平面彎曲桿件(二)(魏德敏)

平面彎曲桿件

（二）一、彎曲正應力和強度二、梁的切應力和強度三、提高彎曲強度的措施四、拉壓與彎曲組合五、壓桿穩(wěn)定一、彎曲正應力和強度實驗研究PPaaPa縱向線由直線變?yōu)榛【€，上部縱向線壓縮，下部縱向線拉伸；梁變形后橫向線仍為直線，且仍與縱向線垂直。平截面假設：截面變形后仍為平面，且仍與梁軸線垂直yzZ為中性軸：該層纖維既不伸長也不縮短1、純彎曲下的應力幾何關系dxdθρy定義為曲率

即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向線應變e與該點至中性軸的距離y成正比。yzy1、純彎曲下的應力物理關系處在y位置纖維層的正應力與坐標y成正比zxyX方向力的平衡靜力關系

為截面對于z軸的靜矩或一次矩。

橫截面對于中性軸z的靜矩等于零，；顯然這是要求中性軸z通過橫截面的形心；1、純彎曲下的應力zxy可以證明，其他平衡關系均自動滿足對z軸力矩的平衡正應力分布公式上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁包含在中性層內的那根軸線將彎成圓弧。1、純彎曲下的應力橫力彎曲的變形特征BAdxx剪切變形dvdxγQQMMdxdθρ彎曲變形剪切變形與剪力成正比，彎曲變形與彎矩成正比。2、橫力彎曲時的正應力橫力彎曲的正應力分布公式對細長桿（l/h)>5，剪切變形遠比彎曲變形小,剪切變形可以忽略對短粗桿（l/h)〈5，剪切變形不能忽略。對細長桿最大正應力計算在總荷載不變的情況下，彎矩隨跨度成線性增加，而剪力不隨跨度增加。式中，Wz為截面的幾何性質，稱為抗彎截面模量，其單位為m3。中性軸z為橫截面對稱軸的梁其橫截面上最大拉應力和最大壓應力的值相等；hbzyo2、橫力彎曲時的正應力中性軸z不是橫截面對稱軸的梁，其橫截面上的最大拉應力和最大壓應力的值不相等。矩形截面圓形截面zoyyzdA2、橫力彎曲時的正應力

例題圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應力和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處(圖b)的正應力。由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面危險截面上點a處的正應力為抗彎強度條件拉壓性質相同的材料示例3-1：簡支梁受均布荷載。[σ]=10MPa。校核強度。2kN/m4m210mm140mmzyM圖4kNm許可荷載3、梁的彎曲強度計算示例3-5：外伸梁受集中荷載。校核強度。[σt]=30MPa，[σc]=60MPa。Iz=0.573×10-5m4，y1=0.072m，y2=0.038m。BA24kNC0.2m9kNRARB0.3m0.3mD2.7kNm1.8kNmzyy2y1作彎矩圖拉壓性質不相同的材料抗彎強度條件最大拉應力最大壓應力3、梁的彎曲強度計算BA24kNC0.2m9kNRARB0.3m0.3mD2.7kNm1.8kNmzyy2y1C截面B截面強度校核3、梁的彎曲強度計算二、梁的切應力和強度1、矩形截面梁zyzhby切應力分布公式τmax最大切應力在中性軸位置2、工字型截面梁τmaxb3、圓形zyBAb5、薄壁圓環(huán)4、薄壁箱型與工字型相似切應力強度條件max≤［］對等直梁，上式可改寫為：例

T形梁尺寸及所受荷載如圖所示,已知[s]y=100MPa，[s]L=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左側截面E點的正應力、切應力；2)校核梁的正應力、切應力強度條件。CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2）作FS、M圖如圖所示1FS0.250.75(kN)_+CAB40401010ycM(kN.m)0.250.5+_該梁滿足強度要求三、提高彎曲強度的措施降低∣M∣max值1、改變荷載的位置和作用方式BAPl/2Pl/4l/2BAPl/43Pl/163l/4BAPl/4Pl/8l/4BAlP/lPl/8提高Wz值矩形截面方形截面圓形截面按面積相等，有面積分布離中性軸越遠，Wz越大。故工字形截面為最好。2、改變支座的位置l/5l/5q0.020.020.025BAl/2l/23、增加支座q0.0470.0080.008煙

囪牛腿柱1、工程應用四、拉壓與彎曲組合+=+=2、應力公式及強度例題：鑄鐵壓力機框架，立柱橫截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應力[t]＝30MPa，許用壓應力[c]＝120MPa。試按立柱的強度計算許可載荷F。

解：（1）計算橫截面的形心、面積、慣性矩（2）立柱橫截面的內力

（3）立柱橫截面的最大應力（2）立柱橫截面的內力

（4）求壓力F五、壓桿穩(wěn)定1、穩(wěn)定性概念剛體平衡穩(wěn)定性穩(wěn)定的平衡不穩(wěn)定的平衡隨遇平衡P較小δFP較大δFPCRδFPCR---臨界壓力壓桿穩(wěn)定性：壓桿保持其直線平衡狀態(tài)的能力拱失穩(wěn)梁彎曲失穩(wěn)儲油罐aa象腿現象2、臨界力、歐拉公式μ—長度系數，與壓桿的支座條件有關μ=1，兩端鉸支；μ=2，一端固定，一端自由；llμ=0.5，兩端固定；l/4l/4μ=0.7，一端固定，一端鉸支；0.7lμ=1，一端固定，一端定向支座；l/2l/2注意空間效應1、關于慣性矩xzyyzhbxzxy2、關于支座臨界應力壓桿的長細比與桿長、支座條件、截面面積分布有關。σCRλσpλp歐拉公式的應用范圍3、臨界應力、歐拉公式的應用范圍示例1：計算臨界力lxyxzybalyzbazl=4m,a=0.12m,b=0.2m,E=210GPa,σp=200MPa。在xz平面內在xy平面內λy>λz，壓桿在xz平面內失穩(wěn)λy>λp，可用歐拉公式4、穩(wěn)定校核穩(wěn)定條件穩(wěn)定安全系數一般比強度安全系數要大些。例如對于一般鋼構件，其強度安全系數規(guī)定為1.4～1.7，而穩(wěn)定安全系數規(guī)定為1.5～2.2，甚至更大。折減系數或穩(wěn)定系數：是的函數，即=()，其值在0～1之間。安全條件穩(wěn)定性計算主要解決三方面的問題：(1)穩(wěn)定性校核；(2)選擇截面；(3)確定許用荷載。

例題機械中的工字形截面連桿，兩端為柱形鉸，從而該連桿如在xy平面內失穩(wěn)，可取長度因數mz=1.0；如在xz平面內失穩(wěn)，則可取my=0.6。已知：連桿由Q235鋼鍛造成型，它屬于a類截面中心壓桿。該連桿承受的最大軸向壓力為F=35kN，材料的強度許用應力[s]=206MPa。試校核其穩(wěn)定性。解：1.工字形截面面積A和形心主慣性矩Iz，Iyz2.橫截面對z軸和對y軸的慣性半徑iz，iy3.連桿的柔度連桿兩端在局部為矩形截面，它的形心主慣性矩為分別比工字形截面的Iz和Iy大了15.5％和126％，Iy'遠大于Iy。這就表明兩端的矩形截面部分對中間工字形截面部分在xz平面內的彎曲位移起到明顯的約束