有限元法的理論基礎

有限元法的理論基礎

1求解彈性力學問題方法概述

4彈性力學問題近似求解的加權殘數(shù)法

2基于最小勢能原理的變分法

3基于虛位移原理的變分法1求解彈性力學問題方法概述上圖給出了求解彈性力學問題的5條途徑：圖3-4求解彈性力學問題的原理與方法框圖1、①——①路徑——直接法（從力平衡關系、幾何關系以及物理關系出發(fā)，推導出一個或一組關于應力或者關于應變、有時是同時含有應力、應變的微分方程或偏微分方程，通過求解微分方程，解出應力、應變和變形量。）一、幾種常用的能量原理和適用條件24、②——④——①或②——④——③路徑，這兩種方法都不經(jīng)常使用。因為變分法比直接法使用的較晚，所以總是用變分法沿②——④路徑推出控制方程，以證明變分的正確性。3、①——③路徑，這是在已知控制方程的條件下經(jīng)常使用的近似計算方法。（加權殘數(shù)法）一、幾種常用的能量原理和適用條件2、②——②路徑——能量法這是經(jīng)常使用的基于能量原理的近似計算方法。（變分法）3要利用能量原理去求解力學問題，必須會計算功（內力功、外力功）與能（外力勢能、彈性能，如應變能）。與能量原理有關的基本知識4在彈性力學分析靜力問題時，加載過程永遠是逐加、緩加過程。在這一過程中，所有外加載荷都是由零逐漸加到它的額定值，由其引起的位移和應變也是由零逐漸達到它的額定值的。對于線彈性體，外力（內力）與其作用點的位移之間的關系，以及其應力與應變之間的關系都是線性關系（如圖3－10所示）。（1）實功如圖3－10（a）所示，力Pk在其作用方向上直接引起的位移vkk上所作的功叫做實功。對于線彈性體，Pk與vkk呈圖3－10（b）所示的線性關系，實功的計算公式為：圖3－10二向應力模型一功與能的計算5（2）虛功如圖3－11所示，力Pk在別的原因（如Pm）引起的位移vkm上所做的功叫做虛功。其計算公式為：（3）應變能應變能是由內力（或應力）所做的實功來計算的。直粱彎曲應變能：圖3－11二向應力模型一功與能的計算6（3）外力虛功計算公式式中vi——Pi對應的虛位移。式中——虛轉角；M——原平衡力系引起的彎矩（4）內力虛功計算公式1）直粱彎曲內力虛功式中——虛轉角；——原平衡力系引起的彎矩二、虛功原理2）一般彈性體的內力虛功式中—對應虛位移的虛應變；—原平衡力系引起的應力7總勢能的計算包括彈性勢能（以應變能形式表示）和外力勢能兩部分，對于不同的結構有不同的表達式。對于任何一個彈性結構，當有外力作用以后，必然會發(fā)生彈性變形，在這一變形過程中，結構會積蓄彈性勢能，而作用其上的外力勢能也會發(fā)生變化。根據(jù)能量原理可知，當該結構的能量最小時，它會達到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。最小勢能原理：對于任何彈性結構，若其總勢能表達為彈性位移（位移函數(shù)），則當它處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，其總勢能必取極小值。即達到穩(wěn)定平衡狀態(tài)的彈性體，真實的位移是使得彈性體的總勢能取最小值時發(fā)生的位移三最小勢能原理8（1）直粱的總勢能有一受橫向載荷的兩端簡支粱（如圖3－12）所示，其彈性勢能是由于粱彎曲變形引起的應變能，而外力勢能是由于粱的擾度引起橫向載荷勢能的變化。設粱的擾度為v（x），彈性勢能為2

，外力勢能為1，由（3－18）式彈性勢能為由外力勢能的定義有：總勢能＝1＋2，即（外力沿其正方向做功，總使其勢能減小，故上式為負值）圖3－12兩端簡支粱三、最小勢能原理9（2）一般彈性體的總勢能圖3－13所示為一個一般體，其一部分邊界為B1固定，其余的邊界為B2自由；其體積力為q，在自由邊界作用有分布力p。設其彈性勢能為2，外力勢能為1；再設q＝（qx

qy

qz）T，p＝（px

py

pz）T，＝（uvw）T，則由3－24式有：由外力勢能的定義有：總勢能＝1＋2，即圖3－13受載的一般彈性體三、最小勢能原理10（3）最小勢能原理的數(shù)學表達式由最小勢能原理可知，彈性體受力以后，其總勢能就是其位移函數(shù)v或的泛函，而其平衡位置就是使取極小值的位置。因而最小勢能原理的數(shù)學表達式為：三、最小勢能原理112基于最小勢能原理的變分法一、利用變分法推導控制方程圖3-14受均布載荷簡支粱1、求總勢能（建立泛函）2、由最小勢能原理求控制方程（求泛函極值）由最小勢能原理可知，粱在外力作用下處于穩(wěn)定平衡的條件是其總勢能取極小值。即（3－32）式12將上式第一項中的微分變分符號互調，并將該式代入（3－32）式有由（3－30）式將上式的第一項分步積分兩次變?yōu)椋?－35）式中前兩項給出了邊界條件，而后一項則給出了控制方程。現(xiàn)按李景涌給出的三類邊界條件分別寫出。2基于最小勢能原理的變分法13（3－35）式前兩項得0，據(jù)變分法的基本預備定理，必得控制方程：（1）兩端固定粱（2）兩端簡支粱2基于最小勢能原理的變分法（3－35）式前兩項得0，據(jù)變分法的基本預備定理，必得控制方程：14（3－35）式前兩項得0，據(jù)變分法的基本預備定理，必得控制方程：（3）一端固定一端自由由對（3－35）式的分析可知，（3－22）式，也即＝0這個算式中已全部包含了由直接方法得出的控制方程和邊界條件。由此，可以得到重要結論：2基于最小勢能原理的變分法由變分法可以推出控制方程和相應的邊界條件，然后去求解方程。這是②—④—①的思路。15由此可見，不去直接求解控制方程式（3－35），而直接利用＝0這一算式去尋求位移函數(shù)v（x），同樣可以使問題得到解答。由（3－35）式可知，若能找到一個位移函數(shù)v(x)，它既滿足（3－35）式的前兩項（邊界條件），又滿足最后一項（控制方程），則它就是問題的精確解。但是，由于選擇一個精確位移函數(shù)v(x)很不容易，在實際應用中往往只讓v(x)精確地滿足（3－35）式中的部分項，而近似地滿足另外的項，這就是“利用變分法直接近似計算”的理論依據(jù)。2基于最小勢能原理的變分法圖3-1516（1）設位移函數(shù)根據(jù)位移邊界條件vx=0=0，vx=l=0，設該方法是假設一位移函數(shù)v（x），只令其先滿足位移邊界條件，然后再通過＝0（最小勢能原理）去近似滿足力邊界條件和平衡方程（控制方程）式。(以圖3－12所示簡支梁為例)（2）求（總勢能）對上式進行積分得1）、里茲法17由（3－42）式可知，v（x）的函數(shù)形式是已知的，當它產生變分v時，只是它的幅值a產生一個微小變化a。當把（3－43）式代入（3－32）時，將有（3）由＝0求解a因為a不得為0，所以上式變?yōu)椋汗蕦ⅲ?－44）式代入（3－42）式得1）里茲法181）中點擾度（4）求各點的擾度、內力和應力精確解為1）里茲法2）各截面彎矩3）截面上任一點應力位移函數(shù)v（x）可以選取任何形式的函數(shù)，對項數(shù)和參數(shù)a的個數(shù)也沒有限制，只要滿足它們的邊界條件即可。19（1）設位移函數(shù)該方法是在里茲法的基礎上發(fā)展起來的，其特點是在設定位移函數(shù)時除了使v（x）滿足位移邊界條件外，還要求它滿足力邊界條件，然后通過＝0使其近似滿足控制方程式。仍以圖3－12所示簡支粱為例進行介紹。（2）求（總勢能）2）伽遼金法20由＝0求解a1、a2、a3上式進行積分得將（3－50）式代入（3－32）式有將上式中ai（i=1,2,3）相同的項合并，則2）伽遼金法代入（3－30）式，得21求解（3－53）式得由于ai的任意性，且不得為0，必有將（3－54）式代入（3－49）式有2）伽遼金法22（1）思路里茲法所設位移函數(shù)在全域內連續(xù)（如3－11）式），而有限元法所設位移函數(shù)是在單元內連續(xù)，在全域內并非完全連續(xù)（只一階或二階連續(xù)）。至于求解原理兩個方法是相同的。將簡支粱分為n個單元，其單元號與節(jié)點號如圖3－16所示。若任一節(jié)點i處的擾度為vi，轉角為i，則可以每個單元的插值函數(shù)：3）有限元法所連成的曲線作為粱的位移函數(shù)，如圖（3－16）（b）所示。這樣，在求總勢能時沿粱長l的積分將變成沿每個單元長度le之和，即圖3-16簡支粱受彎的插值函數(shù)撓度曲線23將（3－57）代入（3－32）式將有式中由（3－59）式可知，只要求得每個單元的e，然后代入（3－59）式，就可以求得每個節(jié)點的vi和i（i=1，2，n，n+1），從而得到位移函數(shù)ve（x），使問題得解（因為在此，節(jié)點的位移vi，i是位移函數(shù)的待定系數(shù)）。3）有限元法24圖（3－17）所示為任一單元（e）變形后的位移曲線ve（x），其在i，j節(jié)點處所示的位移與轉角均為正方向。現(xiàn)設單元位移函數(shù)ve（x）（插值函數(shù)）為（2）求單元位移函數(shù)ve（x）式中ai（i=0，1，2，3）為待定系數(shù)。若其兩端的位移與轉角為已知，則由邊界條件可求出ai。邊界條件為：3）有限元法將和代入（3－61）有圖3-17粱單元位移函數(shù)25將ai代入（3－60）式，并按vi，i，vj，j的順序加以整理，則聯(lián)立求解得上式就是插值形式的位移函數(shù)。寫成矩陣形式為：（3－62）式可以進一步縮寫成3）有限元法式中式中26（3－63）式中的Ni（i=1，2，3，4）叫做形狀函數(shù)。在粱單元中，它表示一個兩端固定粱只產生一個單位位移時粱彎曲成的形狀。見圖3－18。（3）形狀函數(shù)3）有限元法圖3－18粱單元的形狀函數(shù)27再將（3－64）式寫成如下形式：求e（單元總勢能）由（3－64）式得：將(3-66),(3-67)式代入（3－58）式，有（4）求e因為Ni是x的已知函數(shù)，所以是由節(jié)點位移的變分eT而引起的。故（3－68）式的變分為：3）有限元法28對（3－70）式第一項進行積分將eT和e提到積分號外將Ni”代入（3－71）式并積分得：3）有限元法29對（3－70）式第二項進行積分將Ni代入（3－73）式并積分得：3）有限元法將（3－72），（3－74）式及e表達式代入（3－70）式得：30將（3－72）式和（2－9）式作比較發(fā)現(xiàn)，若不考慮軸向位移，（3－72）式恰是粱單元的剛度矩陣Ke，而（3－75）式中大括號內的第一項，恰是粱單元由節(jié)點位移vi，i，vi，j引起的節(jié)點力Vi，Mi，Vj，Mj。3）有限元法313）有限元法將（3－74）式和（2－29）式作比較發(fā)現(xiàn)，（3－74）式恰是承受均布載荷q的兩端固定粱的固端反力，由上向下依次為V0i，M0i，V0j，M0j。由上面的分析，（3－75）式可寫成下面的矩陣形式。32由（3－75）式可見，在eT與e中節(jié)點位移的排列順序是一樣的。若將（3－77）式各項按整個粱的節(jié)點順序排列，并注意到＝（v11vn+1n＋1）的任意性，則由（3－77）式可得。（5）由＝0求解節(jié)點位移式中KZ是由每個單元剛度矩陣Ke集合而成（整體剛度矩陣），F(xiàn)Z0是由每個單元的固端反力集合而成，若將該矩陣前加“—”號，它就是等效節(jié)點載荷。3）有限元法將每個單元的e（如3－76式）代入（3－59）式，得：33將其移到等號右邊，則（3－78）式變?yōu)椋?）有限元