shè)

(Assumption)1.沖擊物視為剛體,不考慮其變形（Theimpactingbodyisrigid）;2.被沖擊物的質(zhì)量遠小于沖擊物的質(zhì)量,可忽略不計（Themassoftheimpacteddeformablebodyisnegligibleincomparisonwiththeimpactingmass）;3.沖擊后沖擊物與被沖擊物附著在一起運動（Theimpactbodydonotrebound）;4.不考慮沖擊時熱能的損失,即認為只有系統(tǒng)動能與勢能的轉(zhuǎn)化（Theprocessofimpactislostintheimpact）.

重物P從高度為h處自由落下,沖擊到彈簧頂面上,然后隨彈簧一起向下運動.當重物P的速度逐漸降低到零時,彈簧的變形達到最大值Δd,與之相應(yīng)的沖擊載荷即為Fd.PhvhPhP其中所以Ph

根據(jù)能量守恒定律可知,沖擊物所減少的動能T和勢能V,應(yīng)全部轉(zhuǎn)換為彈簧的變形能,即為動荷因數(shù)其中水平?jīng)_擊時的動荷系數(shù)計算QvL解：根據(jù)能量守恒：沖擊過程中釋放的動能等于桿件增加的變形能。而(a)(b)設(shè)：一重量為Q的重物以水平速度v撞在直桿上，若直桿的E、I、均為已知。試求桿內(nèi)最大正應(yīng)力。將(b)代入(a)式：解得：所以即水平?jīng)_擊時的動荷系數(shù)為桿內(nèi)最大動應(yīng)力為例題7一重量為P的重物由高度為h的位置自由下落,與一塊和直桿AB相連的平板發(fā)生沖擊.桿的橫截面面積為A,求桿的沖擊應(yīng)力.hlAPB重物是沖擊物,桿AB（包括圓盤）是被沖擊物.FdAB沖擊物減少的勢能動能無變化AB

增加的應(yīng)變能根據(jù)能量守恒定理hlAPBFdAAAPBhlA稱為自由落體沖擊的動荷因數(shù)APBhlAAst為沖擊物以靜載方式作用在沖擊點時,沖擊點的靜位移.（1）當載荷突然全部加到被沖擊物上,即h=0

時

由此可見,突加載荷的動荷因數(shù)是2,這時所引起的荷應(yīng)力和變形的2倍.討論Ph（2）若已知沖擊物自由落下，沖擊開始瞬間沖擊物與被沖擊物接觸時的速度為v,則Ph（3）若已知沖擊物自高度h處以初速度下落,則例題圖中所示的兩根受重物Q沖擊的鋼梁，其中一根是支承于剛性支座上，另外一根支于彈簧剛度系數(shù)k=100N/mm的彈性支座上。已知l=3m,h=0.05m,Q=1kN,I=3.4×107mm4,E=200GPa,比較兩者的沖擊應(yīng)力。

剛性支承情況下的沖擊應(yīng)力:

彈性支承情況下的沖擊應(yīng)力:比較上述兩種情況的結(jié)果可以知道，采用彈性支座，可以增加靜位移，減少系統(tǒng)的剛度，降低動荷因數(shù)，從而減少沖擊應(yīng)力，這就是緩沖減振?！?–4交變應(yīng)力及構(gòu)件的疲勞強度計算(Alternatingstressandfatiguefailure)一、交變應(yīng)力（Alternatingstress)

構(gòu)件內(nèi)一點處的應(yīng)力隨時間作周期性變化,這種應(yīng)力稱為交變應(yīng)力.AFtsＯ二、產(chǎn)生的原因(Reasons)例題1一簡支梁在梁中間部分固接一電動機,由于電動機的重力作用產(chǎn)生靜彎曲變形,當電動機工作時,由于轉(zhuǎn)子的偏心而引起離心慣性力.由于離心慣性力的垂直分量隨時間作周期性的變化,梁產(chǎn)生交變應(yīng)力.1.載荷做周期性變化（Loadchangesperiodicallywithtime）2.載荷不變,構(gòu)件點的位置隨時間做周期性的變化（Thepointchangeshislocationperiodicallywithtimeunderanunchangeableload）靜平衡位置ωttstmaxmin例題2火車輪軸上的力來自車箱.大小、方向基本不變.即彎矩基本不變.FF

橫截面上A點到中性軸的距離卻是隨時間t

變化的.

假設(shè)軸以勻角速度

轉(zhuǎn)動.tzA

A點的彎曲正應(yīng)力為隨時間t

按正弦曲線變化t12341O三、疲勞破壞（Fatiguefailure）

材料在交變應(yīng)力作用下的破壞習(xí)慣上稱為疲勞破壞（fatiguefailure）（1）交變應(yīng)力的破壞應(yīng)力值一般低于靜載荷作用下的強度極限值,有時甚至低于材料的屈服極限.

（2）無論是脆性還是塑性材料,交變應(yīng)力作用下均表現(xiàn)為脆性斷裂,無明顯塑性變形.（4）斷口表面可明顯區(qū)分為光滑區(qū)與粗糙區(qū)兩部分.1.疲勞破壞的特點（Characteristicsofthefatiguefailure）

（3）材料發(fā)生破壞前,應(yīng)力隨時間變化經(jīng)過多次重復(fù),其循環(huán)次數(shù)與應(yīng)力的大小有關(guān).應(yīng)力愈大,循環(huán)次數(shù)愈少（如手折斷鐵絲）.裂紋源光滑區(qū)粗糙區(qū)2.疲勞過程一般分三個階段（Thethreephasesoffatigueprocess）（1）裂紋萌生在構(gòu)件外形突變或材料內(nèi)部缺陷等部位,都可能產(chǎn)生應(yīng)力集中引起微觀裂紋.分散的微觀裂紋經(jīng)過集結(jié)溝通,將形成宏觀裂紋.（2）裂紋擴展已形成的宏觀裂紋在交變應(yīng)力下逐漸擴展.（3）構(gòu)件斷裂裂紋的擴展使構(gòu)件截面逐漸削弱,削弱到一定極限時,構(gòu)件便突然斷裂.

因疲勞破壞是在沒有明顯征兆的情況下突然發(fā)生的,極易造成嚴重事故.據(jù)統(tǒng)計,機械零件,尤其是高速運轉(zhuǎn)的構(gòu)件的破壞,大部分屬于疲勞破壞.一個應(yīng)力循環(huán)Ⅰ、基本參數(shù)（Basicparameters）

應(yīng)力每重復(fù)變化一次,稱為一個應(yīng)力循環(huán)（stresscycle）Ot在拉,壓或彎曲交變應(yīng)力下在扭轉(zhuǎn)交變應(yīng)力下maxmin

最小應(yīng)力和最大應(yīng)力的比值稱為循環(huán)特征（cyclesymbol）.用r表示.1.應(yīng)力循環(huán)(Stresscycle)2.循環(huán)特征（Cyclesymbol）四、交變應(yīng)力的循環(huán)特征、應(yīng)力幅和平均應(yīng)力(Thecyclesymbol,stressamplitudeandmeanstressforalternatingstress)下圖為交變應(yīng)力下具有代表性的正應(yīng)力—時間曲線.3.應(yīng)力幅（Stressamplitude）O一個應(yīng)力循環(huán)tmaxminaa4.平均應(yīng)力（Meanstress)

最大應(yīng)力和最小應(yīng)力代數(shù)和的一半,稱為交變應(yīng)力的平均應(yīng)力（meanstress）.用sm表示.

最大應(yīng)力和最小應(yīng)力的差值的的二分之一,稱為交變應(yīng)力的應(yīng)力幅（stressamplitude）用sa

表示Ⅱ、交變應(yīng)力的分類

（Theclassificationofalternatingstress）1.對稱循環(huán)（Symmetricalreversedcycle）

在交變應(yīng)力下若最大應(yīng)力與最小應(yīng)力等值而反號.Omaxmint

min=-max或min=-max

r=-1時的交變應(yīng)力,稱為對稱循環(huán)（symmetricalreversedcycle）交變應(yīng)力.（1）若非對稱循環(huán)交變應(yīng)力中的最小應(yīng)力等于零（

min=0）

r=0的交變應(yīng)力,稱為脈動循環(huán)（fluctuatingcycle）交變應(yīng)力

時的交變應(yīng)力,稱為非對稱循環(huán)

（unsymmetricalreversedcycle）交變應(yīng)力.Omaxmin=0t2.非對稱循環(huán)（Unsymmetricalreversedcycle）（2）r>0為同號應(yīng)力循環(huán);r<0為異號應(yīng)力循環(huán).（3）構(gòu)件在靜應(yīng)力下,各點處的應(yīng)力保持恒定，即max=min.

若將靜應(yīng)力視作交變應(yīng)力的一種特例,則其循環(huán)特征tOtOtO例題3發(fā)動機連桿大頭螺釘工作時最大拉力Fmax=58.3kN,最小拉力Fmin=55.8kN,螺紋內(nèi)徑為d=11.5mm,試求a

,m

和

r.解:五、持久極限(EnduranceLimit)

Ⅰ、材料持久極限（疲勞極限）（Endurancelimitorfatiguelimitofamaterials）

Ⅱ、S－N曲線（應(yīng)力-壽命曲線）（S—NcurveorStress-lifecurve）

通過測定一組（10根左右）承受不同最大應(yīng)力光滑小試樣的疲勞壽命,以最大應(yīng)力max

為縱坐標,疲勞壽命N為橫坐標,即可繪出材料在交變應(yīng)力下的應(yīng)力—疲勞壽命曲線,即S-N曲線.

循環(huán)應(yīng)力只要不超過某個“最大限度”,構(gòu)件就可以經(jīng)歷無數(shù)次循環(huán)而不發(fā)生疲勞破壞,這個限度值稱為持久極限或"疲勞極限",用r

表示.

交變應(yīng)力的疲勞破壞與靜應(yīng)力下的破壞有很大差異,故表征材料抵抗交變應(yīng)力破壞能力的強度指標也不同.

當最大應(yīng)力降低至某一值后,S-N

曲線趨一水平,表示材料可經(jīng)歷無限次應(yīng)力循環(huán)而不發(fā)生破壞,相應(yīng)的最大應(yīng)力值max稱為材料的疲勞極限或持久極限.用r

表示.-1max，1N11max，2N22NmaxⅢ、測定方法(Testmeasures)

將材料加工成最小直徑為7～10mm,表面磨光的試件,每組試驗包括6

～10根試件.在純彎曲變形下,測定對稱循環(huán)的持久極限技術(shù)上較簡單.

對于鋁合金等有色金屬,S-N曲線通常沒有明顯的水平部分,通常規(guī)定一個循環(huán)基數(shù)，一般規(guī)定疲勞壽命N0=108時的最大應(yīng)力值為“條件”疲勞極限

.FFFFaa第二根試件第一根試件N1N2略小于-1max，1max，2N1N212Nmaxr表示循環(huán)特征如-1表示對稱循環(huán)材料的疲勞極限.Fa六、影響構(gòu)件持久極限的因素(Theeffectivefactorsofendurancelimit)

Ⅰ、構(gòu)件外形的影響（Theeffectofmemberfigure）

若構(gòu)件上有螺紋、鍵槽、軸肩等,其持久極限要比同樣尺寸的光滑試件有所降低.其影響程度用有效應(yīng)力集中系數(shù)表示.和都大于1若以（σ-1）d表示無應(yīng)力集中光滑試件的持久極限，以（σ-1）k表示有應(yīng)力集中光滑試件的持久極限，則

從下表可以看出：1.靜載抗拉強度越高，有效應(yīng)力集中系素越大，即對應(yīng)力集中越敏感。2.對于給定的直徑，倒角越小，有效應(yīng)力集中系素越大，因而其持久極限的降低顯著。1.001.201.401.601.802.002.202.402.600.020.040.060.040.160.180MMRdD（a）6007008009001.201.401.601.802.002.202.402.602.80（b）3.003.200.020.040.060.040.160.180MMRdD600700900800（c）MMRdD0.020.040.060.040.160.1808009007006001.201.401.601.802.002.202.402.602.803.003.203.40RdD8000.020.040.060.040.160.1801.201.401.601.802.002.202.401.00（d）900（e）0.020.040.060.040.160.180RdD1.201.401.601.802.002.202.401.002.602.80800900Ⅱ、構(gòu)件尺寸的影響(Theeffectofmembersides)光滑大試件的持久極限光滑小試件的持久極限大試件的持久極限比小試件的持久極限要低。這是因為大試樣處于高應(yīng)力狀態(tài)的晶粒要比小試樣多，所以形成裂紋的機會就多。

尺寸對持久極限的影響程度,用尺寸系數(shù)表示高應(yīng)力區(qū)σ尺寸系數(shù)是一個小于1的數(shù)值。

右邊表格給出了在彎,扭的對稱應(yīng)力循環(huán)時的尺寸系數(shù).

直徑d(mm)碳鋼合金鋼

各種鋼

>20～30

0.91

0.83

0.89

>30～40

0.88

0.77

0.81

>40～50

0.84

0.73

0.78

>50～60

0.81

0.70

0.76

>60～70

0.78

0.68

0.74

>70～80

0.75

0.66

0.73

>80～100

0.73

0.64

0.72

>100～120

0.70

0.62

0.70

>120～150

0.68

0.60

0.68

>150～500

0.60

0.54

0.60

表11-1尺寸系數(shù)Ⅲ、構(gòu)件表面質(zhì)量的影響（Theeffectofmembersurfacestate）

若構(gòu)件表面經(jīng)過淬火,氮化,滲碳等強化處理,其持久極限也就得到提高.

表面質(zhì)量對持久極限的影響用表面狀態(tài)系數(shù)β表示其他加工情況的構(gòu)件的持久極限表面磨光的試件的持久極限實際構(gòu)件表面的加工質(zhì)量對持久極限也有影響,這是因為不同的加工精度在表面上造成的刀痕將呈現(xiàn)不同程度的應(yīng)力集中綜合考慮上述三種影響因素,構(gòu)件在對稱循環(huán)下的持久極限b為表面狀態(tài)系數(shù)為有效應(yīng)力集中系數(shù)為尺寸系數(shù)為表面磨光的光滑小試件的持久極限

如果循環(huán)應(yīng)力為切應(yīng)力,將上述公式中的正應(yīng)力換為切應(yīng)力即可.

對稱循環(huán)下,r=-1.上述各系數(shù)均可查表而得.

七、對稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強度計算(Calculationofthefatiguestrengthofthememberundersymmetriccycles)

Ⅰ、對稱循環(huán)的疲勞許用應(yīng)力（Thepermissiblestressoffatigueundersymmetriccycles）Ⅱ、對稱循環(huán)的疲勞強度條件（Thestrengthconditionoffatigueundersymmetriccycles）同理nσ為工作安全系數(shù)例題4階梯軸如圖,材料為鉻鎳合金鋼,b=920MPa,–1=420MPa,–1=250MPa,分別求出彎曲和扭轉(zhuǎn)時的有效應(yīng)力集中系數(shù)和尺寸系數(shù).解:（1）彎曲時的有效應(yīng)力集中系數(shù)和尺寸系數(shù)由圖表查有效應(yīng)力集中系數(shù):f50f40r=5由表查尺寸系數(shù)當

時,

當

時,

當

時,

（2）扭轉(zhuǎn)時的有效應(yīng)力集中因數(shù)和尺寸因數(shù)

由圖表查有效應(yīng)力集中因數(shù)當

時,

當

時,

應(yīng)用直線插值法得當時,

由表查尺寸因數(shù)

例題5旋轉(zhuǎn)碳鋼軸上,作用一不變的力偶M=0.8kN·m,軸表面經(jīng)過精車,b=600MPa,–1=250MPa,規(guī)定n=1.9,試校核軸的強度.解:（1）確定危險點應(yīng)力及循環(huán)特征MMf50f40r=5為對稱循環(huán)（3）強度校核（2）查圖表求各影響因數(shù),計算構(gòu)件持久限.

求K

求

查圖得

求

表面精車:=0.93所以安全

查圖得八、不對稱循環(huán)下構(gòu)件的疲勞強度計算