定積分與不定積分的關系

定積分與不定積分的關系第一頁，共十五頁，2022年，8月28日如果物體運動的速度函數(shù)為v=v(t)，那么在時間區(qū)間[a,b]內物體的位移s可以用定積分表示為另一方面，如果已知該變速直線運動的路程函數(shù)為s=s(t)，則在時間區(qū)間[a,b]內物體的位移為s(b)–s(a)，所以又有由于，即s(t)是v(t)的原函數(shù)，這就是說，定積分等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間[a,b]上的增量s(b)–s(a).第二頁，共十五頁，2022年，8月28日一、積分上限函數(shù)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則對于任意的x()，積分存在，且對于給定的x()，就有一個積分值與之對應，所以上限為變量的積分是上限x的函數(shù).注意：積分上限x與被積表達式f(x)dx中的積分變量x是兩個不同的概念，在求積時(或說積分過程中)上限x是固定不變的，而積分變量x是在下限與上限之間變化的，因此常記為第三頁，共十五頁，2022年，8月28日定理6.3第四頁，共十五頁，2022年，8月28日證明由積分中值定理有第五頁，共十五頁，2022年，8月28日結論：變上限積分所確定的函數(shù)對積分上限x的導數(shù)等于被積函數(shù)f(t)在積分上限x處的值f(x).第六頁，共十五頁，2022年，8月28日由上述結論可知：盡管不定積分與定積分概念的引入完全不同，但彼此有著密切的聯(lián)系，因此我們可以通過求原函數(shù)來計算定積分.定理6.4(原函數(shù)存在定理)第七頁，共十五頁，2022年，8月28日定理6.5二、牛頓牛頓—萊布尼茲公式證明第八頁，共十五頁，2022年，8月28日

上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本定理.第九頁，共十五頁，2022年，8月28日牛頓－萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x)，然后計算原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.該公式把計算定積分歸結為求原函數(shù)的問題，揭示了定積分與不定積分之間的內在聯(lián)系.第十頁，共十五頁，2022年，8月28日例1

求

解第十一頁，共十五頁，2022年，8月28日例2

求

解第十二頁，共十五頁，2022年，8月28日例3

求

解第十三頁，共十五頁，2022年，8月28日例4

求

解第十四頁，共十五頁，2022年，8月28日小結理解積分上限函數(shù)、原函數(shù)存