圓錐曲線中的最值和范圍問題

高考在考什么【考題回放】1．已知雙曲線x2y21(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲a2b2()線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.(1,2)B.(1,2)C.[2,)D.(2,+∞)2．P是雙曲線x2y21的右支上一點，M、N分別是圓2222916(x＋5)＋y＝4和(x－5)＋y＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（）A.6B.7C.8D.93．拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是()478D．3A．B．C．3554．已知雙曲線x2y21,(a0,b0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右a2b2支上，且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（）4(B)5(C)27(A)3(D)335．已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是.6．設(shè)橢圓方程為x2y21，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，4點P滿足OP1(OAOB)，點N的坐標(biāo)為(1,1)，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求（1）動點P的222軌跡方程；（2）|NP|的最小值與最大值 .高考要考什么1【考點透視】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題，因其考查的知識容量大、分析能力要求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個熱點?！緹狳c透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價值在于：通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點的坐標(biāo)；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式 0。突破重難點【范例1】已知動點P與雙曲線x2y21的兩個焦點F1、F2的距離之和為定值，且23cosF1PF2的最小值為1．9（１）求動點P的軌跡方程；（２）若已知D(0,3)，M、N在動點P的軌跡上且DMDN，求實數(shù)的取值范圍．【范例2】給定點A(-2,2)，已知B是橢圓x2y21上的動點，F(xiàn)是右焦點，當(dāng)AB5BF25163取得最小值時，試求B點的坐標(biāo)。22【范例3】已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點在橢圓 x y2 1上移動,試求|PQ|的最9大值?！痉独?】已知△OFQ的面積為26，OFFQm（1）設(shè)6m46，求OFQ正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖），|OF|c,m(61)c2當(dāng)|OQ|取得最小值時，4求此雙曲線的方程。自我提升31．設(shè)AB是過橢圓x2y21(ab0)中心的弦，橢圓的左焦點為F1(-c，0)，則△F1AB的a2b2面積最大為（）2A．bcB．a(chǎn)bC．a(chǎn)cD．b2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是橢圓x2y2）251上一點，則|PA|＋|PB|的最大值為（9A．10B．105C．105D．1025x2y2）3．已知雙曲線1，過其右焦點F的直線l交雙曲線于AB，若|AB|=5，則直線l有（169A．1條B．2條C．3條D．4條2上一點，設(shè)P到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為d1,到直線x+2y+10=0的4．已知點P是拋物線y=4x距離為d2,則d1+d2的最小值為（）A．5B．411511C．（D）55x2y221個不同的點Pi（i=1，2，3，?），使5．設(shè)F是橢圓1的右焦點，且橢圓上至少有76|FP1|，|FP2|，|FP3|，?組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為____6．拋物線y2=2x上到直線x-y+3=0距離最短的點的坐標(biāo)為__________7．如圖，已知A、B是橢圓x2y2161的兩個頂點，9C、D是橢圓上兩點，且分別在AB兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值是_______8．如圖3，拋物線2x2y21的一段圍成封閉圖形，點N（1，0）在x軸y=4x的一段與橢圓34y上，又A、B兩點分別在拋物線及橢圓上，且AB//x軸，求△NAB的周長l的取值范圍。ABONx圖39．求實數(shù)m的取值范圍，使拋物線2y=x上存在兩點關(guān)于直線y=m(x-3)對稱10．已知A（－2，0），B（2，0），動點P與A、B兩點連線的斜率分別為kPA和kPB，且滿足kPAkPB=t(t≠0且t≠－1).P的軌跡C的方程；（１）求動點F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點Q使得∠F1QF2=120O，（２）當(dāng)t＜0時，曲線C的兩焦點為求t的取值范圍．圓錐曲線中的最值和范圍問題4高考在考什么【考題回放】x2y21(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲1．已知雙曲線b2a2(C)線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.(1,2)B.(1,2)C.[2,)D.(2,+∞)x2y21的右支上一點，M、N分別是圓22222．P是雙曲線16(x＋5)＋y＝4和(x－5)＋y＝19上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（B）A.6B.7C.8D.93．拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是(A)A．47C．8D．33B．5x225y1,(a0,b0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右4．已知雙曲線b2a2支上，且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）(A)4(B)5(C)2733(D)2322的最5．已知拋物線y=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y1+y2小值是32.6．設(shè)橢圓方程為x2y21，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，4點P滿足OP1(OAOB)，點N的坐標(biāo)為(1,1)，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求（1）動點P的222軌跡方程；（2）|NP|的最小值與最大值.【專家解答】（1）法1：直線l過點M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.記A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo)(x1,y1)、(x2,y2)是方程組ykx1①222x2y的解.將①代入②并化簡得(4+k)x+2kx-3=0，1②4x1x22k2,k所以48y12.y2k41x1x2y1y2k4于是OP2(OAOB)(2,2)(4k2,4k2).設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則5x4k2,k消去參數(shù)k22③4得4x+y-y=0y4k2.當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為4x2+y2-y=0解法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上，所以x12y121,④x22y221.⑤41(y124④—⑤得x12x22y22)0，41(y1所以(x1x2)(x1x2)y2)(y1y2)0.4y1y2當(dāng)x1x2時，有x1x21(y1y2)0.⑥x1x24x1x2,2并且 y y1 y2, ⑦ 將⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧2y 1 y1y2.x x1 x2當(dāng)x1=x2時，點A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，－2），這時點 P的坐標(biāo)為x2(y1)2（0，0）也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為21.11164（2）由點P的軌跡方程知x21,即1x1.所以1644|NP|2(x1)2(y1)2(x1)214x23(x1)272224612故當(dāng)x1，|NP|取得最小值，最小值為1;44當(dāng)x1時，|NP|取得最大值，最大值為21.66高考要考什么【考點透視】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題，因其考查的知識容量大、分析能力要求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個熱點。6【熱點透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價值在于：通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點的坐標(biāo)；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式 0。突破重難點【范例1】已知動點P與雙曲線x2y21的兩個焦點F1、F2的距離之和為定值，且123cosF1PF2的最小值為．9（１）求動點P的軌跡方程；（２）若已知D(0,3)，M、N在動點P的軌跡上且DMDN，求實數(shù)的取值范圍．講解(１)由題意c2=5．設(shè)|PF1|+|PF2|=2a（a5），由余弦定理,得cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22a2101．2|PF1||PF2||PF1||PF2|又||·|PF1||PF2|22，PF1|PF2|(2)a當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時，|PF1||PF2|取最大值，此時cosF1PF2取最小值2a2101，令2a21011，a2a292c2，故所求P的軌跡方程為x2y2解得a=9，5，∴b=491.4（２）設(shè)N(s,t)，M(x,y)，則由DMDN，可得(x，y-3)=(s，t-3)，故x=s，y=3+(t-3).∵M(jìn)、N在動點P的軌跡上，s2t21且(s)2(t33)21，9494(t33)22t212135，消去s可得4，解得t67又|t|2，∴|135|2，解得15，65故實數(shù) 的取值范圍是 [1,5]．5【點晴】為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等．【范例2】給定點A(-2,2)，已知B是橢圓x2y21上的動點，F(xiàn)是右焦點，當(dāng)AB5BFB點的坐標(biāo)。25163取得最小值時，試求解析：因為橢圓的e3，所以AB5BFAB1BF，而1BF為動點B到左準(zhǔn)線53ee的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點B，使得它到A點和左準(zhǔn)線的距離之和最小，過點B作l的垂線，垂點為N，過A作此準(zhǔn)線的垂線，垂點為M，由橢圓定義|BF||BF|5|BN|e|BN|e|BF|35BF|AB||BN||AN|AM為定值于是AB3其中，當(dāng)且僅當(dāng)B點AM與橢圓的定點時等點成立，此時B為(53,2)2所以，當(dāng)AB5(53BF取得最小值時，B點坐標(biāo)為,2)32【點晴】在處理許多與焦點有關(guān)的距離和差最值問題時，常常用圓錐曲線的定義化折為直，是一種簡便而有效的好方法。【范例3】已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點在橢圓x2y21上移動,試求|PQ|的最9大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，222①只要求|O1Q|的最大值.設(shè)Q(x，y)，則|O1Q|=x+(y-4)因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2)②2將②代入①得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)28y1272133因為Q在橢圓上移動，所以-1y1，故當(dāng)y時，O1Qmax2此時PQmax331【點晴】1.與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．【范例4】已知△OFQ的面積為26，OFFQm（1）設(shè)6m46，求OFQ正切值的取值范圍；8（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖），61)c2當(dāng)|OQ|4取得最小值時，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè)OFQ=|OF||FQ|cos()mtan461|OF||FQ|sin26m26m464tan1（2）設(shè)所求的雙曲線方程為x2y21(a0,b0),Q(x1,y1),則FQ(x1c,y1)a2b2∴SOFQ1|OF||y1|26，∴y1462c又∵OFFQm，∴OFFQ(c,0)(x1c,y1)(x1c)c(61c24x6c,|OQ|x2y2963c212.1411c28當(dāng)且僅當(dāng)c=4時，|OQ|最小，此時Q的坐標(biāo)是(6,6)或(6,6)661a24x2y2a2b2，所求方程為1.a2216b212412b【點晴】當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時，可通過建立目標(biāo)函數(shù)，求其目標(biāo)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、基本不等式法、判別式法、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等。自我提升x2y21(ab0)中心的弦，橢圓的左焦點為F1(-c，0)，則△F1AB1．設(shè)AB是過橢圓2b2a的面積最大為（A）D．b2A．bcB．a(chǎn)bC．a(chǎn)cx2y21上一點，則|PA|＋|PB|的最大值為（C）2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是橢圓925A．10B．105C．105D．10253．已知雙曲線x2y21，過其右焦點F的直線l交雙曲線于AB，若|AB|=5，則直線l有16 9B）A．1條B．2條C．3條D．4條4．已知點P是拋物線y2=4x上一點，設(shè)P到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為d1,到直線x+2y+10=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為（C）9A．5B．411511C．（D）55x2y21的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi（i=1，2，3，?），5．設(shè)F是橢圓67使|FP1|，|FP2|，|FP3|，?組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為____[1,0)(0,1].10106．拋物線y2=2x上到直線x-y+3=0距離最短的點的坐標(biāo)為__________(1，1）x2y227．如圖，已知A、B是橢圓1的兩個頂點，169C、D是橢圓上兩點，且分別在AB兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值是_______1228．如圖3，拋物線2x2y2y=4x的一段與橢圓1的一段圍成封閉圖形，點43N（1，0）在x軸上，又A、B兩點分別在拋物線及橢圓上，且的周長l的取值范圍。解：易知N為拋物線y2=4x的焦點，又為橢圓的右焦點，拋物線的準(zhǔn)線l1：x=-1，橢圓的右準(zhǔn)線l2：x=4，過A作ACl1于C，過B作BDl2于D，則C、A、B、D在同一條與 x軸平行的直線上。y24x2由x2y2，得拋物線與橢圓的交點M的橫坐標(biāo)x4133而|BN|=e|BD|=1|BD|,|AN|=|AC|2∴△NAB的周長l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|

AB//x軸，求△NAByABONx圖1|BD|=|BC|+|BD|-1|BD|=|BC|+2211|BD|=|CD|-|BD|=5-222，即11|BD|542|BD|432310l4，即l的取值范圍為（10，4）339．求實數(shù)m的取值范圍，使拋物線y2=x上存在兩點關(guān)于直線y=m(x-3)對稱解法1：設(shè)拋物線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=m(x-3)對稱，A，B中點M(x,y)，則當(dāng)m=0時，有直線y=0，顯然存在點關(guān)于它對稱。當(dāng)my12x1y1y21110時，y22x2x1x2y1y22ym10所以ym，所以M的坐標(biāo)為5,m222

，∵M(jìn)在拋物線內(nèi)，則有

5 m2 2

2，得 10 m 10且m0，綜上所述， m 10, 10解法 2：設(shè)兩點為 A(x1，y1),B(x2，y2)，它們的中點為 M(x，y)，兩個對稱點連線的方程為x=-my+b，與方程22所以y1+y2=-m，即ymy=x聯(lián)立，得y+my-b=0，5,m2又因為中點M在直線y=m(x-3)上，所以得M的坐標(biāo)為225m2又因為中點M在直線x=-my+b上，b，22對于，有=m2+4b=10-m2>0，所以10m10。10．已知A（－2，0），B（2