概率論與隨機(jī)過程第1章4-5節(jié)(v15)

§4條件概率(一)在有些問題研究中，有時(shí)還需要知道在“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率?！逼浞Q為“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率”,記為P(B|A)。一般P(B|A)≠P(B).例如:某產(chǎn)品一盒共10只，已知其中有3只次品，從中取2次，每次任取一只，作不放回抽取，試求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。

解:

設(shè)A：第一次取到次品；

B：第二次取到次品。第一次取走一只次品后，盒中還剩下9只產(chǎn)品，其中只有2個(gè)次品，故又，且

故從樣本空間分析：第一次抽取時(shí)的樣本空間

當(dāng)A發(fā)生后，S縮減為

由此可知：P(B/A)是在縮減樣本空間上計(jì)算的。問題:

應(yīng)該如何來定義和計(jì)算條件概率呢?可想的方法:由于事件的頻率與概率有一定關(guān)系，所以是否可從此著手研究該問題?事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的頻率：

設(shè)事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，并設(shè)n次試驗(yàn)中，其中A，AB事件分別出現(xiàn)nA，nAB次，故在“事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的頻率”為:條件概率定義:

設(shè)A，B為隨機(jī)試驗(yàn)E的二個(gè)事件，且P(A)>0，則稱

為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。問題：條件概率是否滿足概率定義的非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性三條件?P(B|A)計(jì)算的兩種方法:

1)在樣本空間S的縮減樣本空間SA中直接計(jì)算B發(fā)生的概率P(B/A)；

2)在樣本空間S中,分別計(jì)算P(AB)和P(A),再計(jì)算例1:

設(shè)在一只盒子中混有新舊2種乒乓球，在新乒乓球中有白色40只，紅色30只；在舊乒乓球中有白色20只，紅色10只?，F(xiàn)任取一球，發(fā)現(xiàn)是新的，問這只球是白色的概率是多少?解:按題意,即求P(W/N)=?1)在縮減樣本空間N中考慮計(jì)算:P(W/N)=40/70=4/7。類型W(白)R(紅)共計(jì)N(新)403070O(舊)201030共計(jì)60401002)用公式求解:P(W/N)=P(WN)/P(N)=(二)條件概率的三定理1.概率的乘法定理:

設(shè)A、B∈S，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A)。

可推廣到三個(gè)事件的情形：

A、B、C∈S，P（AB）>0，則有

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般地，有下列公式：P(A1…An－1)>0，則有

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)。例2:袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從袋中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率。法2(古典）:解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則例3：一批燈泡共100只，次品率為10％，不放回地抽取三次，每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。法2:解：設(shè)Ai

={第i次取得合格品}，i=1，2，3。顯然，

P{第三次才取得合格品}=例4(補(bǔ)充)：在空戰(zhàn)訓(xùn)練中甲機(jī)先向乙機(jī)開火，擊落乙機(jī)的概率為0.2；若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3；若甲機(jī)未被擊落，則再進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率為0.4。求在這幾個(gè)回合中：(1)甲機(jī)被擊落的概率；(2)乙機(jī)被擊落的概率。解：設(shè)事件A={甲機(jī)被擊落}，事件B={乙機(jī)被擊落}，

事件Ai={第i回合射擊成功}，i=1,2,3。則由乘法定理可有:2.全概率公式樣本空間的劃分定義:

設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，

B1，B2，…，Bn為E的一組事件，若則稱B1，B2，…，Bn

(n可為)

為樣本空間S的一個(gè)劃分。

樣本空間的劃分可構(gòu)造的條件:

一次試驗(yàn)E，事件B1，B2，…，Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)事件發(fā)生。全概率公式:

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，B1，B2，…,Bn是S的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件AS有

證：且由概率和與乘法定理可得：*

全概率公式可由以下框圖表示： 設(shè)P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,…,n

易知：SP1P2Pn...B2B1Bn...q2q1qnA例5:市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。解：設(shè)：B：買到一件次品;A1:買到一件甲廠的產(chǎn)品;A2:買到一件乙廠的產(chǎn)品;A3:買到一件丙廠的產(chǎn)品。例6:有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球．這六個(gè)球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球；

A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；

B——從乙袋中任取一球是紅球；甲乙3.貝葉斯公式定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，B1,B2,…,Bn是S的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0,i＝1,2,…,n。對(duì)于任何事件AS，P(A)>0，則有貝葉斯公式：證：由條件概率可得：

由全概率公式可得：故有貝葉斯公式：

例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%， 若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差， 則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率；

(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。

解：設(shè)A={甲出差}，B={乙出差}

設(shè)試驗(yàn)只可能出現(xiàn)H1,H2,…,Hn有窮或可列多個(gè)不同的情況，而事件A只能伴隨這些情況發(fā)生。試在A事件發(fā)生的條件下，Hk發(fā)生的條件概率。貝葉斯公式通常用于下列問題中:例7:設(shè)甲乙丙三個(gè)箱子中：甲箱內(nèi)有a1個(gè)白球b1個(gè)黑球；乙箱內(nèi)有a2個(gè)白球b2個(gè)黑球；箱內(nèi)有a3個(gè)白球b3個(gè)黑球?，F(xiàn)任取出一箱，從此箱中任取出一球，結(jié)果發(fā)現(xiàn)此球?yàn)榘浊?。試在事件A″此球?yàn)榘浊颉宓臈l件下，求H1″此球?qū)儆诩紫洹宓臈l件概率P(H1/A)。解:設(shè)H1，H2，H3分別表示“此球?qū)儆诩滓冶洹?。，且?/p>

由全概率公式可得：由貝葉斯公式可得：

例8(補(bǔ)充)：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率分別是0.8，0.1，0.1。一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)售貨員任取一箱，而顧客開箱后隨機(jī)地查看四只，若無殘次品，則買下這箱玻璃杯，否則退回。試求：

(1)顧客買下這箱玻璃杯的概率p；

(2)在顧客買下的這箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率q。

解：設(shè)B={顧客買下所查看的一箱玻璃杯}，

Ai={箱中恰好有i件殘次品}，i=0，1，2，由題設(shè)知：

(1)由全概率公式

(2)由貝葉斯公式

例9:

數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。問發(fā)射端發(fā)的是0的概率是多少?解：設(shè)A---發(fā)射端發(fā)射“0”，

B---接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。例10(補(bǔ)充):某制帽廠生產(chǎn)的帽子合格率為0.8。一盒中裝有四頂帽子，一位采購員從每盒中隨機(jī)地取出兩頂帽子進(jìn)行檢驗(yàn)，如兩頂帽子都合格，就買下這盒帽子。求：(1)每盒帽子被買下的概率p；(2)在采購員買下的一盒中都是合格品的概率q。例解：設(shè)B={一盒帽子被買下}，

Ai={一盒帽子中有i頂合格}，

i=0,1,2,3,4，由題設(shè)知：(1)由全概率公式

(2)由貝葉斯公式

全概率公式與Bayes公式定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn 為E的一組事件。若：則稱B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分,或稱為一組完備事件組。B1B2BnS即：B1,B2,…,Bn至少有一發(fā)生是必然的，兩兩同時(shí)發(fā)生又是不可能的。

定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件。B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 則稱： 為全概率公式B1B2BnSA

證明：

定理：接上定理?xiàng)l件，

稱此式為Bayes公式。亦稱為蒙提霍爾問題、蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，大致出自美國的電視游戲節(jié)目Let'sMakeaDeal。問題名字來自該節(jié)目的主持人蒙提·霍爾（MontyHall）。三門問題（MontyHallproblem）瑪麗蓮·沃斯·莎凡特（MarilynvosSavant）這個(gè)游戲的玩法是：參賽者會(huì)看見三扇關(guān)閉了的門，其中一扇的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門后面則各藏有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人會(huì)開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后會(huì)問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門。

明確的限制條件如下：

參賽者在三扇門中挑選一扇。他并不知道內(nèi)里有什么。

主持人知道每扇門后面有什么。

主持人必須開啟剩下的其中一扇門，并且必須提供換門的機(jī)會(huì)。

主持人永遠(yuǎn)都會(huì)挑一扇有山羊的門。

如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。

如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機(jī)在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。

參賽者會(huì)被問是否保持他的原來選擇，還是轉(zhuǎn)而選擇剩下的那一道門。

參賽者最初選擇時(shí)有1/3的相同概率選擇汽車、A羊和B羊，轉(zhuǎn)換后的獲勝概率為2/3。解1：由于只需考慮換門(A)和中車(B)這兩個(gè)事件，故對(duì)全體樣本Ω作如下設(shè)定：

1.第一次選羊a，換，中

;

2.第一次選羊b，換，中

3.第一次選羊a，不換，不中

;

4.第一次選羊b，不換，不中

5.第一次選車，換，不中

;

6.第一次選車，不換，中

從而按照B1（中）,B2（不中）的劃分為

B1，中，P(B1)=?概率

B2，不中，P(B2)=?概率

（注意是在已經(jīng)打開一扇門二選一的前提下）嘉賓換門（A）這一事件發(fā)生的條件下，抽中車（B1）的概率。

P(B1/A)=?例(補(bǔ)充)：對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為98%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí)，其合格率為55%。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%，試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整得良好概率是多少？

解：設(shè)A={產(chǎn)品合格}，

B={機(jī)器調(diào)整良好}作業(yè)：將二信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站接收時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01。信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1。若接收站收到的信息是B，問原發(fā)信息是A的概率是多少？§6獨(dú)立性

例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取2 次,每次取1件，設(shè)Ai={第i次取到正品}，i=1,2不放回抽樣時(shí)，放回抽樣時(shí)，

即放回抽樣時(shí)，A1的發(fā)生對(duì)A2的發(fā)生概率不影響 同樣，A2的發(fā)生對(duì)A1的發(fā)生概率不影響§5事件的獨(dú)立性定理一：設(shè)A、B是兩事件，且P(A)＞0。若A，B相互獨(dú)立，則P(B/A)=P(B)。反之亦然。

定義：設(shè)A、B是兩事件，若滿足

P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與B相互獨(dú)立，簡稱A，B獨(dú)立。注意：若P(A)＞0，P(B)＞0，則A，B相互獨(dú)立與A，B互不相容不能同時(shí)成立。

定理二：若事件A，B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立

與，與，與。

多個(gè)事件的獨(dú)立性

若三個(gè)事件

A、B、C滿足：

(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；

若在此基礎(chǔ)上還滿足：

(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),

則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。一般，設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件，若對(duì)于其中任意2個(gè)，3個(gè)，…，n個(gè)事件的積事件的概率，都等于各事件概率的積，則稱事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立。

注意：含義：事件相互獨(dú)立,

它們中一個(gè)已經(jīng)發(fā)生，不影響另一個(gè)發(fā)生的概率。

A,B兩時(shí)間之間沒有關(guān)聯(lián)或者關(guān)聯(lián)很微弱，就可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的。事件獨(dú)立性的應(yīng)用1、簡化運(yùn)算：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,則