朱平芳空間計量講座

空間計量經(jīng)濟學：模型、方法與應用朱平芳張征宇空間計量經(jīng)濟學概述2.空間自相關(guān)的檢驗3.線性空間模型的估計4.空間計量經(jīng)濟學理論的最新發(fā)展5.實證例子內(nèi)容地理學第一定律

世界上萬千事物的狀態(tài)都可以由一個三維的空間坐標系與一個一維的時間坐標系來唯一刻畫。時間或空間上距離相近的兩個事物的狀態(tài)是相互關(guān)聯(lián)的，即不能被認為是相互獨立的，且兩事物越是接近，它們狀態(tài)的相關(guān)性越強。當兩點距離為零(實則是同一個體)，它們將完全相關(guān)。越是相距遙遠的事物相關(guān)性越弱，當兩事物之間距離為無窮遠，可近似地認為兩者完全不相關(guān)。

概述空間計量經(jīng)濟學

(spatialeconometrics)

作為現(xiàn)代微觀計量經(jīng)濟學(micro－econometrics)的一個分支，旨在為處理截面數(shù)據(jù)或面板數(shù)據(jù)中的空間效應(spatialeffect，空間相關(guān)性(spatialdependence)與空間異質(zhì)性(spatialheterogeneity)發(fā)展專門的建模，估計與統(tǒng)計檢驗方法。概述概述

在時間序列分析中，時間自回歸過程將時刻t的反應變量與過去時刻的變量相聯(lián)系，表示一時刻所發(fā)生的事件受過去時間發(fā)生事件結(jié)果的影響。

概述空間相關(guān)性是指一地所發(fā)生的事件，行為與現(xiàn)象，會直接或間接影響到另一地發(fā)生的事件行為和現(xiàn)象。因此某一處的觀測與其他各地觀測之間存在著函數(shù)關(guān)系。其一般表達為空間相關(guān)性的根源(i)觀測數(shù)據(jù)地理位置接近(geographicalproximity)：由于地理位置的接近而導致的空間相關(guān)性是空間相關(guān)性最初始的定義,與地理學第一定律吻合。這種相關(guān)性是環(huán)境,地質(zhì)等學科中的普遍現(xiàn)象?？臻g相關(guān)來源

空間相關(guān)來源

(ii)截面上個體間互相競爭(competition)和合作：最典型的例子是在一個伯川德(Bertrand)寡頭競爭的市場中,廠商對自己產(chǎn)品定價時將同時對市場上其他廠商的價格作出反應,最后決定的價格將是博弈的均衡點。(iii)模仿行為(copycat)：在一群體中，個體會重復或模仿一個或幾個特定個體的行為。例如在班級中中游成績的學生會以成績優(yōu)秀的學生為榜樣,競爭性體育比賽中,選手會以領(lǐng)先選手為心中目標,在以上這些情況下,如果不考慮空間相關(guān)性,所建立的模型會和真實模型相差甚遠。空間相關(guān)來源(iv)溢出效應(spillovereffect)：溢出效應是指經(jīng)濟活動和過程中的外部性對未參與經(jīng)濟活動和過程其中的周圍個體的影響。散發(fā)有毒氣體的植物會對周圍的植物產(chǎn)生有害的影響,屋主擁有一座漂亮花園也顯然對周圍鄰居有正效應。同樣不斷加強的貿(mào)易往來所帶來的經(jīng)濟利益對地區(qū)性國家多邊聯(lián)盟的形成具有正的溢出效應?？臻g相關(guān)來源(v)測量誤差：A,B,C三處的觀測本來是相互獨立的，但是研究者由于無法準確識別A,B和B,C相鄰的邊界，而將整個區(qū)域分成兩個部分I和II，在圖中用兩中顏色表示。顯然，由于I和II共享B，所以有理由相信，I和II上的觀測是空間相關(guān)的。空間相關(guān)來源

假設隨機變量，和互相獨立，當時，可以證明不為零。我們把這種空間相關(guān)性的來源稱為測量性誤差。這一來源說明，當我們處理帶有空間特性的數(shù)據(jù)時，無論經(jīng)濟理論是否明確顯示空間相關(guān)性，我們都應該在設定模型形式時候?qū)臻g相關(guān)性給予足夠重視和相應考慮。測量誤差空間統(tǒng)計學VS空間計量經(jīng)濟學

首先，空間統(tǒng)計學的理論是空間計量經(jīng)濟學發(fā)展的基礎(chǔ)。正如計量經(jīng)濟學其他分支的發(fā)展都廣泛借助統(tǒng)計學的理論，空間計量經(jīng)濟學也盡可能吸收一切可以利用的現(xiàn)存有關(guān)空間統(tǒng)計的理論。

概述空間統(tǒng)計學VS空間計量經(jīng)濟學

其次，統(tǒng)計學的應用范圍不僅限于經(jīng)濟學一門學科。生物，環(huán)境，地理，農(nóng)業(yè)，物理化學等眾多自然科學與社會科學均廣泛采用統(tǒng)計學理論。而空間計量經(jīng)濟學中所發(fā)展的一切模型和統(tǒng)計方法均為經(jīng)濟學問題而考慮。確實存在這樣的實例：某一空間統(tǒng)計學理論最初就是為處理經(jīng)濟學中的空間效應而提出，之后完全可能被應用到除經(jīng)濟學外的其他學科。概述空間統(tǒng)計學VS空間計量經(jīng)濟學

許多空間統(tǒng)計學中的經(jīng)典理論并不直接適合于經(jīng)濟學問題。在后面將看到，經(jīng)典空間統(tǒng)計學中對空間權(quán)重矩陣的定義具有很大的限制性。而目前計量經(jīng)濟學中廣泛采用的權(quán)重矩陣早已超越了最初的定義，而具有相當高的靈活性以包含并刻畫眾多不同性質(zhì)的經(jīng)濟學中的相關(guān)關(guān)系。這不能不說是空間計量經(jīng)濟學對空間統(tǒng)計學的補充和擴展。

概述空間統(tǒng)計學VS空間計量經(jīng)濟學

最后，正如Anselin(1988)所認為，空間統(tǒng)計學是以數(shù)據(jù)為出發(fā)點的(data-driven)，而空間計量經(jīng)濟學是以模型為出發(fā)點的(model-driven)。這說明，由經(jīng)濟學問題建立合適的刻畫相關(guān)性的計量模型，并發(fā)展相關(guān)的估計，假設檢驗，預測方法才是空間計量經(jīng)濟學的主要任務。概述空間計量經(jīng)濟學概述2.空間自相關(guān)的檢驗3.線性空間模型的估計4.空間計量經(jīng)濟學理論的最新發(fā)展5.實證例子內(nèi)容空間權(quán)重矩陣計量經(jīng)濟學經(jīng)常用線性模型來近似非線性模型，即可將近似寫成記矩陣的元素為，它的對角元素都為零?？臻g自相關(guān)

一般我們無法利用容量為的樣本去估計個參數(shù)。為了確保模型參數(shù)可識別，我們需要對的形式加以限制。最常用的限制方式之一就是假設其中稱為空間權(quán)重矩陣(spatialweightingmatrix)，它刻畫的是截面上個體之間空間相關(guān)的結(jié)構(gòu)，是一個無量綱的矩陣。稱為是空間自回歸系數(shù)，表示了空間相關(guān)性在給定空間結(jié)構(gòu)下的方向和強弱。空間自相關(guān)二元相關(guān)(0-1相關(guān))

例1.1.1.在地圖上的個子區(qū)域中，如果和具有相鄰的邊界(boundary)，則定義，否則?？臻g自相關(guān)以上定義的空間權(quán)重矩陣有如下兩大缺點:(1)按以上定義，空間權(quán)重矩陣總是一個對稱陣，這顯然是不符合有些情況的，例如現(xiàn)實中存在作用是單向或非對稱雙向的情形(模仿效應)，(2)0-1元素的設置無法區(qū)分各鄰居空間作用的強弱。

空間權(quán)重矩陣克服以上兩個缺點的辦法之一是，定義其中可以理解成是和的邊界相同部分的長度，是與其他相鄰接的個體邊界的總長。根據(jù)這一定義所得的權(quán)重矩陣如下所示：空間權(quán)重矩陣以上定義的權(quán)重矩陣的合理性在于，如果j和i同時和k相鄰，則由于j與k和i與k相鄰的邊界長度不同，j和k對i的空間作用分別不同，正比于它們與i相接的邊界的長度。空間權(quán)重矩陣空間滯后算子

定義的空間滯后為。的第i行是，這正是i所有鄰居的加權(quán)平均,賦予鄰居的權(quán)為。有時為了更加突出加權(quán)平均的含義，我們可以令的每一行之和為1?？臻g滯后算子行和單位化的好處行和單位化將原來空間矩陣的每一個元素分別除以所在行的元素之和，這使得變得不再具有量綱。由于將變得與具有相同的量綱，空間自回歸系數(shù)因此具有更加清晰準確的含義，它可以被解釋成空間相關(guān)的方向與大小，且不同模型之間還可以進行直接的比較。

空間權(quán)重矩陣例1:地方財政支出外溢Case,RosenandHines(JournalofPublicEconomics1993)利用空間計量模型檢驗美國48個州政府在財政支出決策上的策略性博弈并估計了支出的外溢效應強弱。他們考慮了三種可能的權(quán)重關(guān)系：(i)各州在地理上的相鄰關(guān)系：容易理解當?shù)卣畷⑴c其邊界相鄰的州視作競爭對手。如果州i與州j共享邊界，定義，其中表示所有與分區(qū)有共同邊界的分區(qū)個數(shù)。實例

除地理因素之外，各州政府將會將在經(jīng)濟和人口特征上水平接近的州也視作競爭對手。(ii)地區(qū)發(fā)展水平相似接近而導致的空間相關(guān)性，即表示對于給定的i，當j取遍所屬分區(qū)內(nèi)除i外的總和。(iii)由黑人人口比例接近引起的空間相關(guān)性，即表示對于給定的i，當j取遍所屬分區(qū)內(nèi)除i外所有的總和。Caseetal.1993空間權(quán)重矩陣雖然在模型中被看成是常數(shù)矩陣，但是運用空間模型進行實證研究時，它的選擇卻具有較大的主觀隨意性，這是因為空間相關(guān)機制依賴于模型背后的經(jīng)濟學理論，而對于一個實際問題，不同研究者看問題的角度和采用的理論未必相同。減少空間權(quán)重選擇主觀性的一個途徑是，采用以下嵌套的空間權(quán)重：

Caseetal.1993在上世紀70年代末Paelinck&Klaassen提出“空間計量經(jīng)濟學”一詞之初，人們研究它的目的僅僅是為地理經(jīng)濟，區(qū)域科學，城市經(jīng)濟學等與空間、地理概念密切相關(guān)的經(jīng)濟學分支提供實證分析工具。這體現(xiàn)在，當時的模型均從地理相鄰(geographicalproximity)角度出發(fā)來定義截面上個體之間的相關(guān)性。近年來，空間計量經(jīng)濟學理論經(jīng)歷了一個快速發(fā)展的階段，其應用范圍已由傳統(tǒng)的地理經(jīng)濟及區(qū)域科學領(lǐng)域拓展到了勞動經(jīng)濟學，公共財政、金融學領(lǐng)域等其他經(jīng)濟學分支。從模型構(gòu)建的變化過程來看，之所以目前空間計量經(jīng)濟學應用領(lǐng)域能夠在傳統(tǒng)基礎(chǔ)上不斷拓展，原因之一在于現(xiàn)代空間模型中對“空間自相關(guān)”的理解已超越了狹義的地理空間范疇，能夠根據(jù)實際問題采取靈活的形式，以更有效地說明問題與解釋問題。這些從更為廣義的視角來定義并考察截面上個體相關(guān)的計量模型被稱為廣義空間計量模型。

空間權(quán)重矩陣的擴展空間自相關(guān)檢驗時間序列中，我們可以用來檢驗序列中可能存在的自相關(guān)。由于時間序列的一階自回歸可以寫成

的形式，其中正是次對角線為1，其余元素零的T階矩陣，這使得我們可以將進一步寫成

空間自相關(guān)檢驗其中。假定現(xiàn)在已得截面上的一組觀測，和他們之間可能存在的空間相關(guān)結(jié)構(gòu)，記錄在中，則檢驗這組樣本分量間空間相關(guān)的MoranI統(tǒng)計量的一般形式為:

其中?？梢钥闯觯琈oranI統(tǒng)計量只是對應的時間序列中對一階自回歸檢驗在空間情形的自然推廣?？臻g自相關(guān)檢驗一般地，我們可以檢驗以下線性回歸模型中的擾動項是否存在空間相關(guān)性，

此時的MoranI統(tǒng)計量將是

其中MoranI統(tǒng)計量二次型中心極限定理考慮形如下列的隨機變量二次型和形式：假設1.是任意n維對稱矩陣，滿足行和與列和一致有界。是任意n維列向量且各元素一致有界。準備定理假設2.各分量是獨立具有零均值和有限方差的隨機變量，且存在某一超過四階的原點矩存在并一致有界，即滿足，其中是一個與n無關(guān)的正常數(shù)。

寫出的均值表達式和方差表達式如下：

準備定理中心極限定理(Kelejian&Prucha2001)：若假設1-2成立，且存在某個與n無關(guān)的正常數(shù)，使得成立，那么，其中表示依分布收斂。以上中心極限定理不要求同方差，因此可以運用到異方差的情形。準備定理MoranI統(tǒng)計量的零分布在一定的正則性假定下，當空間自相關(guān)不存在時，。證明：利用，可得

MoranI統(tǒng)計量MoranI統(tǒng)計量的等價形式注意到的另一等價表示

稱為DW檢驗。它們之間的關(guān)系大致是Geary’sC統(tǒng)計量：MoranI統(tǒng)計量可以證明，總是取正值，取值范圍一般介于0-4之間。當Geary’sC的值接近2時，表示不存在空間自相關(guān)，觀測值或擾動項在空間上呈現(xiàn)隨機分布；當Geary’sC的值接近0時，表示存在正的空間自相關(guān)，相似的觀測值或擾動項在空間上呈現(xiàn)集聚；當Geary’sC的值接近4時，表示存在負的空間自相關(guān)，相異的觀測值或擾動項在空間上呈現(xiàn)集聚；MoranI統(tǒng)計量空間計量經(jīng)濟學概述2.空間自相關(guān)的檢驗3.

線性空間模型的估計4.空間計量經(jīng)濟學理論的最新發(fā)展5.實證例子內(nèi)容SAR過程與SMA過程

p-階空間自回歸過程(SAR(p))分別是1至p階空間權(quán)重矩陣。q-階空間移動平均過程(SMA(q))

空間隨機過程SAR過程和SMA過程的最大區(qū)別在于，由SAR過程決定的空間效應傳遞機制是全局(global)的，而由SMA過程決定的傳遞機制是局部(local)的。將SAR(1)過程展開：這在形式上非常象SMA()過程。在SAR過程中，i處受到的沖擊會通過的一階，二階，甚至任意階滯后算子傳遞到其他任意一處。但是在SMA過程中，處受到的沖擊會只通過前有限空間滯后算子傳遞?？臻g隨機過程誤差成分過程(SEC)空間誤差成分過程(spatialerrorcomponent)，類似于面板數(shù)據(jù)中的隨機效應模型設定，任一處的沖擊分解成兩部分(之和)，其中一部分()不具備空間效應，即不會對鄰域造成影響。另一部分()則具備空間溢出效應,對鄰居產(chǎn)生空間作用。空間隨機過程空間回歸模型空間自回歸誤差模型：空間移動平均誤差模型：空間滯后模型：線性空間回歸模型p階空間滯后模型：

將SEM與SLM組合在一起，得到最一般的p階空間滯后，q階空間自回歸誤差模型線性空間回歸模型的最小二乘估計線性空間回歸模型

的OLSE為或其中。將對采用中心極限定理，但是的矩估計是一個維工具變量矩陣，通常由空間權(quán)重矩陣與組成，滿足總體矩條件令，線性空間回歸模型通常由中任意列秩大于或等于k+1，互相線性獨立的有限列構(gòu)成。在一定的正則性條件下，可以證明由廣義的Cauchy-Schwartz不等式可知，在所有可選的工具變量矩陣中，最佳的選擇應是

如果實際中的

，我們將無法找到合適的工具變量來實施以上方法。線性空間回歸模型的矩估計當沒有可供利用的外生解釋變量來構(gòu)造線性矩條件時，Kelejian&Prucha(1999)提出廣義矩估計可基于以下三個二次型矩條件進行：

其中。線性空間回歸模型我們可以用以上三個總體矩條件對應的樣本矩條件來估計和這兩個未知參數(shù)。線性空間回歸模型利用廣義矩估計的框架，我們可以通過求解下列最小化問題來得到參數(shù)的一致估計

最優(yōu)廣義矩估計量可以通過設置得到。線性空間回歸模型的系統(tǒng)矩估計無論是否有外生解釋變量構(gòu)成工具變量的來源，Lee(2007)提出以下的系統(tǒng)廣義矩估計方法。

其中，是維的工具變量矩陣。在真值處，。線性空間回歸模型最優(yōu)廣義矩估計量要求

按照標準的廣義矩估計理論，此時廣義矩估計量具有漸近方差，其中線性空間回歸模型其中

線性空間回歸模型我們還可以討論如何選擇最佳的，使得

是半正定矩陣。Lee(2007)證明，最佳的矩條件選擇應為且

其中由于最優(yōu)矩條件中還包含未知參數(shù)，在實際估計中應采用二步法。線性空間回歸模型空間計量經(jīng)濟學概述2.空間自相關(guān)的檢驗3.線性空間模型的估計4.空間計量經(jīng)濟學理論的最新發(fā)展5.實證例子內(nèi)容空間動態(tài)面板模型

經(jīng)濟學中許多問題的研究需要同時考慮被解釋變量在時間上的動態(tài)效應與在空間上的溢出效應。例如，研究發(fā)現(xiàn)某一地區(qū)的某種成癮性(addictive)消費品在某一時刻的需求量明顯依賴該地區(qū)前一時刻該種消費品的需求量，當期附近地區(qū)對該種消費品的需求與過去時刻附近地區(qū)對該種消費品的需求量；再如某一地區(qū)當期房產(chǎn)價格的平均水平應由當?shù)厍捌诜慨a(chǎn)價格的平均水平，該地附近當期房產(chǎn)平均價格水平和前期房產(chǎn)價格平均水平共同決定。一般的空間動態(tài)面板模型可以寫成空間計量經(jīng)濟學的最新發(fā)展

分別稱為空間滯后，時間滯后與時空聯(lián)合滯后系數(shù)。Lee&Yu(2007a)探究了模型的極大似然估計量的大樣本性質(zhì)。張征宇和朱平芳(2009a)從廣義矩估計的角度提出了進一步提高極大似然估計量漸近效率的方法。張征宇和朱平芳(2009b)運用空間動態(tài)面板模型分析了地方環(huán)境支出的外溢效應。空間動態(tài)面板模型非穩(wěn)定空間動態(tài)面板模型

穩(wěn)定時空序列要求矩陣的所有特征值都在單位圓內(nèi)。當?shù)奶卣髦档慕^對值部分等于1或者全部等于1時，所得的空間動態(tài)面板模型分別被稱為是部分非穩(wěn)定的與完全非穩(wěn)定的。Yuetal.(2007)討論了模型的極大似然估計量在部分非穩(wěn)定情形下的大樣本性質(zhì)。Yu&Lee(2010)討論了模型的極大似然估計量在完全非穩(wěn)定情形下的大樣本性質(zhì)。空間計量經(jīng)濟學的最新發(fā)展空間序列的近單位根現(xiàn)象

在中，可被唯一決定的充要條件是矩陣可逆。當經(jīng)過行和單位化后，可逆的充分條件是。當