線性代數(shù)方程組迭代法

第三章線性方程組的迭代解法思路將改寫(xiě)為等價(jià)形式，建立迭代。從初值出發(fā)，得到序列。研究?jī)?nèi)容：

如何建立迭代格式？

收斂速度？

向量序列的收斂條件？

誤差估計(jì)？迭代格式的構(gòu)造把矩陣A分裂為則

將上式寫(xiě)為迭代過(guò)程這種迭代過(guò)程稱(chēng)為逐次逼近法，B稱(chēng)為迭代矩陣。收斂性定義：若稱(chēng)逐次逼近法收斂，否則，稱(chēng)逐次逼近法不收斂或發(fā)散。給定初值就得到向量序列問(wèn)題：定理1

任意給定初始向量x0，如果由逐次逼近法產(chǎn)生的向量序列收斂于向量x*，那么，x*是方程組x=Bx+g的解。證明：是否為方程組Ax=b的解？迭代法的收斂條件引理

當(dāng)k

時(shí)，Bk0(B)<1定理2

設(shè)線性方程組x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼近法對(duì)任意初始向量X０收斂的充分必要條件是迭代矩陣B的譜半徑(B)<1。證明：因此，注：要檢驗(yàn)一個(gè)矩陣的譜半徑小于1比較困難，所以我們希望用別的辦法判斷收斂性。

定理3

若逐次逼近法的迭代矩陣滿(mǎn)足‖B‖<1，那么逐次逼近法收斂。Remark:因?yàn)榫仃嚪稊?shù)都可以直接用矩陣的元素計(jì)算，因此,用定理3.5.3，容易判別逐次逼近法的收斂性。（4.1）

1．雅克比（Jacobi）迭代法設(shè)有n階方程組幾種常用的迭代格式若系數(shù)矩陣非奇異，且

(i=1,2,…,n)，將方程組（4.1）改寫(xiě)成然后寫(xiě)成迭代格式（4.2）（4.2）式也可以簡(jiǎn)單地寫(xiě)為（4.3）寫(xiě)成矩陣形式：A=LUDBJacobi迭代陣(4.4)…………只存一組向量即可。寫(xiě)成矩陣形式：BGauss-Seidel

迭代陣2．高斯――賽得爾(Gauss-Seidel)迭代法(4.5)(4.6)BG-SGauss-Seidel

迭代陣其迭代格式的矩陣形式為事實(shí)上，這相當(dāng)于對(duì)系數(shù)矩陣A作的另一個(gè)分裂：

注：這二種方法都存在收斂性問(wèn)題。在討論收斂性之前我們先來(lái)講一些預(yù)備知識(shí)和有關(guān)的定理

有關(guān)基本概念一、嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣與對(duì)角占優(yōu)矩陣定義1設(shè)A是n階矩陣.若滿(mǎn)足不等式且至少有一個(gè)i，使嚴(yán)格不等號(hào)成立，則稱(chēng)A為對(duì)角占優(yōu)矩陣.若對(duì)所有的i=1，2，…，n，都有嚴(yán)格不等號(hào)成立，稱(chēng)A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。二、可約矩陣與不可約矩陣定義2設(shè)A是n階矩陣.如果存在排列陣P,使其中A11和A22分別是k階和n-k階方陣(n≥2，k<n)，那么，稱(chēng)A是可約矩陣.如果不存在這樣的排列陣P，使上式成立，稱(chēng)A是不可約矩陣。定理3.5.5

設(shè)A是n階矩陣.A是不可約的充分必要條件是對(duì)有限整數(shù)集W={1,2,…，n}中任意兩個(gè)非空子集R,SW，R∪S=W,R∩S=，存在i∈R,j∈S，使aij≠0.三、有關(guān)性質(zhì)定理3.5.6

設(shè)A是n階(按行)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，那么A是非奇異的.定理3.5.7

設(shè)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，那么，其各階主子陣也是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.定理3.5.8

設(shè)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.記經(jīng)過(guò)一步Gauss消去后的矩陣為那么，A(2)n-1仍是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的.定理3.5.9

設(shè)A是不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣，那么A是非奇異矩陣.定理3.5.10_1n階矩陣A是按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的充分必要條件是Jacobi迭代法的迭代矩陣滿(mǎn)足‖BJ‖∞<1.定理3.5.10_2n階矩陣A是按列嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的充分必要條件是Jacobi迭代法的迭代矩陣滿(mǎn)足‖BJ‖1<1.

Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性定理3.5.11

設(shè)A是有正對(duì)角元的n階對(duì)稱(chēng)矩陣，那么Jacobi迭代法收斂的充分必要條件是A和2D-A同為正定矩陣.定理（3.5.12，3.5.13，3.5.14）如果A是按行(列)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的矩陣，那么Jacobi和G－S迭代法都收斂.定理3.5.15

設(shè)A是不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣，那么Jacobi迭代法與G－S迭代法都收斂.定理3.5.16

設(shè)A是n階正定矩陣，那么，G－S迭代法收斂.注意的問(wèn)題（2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性沒(méi)有必然的聯(lián)系：即當(dāng)Gauss-Seidel法收斂時(shí)，Jacobi法可能不收斂；而Jacobi法收斂時(shí)，Gauss-Seidel法也可能不收斂。（1）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣不同：BJ=D-1(L+U),BG-S=(D-L)-1U舉例用Jacobi迭代法求解不收斂，但用Gauss-Seidel法收斂。用Jacobi迭代法求解收斂，但用Gauss-Seidel法不收斂。

BJ的特征值為0