江蘇省南京秦淮外國語校2023學(xué)年中考一模數(shù)學(xué)試題含解析及點睛_第1頁
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文檔簡介

2023中考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.一個圓的內(nèi)接正六邊形的邊長為2,則該圓的內(nèi)接正方形的邊長為()A. B.2 C.2 D.42.如圖,若a∥b,∠1=60°,則∠2的度數(shù)為()A.40° B.60° C.120° D.150°3.如圖,AD是半圓O的直徑,AD=12,B,C是半圓O上兩點.若,則圖中陰影部分的面積是()A.6π B.12π C.18π D.24π4.已知點A、B、C是直徑為6cm的⊙O上的點,且AB=3cm,AC=3cm,則∠BAC的度數(shù)為()A.15°

B.75°或15°

C.105°或15°

D.75°或105°5.下列運算正確的是()A.5a+2b=5(a+b) B.a(chǎn)+a2=a3C.2a3?3a2=6a5 D.(a3)2=a56.如圖,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱軸為x=1,與y軸交于點C,與x軸交于點A、點B(﹣1,0),則①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④當(dāng)y>0時,﹣1<x<3,其中正確的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.47.實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示,則正確的結(jié)論是()A.a(chǎn)+b<0 B.a(chǎn)>|﹣2| C.b>π D.8.若在同一直角坐標(biāo)系中,正比例函數(shù)y=k1x與反比例函數(shù)y=的圖象無交點,則有()A.k1+k2>0 B.k1+k2<0 C.k1k2>0 D.k1k2<09.如圖,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中點,動點P從點A出發(fā),沿AC方向勻速運動到終點C,動點Q從點C出發(fā),沿CB方向勻速運動到終點B.已知P,Q兩點同時出發(fā),并同時到達終點.連結(jié)MP,MQ,PQ.在整個運動過程中,△MPQ的面積大小變化情況是()A.一直增大 B.一直減小 C.先減小后增大 D.先增大后減小10.實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置大致如圖所示,O為原點,則下列關(guān)系式正確的是()A.a(chǎn)﹣c<b﹣c B.|a﹣b|=a﹣b C.a(chǎn)c>bc D.﹣b<﹣c11.甲、乙兩人分別以4m/s和5m/s的速度,同時從100m直線型跑道的起點向同一方向起跑,設(shè)乙的奔跑時間為t(s),甲乙兩人的距離為S(m),則S關(guān)于t的函數(shù)圖象為()A. B. C. D.12.如圖,在△ABC中,點D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,下列四個判斷中不正確的是()A.四邊形AEDF是平行四邊形B.若∠BAC=90°,則四邊形AEDF是矩形C.若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是矩形D.若AD⊥BC且AB=AC,則四邊形AEDF是菱形二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.甲、乙兩個搬運工搬運某種貨物.已知乙比甲每小時多搬運600kg,甲搬運5000kg所用的時間與乙搬運8000kg所用的時間相等.設(shè)甲每小時搬運xkg貨物,則可列方程為_____.14.如圖,AB是半圓O的直徑,點C、D是半圓O的三等分點,若弦CD=2,則圖中陰影部分的面積為.15.如圖,在5×5的正方形(每個小正方形的邊長為1)網(wǎng)格中,格點上有A、B、C、D、E五個點,如果要求連接兩個點之后線段的長度大于3且小于4,則可以連接_____.(寫出一個答案即可)16.如圖,四邊形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形EBF的半徑為2,圓心角為60°,則圖中陰影部分的面積是_____.17.如圖,已知⊙P的半徑為2,圓心P在拋物線y=x2﹣1上運動,當(dāng)⊙P與x軸相切時,圓心P的坐標(biāo)為_____.18.解不等式組請結(jié)合題意填空,完成本題的解答.(Ⅰ)解不等式①,得;(Ⅱ)解不等式②,得;(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:(Ⅳ)原不等式組的解集為.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)如圖,直線AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度數(shù).20.(6分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)為P(2,9),與x軸交于點A,B,與y軸交于點C(0,5).(Ⅰ)求二次函數(shù)的解析式及點A,B的坐標(biāo);(Ⅱ)設(shè)點Q在第一象限的拋物線上,若其關(guān)于原點的對稱點Q′也在拋物線上,求點Q的坐標(biāo);(Ⅲ)若點M在拋物線上,點N在拋物線的對稱軸上,使得以A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,且AC為其一邊,求點M,N的坐標(biāo).21.(6分)已知:關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣(4k+1)x+3k+3=0(k是整數(shù)).(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)若方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),求k的值.22.(8分)如圖1,在圓中,垂直于弦,為垂足,作,與的延長線交于.(1)求證:是圓的切線;(2)如圖2,延長,交圓于點,點是劣弧的中點,,,求的長.23.(8分)如圖1,在等邊三角形中,為中線,點在線段上運動,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn),使得點的對應(yīng)點落在射線上,連接,設(shè)(且).(1)當(dāng)時,①在圖1中依題意畫出圖形,并求(用含的式子表示);②探究線段,,之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;(2)當(dāng)時,直接寫出線段,,之間的數(shù)量關(guān)系.24.(10分)如圖(1),已知點G在正方形ABCD的對角線AC上,GE⊥BC,垂足為點E,GF⊥CD,垂足為點F.(1)證明與推斷:①求證:四邊形CEGF是正方形;②推斷:的值為:(2)探究與證明:將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由:(3)拓展與運用:正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)B,E,F(xiàn)三點在一條直線上時,如圖(3)所示,延長CG交AD于點H.若AG=6,GH=2,則BC=.25.(10分)為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,市教育局決定開展“經(jīng)典誦讀進校園”活動,某校團委組織八年級100名學(xué)生進行“經(jīng)典誦讀”選拔賽,賽后對全體參賽學(xué)生的成績進行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計圖表.組別分?jǐn)?shù)段頻次頻率A60≤x<70170.17B

70≤x<80

30

aC

80≤x<90

b

0.45D

90≤x<100

8

0.08請根據(jù)所給信息,解答以下問題:表中a=______,b=______;請計算扇形統(tǒng)計圖中B組對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);已知有四名同學(xué)均取得98分的最好成績,其中包括來自同一班級的甲、乙兩名同學(xué),學(xué)校將從這四名同學(xué)中隨機選出兩名參加市級比賽,請用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名同學(xué)都被選中的概率.26.(12分)解不等式組并在數(shù)軸上表示解集.27.(12分)(1)解不等式組:;(2)解方程:.

參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、B【解析】

圓內(nèi)接正六邊形的邊長是1,即圓的半徑是1,則圓的內(nèi)接正方形的對角線長是2,進而就可求解.【詳解】解:∵圓內(nèi)接正六邊形的邊長是1,∴圓的半徑為1.那么直徑為2.圓的內(nèi)接正方形的對角線長為圓的直徑,等于2.∴圓的內(nèi)接正方形的邊長是1.故選B.【點睛】本題考查正多邊形與圓,關(guān)鍵是利用知識點:圓內(nèi)接正六邊形的邊長和圓的半徑相等;圓的內(nèi)接正方形的對角線長為圓的直徑解答.2、C【解析】如圖:∵∠1=60°,∴∠3=∠1=60°,又∵a∥b,∴∠2+∠3=180°,∴∠2=120°,故選C.點睛:本題考查了平行線的性質(zhì),對頂角相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.平行線的性質(zhì)定理:兩直線平行,同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補,兩條平行線之間的距離處處相等.3、A【解析】

根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°,根據(jù)扇形面積公式計算即可.【詳解】∵,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.∴陰影部分面積=.故答案為:A.【點睛】本題考查的知識點是扇形面積的計算,解題關(guān)鍵是利用圓心角與弧的關(guān)系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.4、C【解析】解:如圖1.∵AD為直徑,∴∠ABD=∠ACD=90°.在Rt△ABD中,AD=6,AB=3,則∠BDA=30°,∠BAD=60°.在Rt△ABD中,AD=6,AC=3,∠CAD=45°,則∠BAC=105°;如圖2,.∵AD為直徑,∴∠ABD=∠ABC=90°.在Rt△ABD中,AD=6,AB=3,則∠BDA=30°,∠BAD=60°.在Rt△ABC中,AD=6,AC=3,∠CAD=45°,則∠BAC=15°.故選C.點睛:本題考查的是圓周角定理和銳角三角函數(shù)的知識,掌握直徑所對的圓周角是直徑和熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵,注意分情況討論思想的運用.5、C【解析】

直接利用合并同類項法則以及單項式乘以單項式、冪的乘方運算法則分別化簡得出答案.【詳解】A、5a+2b,無法計算,故此選項錯誤;B、a+a2,無法計算,故此選項錯誤;C、2a3?3a2=6a5,故此選項正確;D、(a3)2=a6,故此選項錯誤.故選C.【點睛】此題主要考查了合并同類項以及單項式乘以單項式、冪的乘方運算,正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵.6、B【解析】分析:直接利用二次函數(shù)圖象的開口方向以及圖象與x軸的交點,進而分別分析得出答案.詳解:①∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱軸為x=1,且開口向下,∴x=1時,y=a+b+c,即二次函數(shù)的最大值為a+b+c,故①正確;②當(dāng)x=﹣1時,a﹣b+c=0,故②錯誤;③圖象與x軸有2個交點,故b2﹣4ac>0,故③錯誤;④∵圖象的對稱軸為x=1,與x軸交于點A、點B(﹣1,0),∴A(3,0),故當(dāng)y>0時,﹣1<x<3,故④正確.故選B.點睛:此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值等知識,正確得出A點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.7、D【解析】

根據(jù)數(shù)軸上點的位置,可得a,b,根據(jù)有理數(shù)的運算,可得答案.【詳解】a=﹣2,2<b<1.A.a+b<0,故A不符合題意;B.a<|﹣2|,故B不符合題意;C.b<1<π,故C不符合題意;D.<0,故D符合題意;故選D.【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸,利用有理數(shù)的運算是解題關(guān)鍵.8、D【解析】當(dāng)k1,k2同號時,正比例函數(shù)y=k1x與反比例函數(shù)y=的圖象有交點;當(dāng)k1,k2異號時,正比例函數(shù)y=k1x與反比例函數(shù)y=的圖象無交點,即可得當(dāng)k1k2<0時,正比例函數(shù)y=k1x與反比例函數(shù)y=的圖象無交點,故選D.9、C【解析】如圖所示,連接CM,∵M是AB的中點,∴S△ACM=S△BCM=S△ABC,開始時,S△MPQ=S△ACM=S△ABC;由于P,Q兩點同時出發(fā),并同時到達終點,從而點P到達AC的中點時,點Q也到達BC的中點,此時,S△MPQ=S△ABC;結(jié)束時,S△MPQ=S△BCM=S△ABC.△MPQ的面積大小變化情況是:先減小后增大.故選C.10、A【解析】

根據(jù)數(shù)軸上點的位置確定出a,b,c的范圍,判斷即可.【詳解】由數(shù)軸上點的位置得:a<b<0<c,∴ac<bc,|a﹣b|=b﹣a,﹣b>﹣c,a﹣c<b﹣c.故選A.【點睛】考查了實數(shù)與數(shù)軸,弄清數(shù)軸上點表示的數(shù)是解本題的關(guān)鍵.11、B【解析】

勻速直線運動的路程s與運動時間t成正比,s-t圖象是一條傾斜的直線解答.【詳解】∵甲、乙兩人分別以4m/s和5m/s的速度,∴兩人的相對速度為1m/s,設(shè)乙的奔跑時間為t(s),所需時間為20s,兩人距離20s×1m/s=20m,故選B.【點睛】此題考查函數(shù)圖象問題,關(guān)鍵是根據(jù)勻速直線運動的路程s與運動時間t成正比解答.12、C【解析】A選項,∵在△ABC中,點D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,∴DE∥AF,DF∥AE,∴四邊形AEDF是平行四邊形;即A正確;B選項,∵四邊形AEDF是平行四邊形,∠BAC=90°,∴四邊形AEDF是矩形;即B正確;C選項,因為添加條件“AD平分∠BAC”結(jié)合四邊形AEDF是平行四邊形只能證明四邊形AEDF是菱形,而不能證明四邊形AEDF是矩形;所以C錯誤;D選項,因為由添加的條件“AB=AC,AD⊥BC”可證明AD平分∠BAC,從而可通過證∠EAD=∠CAD=∠EDA證得AE=DE,結(jié)合四邊形AEDF是平行四邊形即可得到四邊形AEDF是菱形,所以D正確.故選C.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、=【解析】

設(shè)甲每小時搬運x千克,則乙每小時搬運(x+600)千克,根據(jù)甲搬運5000kg所用時間與乙搬運8000kg所用時間相等建立方程求出其解就可以得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)甲每小時搬運x千克,則乙每小時搬運(x+600)千克,由題意得:=.故答案是:=.【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程,根據(jù)題意找到等量關(guān)系是關(guān)鍵.14、.【解析】試題分析:連結(jié)OC、OD,因為C、D是半圓O的三等分點,所以,∠BOD=∠COD=60°,所以,三角形OCD為等邊三角形,所以,半圓O的半徑為OC=CD=2,S扇形OBDC=,S△OBC==,S弓形CD=S扇形ODC-S△ODC==,所以陰影部分的面積為為S=--()=.考點:扇形的面積計算.15、答案不唯一,如:AD【解析】

根據(jù)勾股定理求出,根據(jù)無理數(shù)的估算方法解答即可.【詳解】由勾股定理得:,.故答案為答案不唯一,如:AD.【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算和勾股定理,如果直角三角形的兩條直角邊長分別是,,斜邊長為,那么.16、【解析】

連接BD,易證△DAB是等邊三角形,即可求得△ABD的高為,再證明△ABG≌△DBH,即可得四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積,由圖中陰影部分的面積為S扇形EBF﹣S△ABD即可求解.【詳解】如圖,連接BD.∵四邊形ABCD是菱形,∠A=60°,∴∠ADC=120°,∴∠1=∠2=60°,∴△DAB是等邊三角形,∵AB=2,∴△ABD的高為,∵扇形BEF的半徑為2,圓心角為60°,∴∠4+∠5=60°,∠3+∠5=60°,∴∠3=∠4,設(shè)AD、BE相交于點G,設(shè)BF、DC相交于點H,在△ABG和△DBH中,,∴△ABG≌△DBH(ASA),∴四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積,∴圖中陰影部分的面積是:S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=.故答案是:.【點睛】本題考查了扇形的面積計算以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識,根據(jù)已知得出四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積是解題關(guān)鍵.17、(,1)或(﹣,1)【解析】

根據(jù)直線和圓相切,則圓心到直線的距離等于圓的半徑,得點P的縱坐標(biāo)是1或-1.將P的縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,求P點坐標(biāo)即可【詳解】根據(jù)直線和圓相切,則圓心到直線的距離等于圓的半徑,得點P的縱坐標(biāo)是1或-1.當(dāng)y=1時,x1-1=1,解得x=±當(dāng)y=-1時,x1-1=-1,方程無解故P點的坐標(biāo)為()或(-)【點睛】此題注意應(yīng)考慮兩種情況.熟悉直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.18、詳見解析.【解析】

先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出每個不等式的解集,再在數(shù)軸上表示出來,根據(jù)數(shù)軸找出不等式組公共部分即可.【詳解】(Ⅰ)解不等式①,得:x<1;(Ⅱ)解不等式②,得:x≥﹣1;(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:(Ⅳ)原不等式組的解集為:﹣1≤x<1,故答案為:x<1、x≥﹣1、﹣1≤x<1.【點睛】本題考查了解一元一次不等式組的概念.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、50°.【解析】

試題分析:由平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠1=65°,∠ABD+∠BDE=180°,由BC平分∠ABD,得到∠ABD=2∠ABC=130°,于是得到結(jié)論.解:∵AB∥CD,∴∠ABC=∠1=65°,∵BC平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABC=130°,∴∠BDE=180°﹣∠ABD=50°,∴∠2=∠BDE=50°.【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線定義等知識點,解此題的關(guān)鍵是求出∠ABD的度數(shù),題目較好,難度不大.20、(1)y=﹣x2+4x+5,A(﹣1,0),B(5,0);(2)Q(,4);(3)M(1,8),N(2,13)或M′(3,8),N′(2,3).【解析】

(1)設(shè)頂點式,再代入C點坐標(biāo)即可求解解析式,再令y=0可求解A和B點坐標(biāo);(2)設(shè)點Q(m,﹣m2+4m+5),則其關(guān)于原點的對稱點Q′(﹣m,m2﹣4m﹣5),再將Q′坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求解m的值,同時注意題干條件“Q在第一象限的拋物線上”;(3)利用平移AC的思路,作MK⊥對稱軸x=2于K,使MK=OC,分M點在對稱軸左邊和右邊兩種情況分類討論即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x﹣2)2+9,把C(0,5)代入得到a=﹣1,∴y=﹣(x﹣2)2+9,即y=﹣x2+4x+5,令y=0,得到:x2﹣4x﹣5=0,解得x=﹣1或5,∴A(﹣1,0),B(5,0).(Ⅱ)設(shè)點Q(m,﹣m2+4m+5),則Q′(﹣m,m2﹣4m﹣5).把點Q′坐標(biāo)代入y=﹣x2+4x+5,得到:m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5,∴m=或(舍棄),∴Q(,).(Ⅲ)如圖,作MK⊥對稱軸x=2于K.①當(dāng)MK=OA,NK=OC=5時,四邊形ACNM是平行四邊形.∵此時點M的橫坐標(biāo)為1,∴y=8,∴M(1,8),N(2,13),②當(dāng)M′K=OA=1,KN′=OC=5時,四邊形ACM′N′是平行四邊形,此時M′的橫坐標(biāo)為3,可得M′(3,8),N′(2,3).【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,第3問中理解通過平移AC可應(yīng)用“一組對邊平行且相等”得到平行四邊形.21、(3)證明見解析(3)3或﹣3【解析】

(3)根據(jù)一元二次方程的定義得k≠2,再計算判別式得到△=(3k-3)3,然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì),即k的取值得到△>2,則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論;(3)根據(jù)求根公式求出方程的根,方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),求出k的值.【詳解】證明:(3)△=[﹣(4k+3)]3﹣4k(3k+3)=(3k﹣3)3.∵k為整數(shù),∴(3k﹣3)3>2,即△>2.∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.(3)解:∵方程kx3﹣(4k+3)x+3k+3=2為一元二次方程,∴k≠2.∵kx3﹣(4k+3)x+3k+3=2,即[kx﹣(k+3)](x﹣3)=2,∴x3=3,.∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù),且k為整數(shù),∴k=3或﹣3.【點睛】本題主要考查了根的判別式的知識,熟知一元二次方程的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.22、(1)詳見解析;(2)【解析】

(1)連接OA,利用切線的判定證明即可;

(2)分別連結(jié)OP、PE、AE,OP交AE于F點,根據(jù)勾股定理解答即可.【詳解】解:(1)如圖,連結(jié)OA,

∵OA=OB,OC⊥AB,

∴∠AOC=∠BOC,

又∠BAD=∠BOC,

∴∠BAD=∠AOC

∵∠AOC+∠OAC=90°,

∴∠BAD+∠OAC=90°,

∴OA⊥AD,

即:直線AD是⊙O的切線;

(2)分別連結(jié)OP、PE、AE,OP交AE于F點,

∵BE是直徑,

∴∠EAB=90°,

∴OC∥AE,

∵OB=,

∴BE=13

∵AB=5,在直角△ABE中,AE=12,EF=6,F(xiàn)P=OP-OF=-=4

在直角△PEF中,F(xiàn)P=4,EF=6,PE2=16+36=52,

在直角△PEB中,BE=13,PB2=BE2-PE2,

PB==3.【點睛】本題考查了切線的判定,勾股定理,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.23、(1)①;②;(2)【解析】

(1)①先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)的,進而得出,最后用三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論;②先判斷出,得出,再判斷出是底角為30度的等腰三角形,再構(gòu)造出直角三角形即可得出結(jié)論;(2)同②的方法即可得出結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng)時,①畫出的圖形如圖1所示,∵為等邊三角形,∴.∵為等邊三角形的中線∴是的垂直平分線,∵為線段上的點,∴.∵,∴,.∵線段為線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)所得,∴.∴.∴,∴;②;如圖2,延長到點,使得,連接,作于點.∵,點在上,∴.∵點在的延長線上,,∴.∴.又∵,,∴.∴.∵于點,∴,.∵在等邊三角形中,為中線,點在上,∴,即為底角為的等腰三角形.∴.∴.(2)如圖3,當(dāng)時,在上取一點使,∵為等邊三角形,∴.∵為等邊三角形的中線,∵為線段上的點,∴是的垂直平分線,∴.∵,∴,.∵線段為線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)所得,∴.∴.∴,又∵,,∴.∴.∵于點,∴,.∵在等邊三角形中,為中線,點在上,∴,∴.∴.【點睛】此題是幾何變換綜合題,主要考查了等邊三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù),作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.24、(1)①四邊形CEGF是正方形;②;(2)線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE;(3)3【解析】

(1)①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形,再由即可得證;②由正方形性質(zhì)知、,據(jù)此可得、,利用平行線分線段成比例定理可得;(2)連接CG,只需證∽即可得;(3)證∽得,設(shè),知,由得、、,由可得a的值.【詳解】(1)①∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,∵GE⊥BC、GF⊥CD,∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,∴四邊形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,∴EG=EC,∴四邊形CEGF是正方形;②由①知四邊形CEGF是正方形,∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,∴,GE∥AB,∴,故答案為;(2)連接CG,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=∠ACG=α,在Rt△CEG和Rt△CBA中,=、=,∴=,∴△ACG∽△BCE,∴,∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE;(3)∵∠CEF=45°,點B、E、F三點共線,∴∠BEC=135°,∵△ACG∽△BCE,∴∠AGC=∠BEC=135°,∴∠AGH=∠CAH=45°,∵∠CHA=∠AHG,∴△AHG∽△CHA,∴,設(shè)BC=CD=AD=a,則AC=a,則由得,∴AH=a,則DH=AD﹣AH=a,CH==a,

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