應用隨機過程(第三章)

第三章Poisson過程§3.1Poisson過程定義3.1.1隨機過程稱為計數(shù)過程，如果表示從0到t時刻某一特定事件A發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個特點：（1）且取值為整數(shù)；（2）時，且

表示時間內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)。定義３.１.２計數(shù)過程稱為參數(shù)為λ的Poisson過程，如果：（1）；（2）過程有獨立增量；（3）在任一長度為t的時間區(qū)間中事件發(fā)生的次數(shù)服從均值為λt的Poisson分布，即對一切，有：Poisson的特性平穩(wěn)增量性。由，知λ是單位時間內(nèi)發(fā)和事件的平均次數(shù)。稱λ為Poisson近程的強度或速率。例3.1.1售票處乘客以10人／小時的平均速率到達，則9：00～10：00最多有5名乘客的概率？10：00～11：00沒有人的概率？例3.1.2保險公司接到的索賠次數(shù)設保險公司每次的賠付都是1，每月平均接到的索賠要求是4次，則一年中它要付出的金額平均是多少？Poisson過程的等價定義設是一個計數(shù)過程，它滿足：′N(0)=0；′過程有平穩(wěn)獨立增量；′存在λ＞0，當h↓0時有：′當h↓0時有：定理3.1.1滿足上述條件(1)′～(4)′的計數(shù)過程

是Poisson過程。

反過來Poisson過程一定滿足這四個條件。例3.1.3

事件A的發(fā)生形成強度為λ的poisson過

程，如果每次事件發(fā)生時以概率p能夠被記錄下來，并以M（t）表示到時刻t被記錄下來的事件總數(shù)，則

是一個強度為λp的Poisson過程。例3.1.4

設每條蠶產(chǎn)卵數(shù)服從poisson分布，強度為λ，而每個卵變成成蟲的概率為p，且每個卵是否變成成蟲彼此間沒有關(guān)系，求在時間[0，t]內(nèi)每條蠶養(yǎng)活k條小蠶的概率。例3.1.5天空中的星體數(shù)服從Poisson分布，其參數(shù)為λV，V為被觀測區(qū)域的體積。若每個星球上有生命存在的概率為p，則在體積為V的宇宙空間中有生命存在的星球數(shù)服從強度為λpV的Poisson分布。與Poisson過程相聯(lián)系若干分布與的分布

表示第n次事件發(fā)生的時間；

規(guī)定，

表示第n次與第n-1次事件發(fā)生的時間間隔，

定理3.2.1

服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，且相互獨立。

定理3.2.1

服從參數(shù)為n和λ的Γ分布。證明：

Xi獨立且服從相同的指數(shù)分布指數(shù)分布分n=1的Γ分布，且具有可加性。定理得證。證明2對上式兩端對t求導，可得Tn的密度函數(shù)為：定義3.2.1

計數(shù)過程是參數(shù)為λ的Poisson過程，如果每次事件發(fā)生的時間間隔X1，X2，…，

相互獨立，且服從同一參數(shù)為λ的指數(shù)分布。例3.2.1設從早上8：00開始有無窮人排隊，只有一名服務員，且每人接受服務的時間是獨立的并服從均值為20min的指數(shù)分布，則到中午12:00為止平均有多少人已經(jīng)離去？已有9人接受服務的概率是多少？例3.2.2假定某天文臺觀測到的流星流是一個Poisson過程，以往資料統(tǒng)計，平均每小時觀察到3顆流星，試求上午8：00～12：00期間，該天文臺沒有觀測到流星的概率？事件發(fā)生時刻的條件分布考慮n=1的情形，對于s≤t有：定理3.2.3

在已知N(t)=n的條件下，事件發(fā)生的n個時刻T1，T2，…,Tn的聯(lián)合密度函數(shù)為例3.2.3乘客按強度為λ的Poisson過程來火車站，火車在t時刻啟程，計算(0，t]內(nèi)到達的乘客等車時間總和的數(shù)學期望。解：即要求計算其中Ti是第i個乘客的到達時間。由于N(t)為一隨機變量，取條件期望例3.2.4事件A的發(fā)生形成強度為λ的poisson過

程，如果每次事件發(fā)生時以概率p能夠被記錄下來，并以M（t）表示到時刻t被記錄下來的事件總數(shù)，則

是一個強度為λp的Poisson過程?，F(xiàn)在設A在時刻s時，被記錄到的概率為p(s)

那么還是Poisson過程嗎？M(t)已不是一個Poisson過程，它仍具有獨立增量性，不在具有平穩(wěn)增量性。Poisson過程的推廣非齊Poisson過程定義3.3.1計數(shù)過程稱作強度函數(shù)為的非齊Poisson過程，如果：(1)(2)具有獨立增量(3)(4)定義3.3.2計數(shù)過程稱為強度函數(shù)為

的非齊次Poisson過程，若：（1）（2）具有獨立增量；（3）對任意實數(shù)為具有參數(shù)的Poisson分布。稱為非齊Poisson過程的均值函數(shù)（累積強度函數(shù)）定理3.3.1設為強度函數(shù)為

的非齊次Poisson過程，對任意令：則是一個強度為1的Poisson過程。例3.3.1設某設備的使用年限為10年，在前5年內(nèi)它平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年維修一次。試求它在使用期內(nèi)只維修過1次的概率？解：復合Poisson過程定義3.3.3：稱隨機過程為復合Poisson過程，如果對于，它可表示為：其中是一個Poisson過程，

是一族獨立同分布的隨機變量，并且與

獨立。例3.3.2保險公司接到的索賠次數(shù)服從一個Poisson過程，每次的賠付金額Yi都相互獨立，且有相同的分布F，且每次的索賠額與與它發(fā)生的時間無關(guān)。則[0，t]內(nèi)保險公司賠付的總額就是一個復合Poisson過程，其中：例3.3.3（顧客成批到達的排隊系統(tǒng)）設顧客到達某服務系統(tǒng)的時刻形成一個強度為λ的Poisson過程，在每個時刻

都可以同時有多名顧客到達。Yn表示時刻Sn到達的顧客人數(shù)，假設Yn

n=1,2,3…相互獨立，且與｛Sn｝也獨立，則在[0，t]時刻內(nèi)到達服務系統(tǒng)的總?cè)藬?shù)可用一復合Poisson過程來描述。例3.3.4設顧客按照參數(shù)為λ的Poisson過程進入一個商店。又設每個顧客消費金額形成一個獨立同分布隨機變量。以X(t)記到時刻t為止顧客在此商店的消費總額，易見是一個復合Poisson過程。定理3.3.2設是一個復合Poisson過程，Poisson過程

的強度為λ，則：（1）有獨立增量；（2）若，則例3.3.5保險公司索賠模型中，設索賠要求以每月平均兩次的速率的Poisson過程到達保險公司。每次賠付服從均值為10000萬元的正態(tài)分布，則一年中保險公司的平均賠付額為多少？例3.3.6顧客以每分鐘6人的平均速率進入商場，服從Poisson過程。每位顧客買東西的概率為0.9，且每位顧客是否買東西互不影響，也與進入商場的人數(shù)無關(guān)。求一天（12）小時在該商場買東西的顧客人數(shù)。以表示在時間[0，t]內(nèi)到達商場的人數(shù)，以表示在時間[0，t]內(nèi)在商場買東西的人數(shù)，若以Zi表示第i位顧客在商場消費金額，且則表示在時間[0，t]內(nèi)該商場的營業(yè)額。條件Poisson過程定義3.3.4設隨機變量Λ>0，在Λ=λ的條件下，計數(shù)過程是參數(shù)為λ的Poisson過程，則稱