圓錐曲線中的一類對(duì)稱問(wèn)題

圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題是高考中的一類熱點(diǎn)問(wèn)題，該問(wèn)題集直線與圓錐曲線位置關(guān)系，點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，中點(diǎn)弦，方程與不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)于一體，經(jīng)常在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處、思想方法的交匯線和能力層次的交叉區(qū)設(shè)置問(wèn)題，一般問(wèn)題的綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大，具有很好的選拔功能，對(duì)學(xué)生的知識(shí)和能力的考察情況也較好。下面本文就這一類問(wèn)題的解決方法，結(jié)合下面的例題，談一下自己的看法。例：已知橢圓C:x2y21，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線l:y4xm，橢圓C4 3上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱。法一：利用判別式及韋達(dá)定理來(lái)求解兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對(duì)稱，對(duì)稱中體現(xiàn)的兩要點(diǎn)：垂直和兩點(diǎn)連線中點(diǎn)在對(duì)稱直線 l上，因此使用這種方法求解時(shí) ,必須同時(shí)確保 :⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就說(shuō)明三個(gè)確保的實(shí)施。解:橢圓上存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線l:y4xm對(duì)稱設(shè)直線AB為:y1xn(確保垂直).4則直線AB與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)y1xnx2413x28nx16n2480y2413192(4b213)0(確保存在)即：1313①n22x18n8nx21313A,B兩點(diǎn)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1x24n,縱坐標(biāo)為14nn12n21341313則點(diǎn)4n12在直線13,n13m4n13把上式代入①中 ,得：

l:y4xm上,12n44nm.(確保平分)1313213m213.1313法二：點(diǎn)差法點(diǎn)差法是解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的一種常見(jiàn)方法，對(duì)稱問(wèn)題符合點(diǎn)差法的應(yīng)用條件，過(guò)程如下解:設(shè)橢圓上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0)，代入橢圓方程后作差，得y1y23x01①x1x24y04由點(diǎn)M(x,y)在直線l:y4xm上，得y04xm②000由①②解得x0m,y03m因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在橢圓的內(nèi)部所以(m)2(3m)2143解得213m213.1313法三：利用根的分布求解C上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，等價(jià)于C上存在被l垂直平分的弦，即等價(jià)于C的適合條件的弦所在的直線方程，與曲線C的方程組成的方程組在某確定的區(qū)間上有兩不同的解，因此可利用一元二次方程根的分布來(lái)求解，過(guò)程如下。解：由解法二，知中點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為(m,3m)，所以直線AB的方程為y1x13m44代入橢圓方程整理得13x226mx169m2480此方程在[2,2]上有兩個(gè)不等實(shí)根令f(x)13x226mx169m248，則0f(2)0解得213m213f(2)013.132m2法四： 平行弦中點(diǎn)軌跡法尋求有關(guān)弦中點(diǎn)軌跡，通過(guò)軌跡曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合尋求參量范圍。解：設(shè)橢圓上關(guān)于 l對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為 A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0)，將A,B坐標(biāo)代入橢圓方程后作差，得y1y23x01kABx24y04x1y0 3x0所以以1y3x在橢圓內(nèi)的一段，不包括端點(diǎn)。為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡是直線4將y3x與橢圓C:x2y21聯(lián)立得兩交點(diǎn)P(213,613),Q(213,613)4313131313所以問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直線l:y4xm與線段y3xx213213(,)有交點(diǎn)。1313易得m的取值范圍是213m213.1313以上方法在處理其它