正弦定理典型例題與知識點

正弦定理教學(xué)重點：正弦定理教學(xué)難點：正弦定理的正確理解和嫻熟運用,邊角轉(zhuǎn)化。多解問題1.正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即==2.三角形面積公式在隨意斜△ABC當(dāng)中S△ABC=3.正弦定理的推論：===2R（R為△ABC外接圓半徑）4.正弦定理解三角形1）已知兩角和隨意一邊，求其它兩邊和一角；2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角。3）已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種狀況:（多解狀況）eq\o\ac(○,1)若A為銳角時:eq\o\ac(○,2)若A為直角或鈍角時:1,已知中，，，則角等于(D)A．

B．

C．

D．2,ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若sinA=，b=sin

B，則a等于

(D)

A．3

B．

C．

D．1.在中，若，則肯定是()A,等腰三角形B,直角三角形C,等腰直角三角形D,等腰或直角三角形解析：[∵∴]3.在△ABC中，C=，則的最大值是_______________.[解析]∵在△ABC中，C=，∴，∵∴∴時，取得最大值。4.若中，，則角C的大小是__________解析7.在△ABC中，已知，，試推斷△ABC的形態(tài)。解：由正弦定理得：，，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，△ABC為等邊三角形。６．在中，是成立的(C)Ａ．必要不充分條件Ｂ．充分不必要條件Ｃ．充要條件Ｄ．既不充分也不必要條件1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若c=，b=，B=120°,則a等于（）A.B.2 C.D.答案D3.下列推斷中正確的是（）A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有兩解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有兩解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,無解答案B4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,則△ABC肯定是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等邊三角形答案B10.在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A,C和c.解∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有兩解.由正弦定理得sinA===,則A為60°或120°.①當(dāng)A=60°時，C=180°-(A+B)=75°,c====.②當(dāng)A=120°時，C=180°-(A+B)=15°,c====.故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.12.在△ABC中，a,b,c分別表示三個內(nèi)角A,B,C的對邊，假如（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），推斷三角形的形態(tài).解方法一已知等式可化為a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsin由正弦定理可知上式可化為：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC為等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcos由正,余弦定理,可得a2b=b2a∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC為等腰或直角三角形.2．在△ABC中，已知∠B＝45°，c＝2eq\r(2)，b＝eq\f(4\r(3),3)，則∠A等于()A．15°B．75°C．105°D．75°或15°解析：依據(jù)正弦定理eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(2\r(2)×\f(\r(2),2),\f(4\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).∴C＝60°或C＝120°，因此A＝75°或A＝15°.答案：D例1已知a,b為△ABC的邊，A,B分別是a,b的對角，且，求的值.解：∵(這是角的關(guān)系)，∴(這是邊的關(guān)系)于是，由合比定理得例2已知△ABC中，三邊a,b,c所對的角分別是A,B,C，