大氣運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性理論

Chp12大氣運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性理論1§12.1流體力學(xué)穩(wěn)定性概念●現(xiàn)實(shí)世界中，任何系統(tǒng)總會(huì)受各種擾動(dòng)影響原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)→若離開(kāi)平衡位置后仍可回到平衡位置，則稱(chēng)平衡態(tài)是穩(wěn)定的。反之，若離開(kāi)平衡位置后趨向于達(dá)到新位置，則稱(chēng)平衡態(tài)是不穩(wěn)定的。舉例：（1）單擺（2）水中木塊●地球大氣大尺度運(yùn)動(dòng)的基本狀態(tài)：軸對(duì)稱(chēng)的緯向流，而徑向環(huán)流可視為追加其上的擾動(dòng)，且是小擾動(dòng)（相對(duì)于基本流），故可對(duì)方程組線(xiàn)性化可設(shè)波形解

進(jìn)而獲得波動(dòng)不穩(wěn)定判據(jù)：波振幅是否會(huì)隨t增加？●我們已知，對(duì)于一個(gè)波動(dòng)，可描述為：——（12.1）且過(guò)去認(rèn)為：A～常數(shù)，且相速c（或圓頻率）為實(shí)數(shù)。2但實(shí)際上請(qǐng)注意：c或ω可以為復(fù)數(shù)波動(dòng)振幅可變！為什么？過(guò)去學(xué)過(guò)，純重力內(nèi)波的相速度（p.208，9.132式）：而：當(dāng)層結(jié)不穩(wěn)定時(shí)，，則N為虛數(shù)！現(xiàn)回到(12.1)的簡(jiǎn)單情形：對(duì)于(12.1)，設(shè)，則有：——（12.2）3定義：若特別，氣象上還規(guī)定～不穩(wěn)定增長(zhǎng)率?！窨偠灾_定c或的表達(dá)式中出現(xiàn)虛部的條件，就是尋求波動(dòng)不穩(wěn)定判據(jù)的過(guò)程?！褡⒁猓夯練饬鳌?shù)時(shí)，波常為穩(wěn)定的，故要討論不穩(wěn)定性，須設(shè)有南北切變

正壓穩(wěn)定度，或垂直切變斜壓穩(wěn)定度；4§12.2慣性不穩(wěn)定回憶：靜力平衡大氣中氣塊法判別層結(jié)穩(wěn)定度公式：慣性穩(wěn)定度與之類(lèi)似，只是在水平方向。考慮地轉(zhuǎn)平衡下對(duì)水平擾動(dòng)的抑制情況。重要前提：如圖：為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)環(huán)境重力位勢(shì)只有南北分布：，且此環(huán)境大

氣的基本狀態(tài)滿(mǎn)足地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系：假定氣塊水平運(yùn)動(dòng)不改變重力位勢(shì)場(chǎng)的分布，即氣塊本身具有的重力位勢(shì)與環(huán)境位勢(shì)的分布一致：5則由p坐標(biāo)下的水平運(yùn)動(dòng)方程組（4.26）：——（12.3）現(xiàn)關(guān)心（2）中，及u在流點(diǎn)離開(kāi)初位置遠(yuǎn)處，即處各自如何表達(dá)？設(shè)氣塊初始位置為，其緯向速度自然與所在處西風(fēng)一致：氣塊穿越氣流移動(dòng)距離后，有：——（3）但請(qǐng)注意：——（4）6將（4）代入到（3），即有——（12.8）另一方面，要討論正壓不穩(wěn)定性，就要考慮環(huán)境氣流有y方向水平切變，則：——（12.9）將（12.8）（12.9）代入（2），便得到：，即：——（12.10）這就表明：在地轉(zhuǎn)平衡大氣中，受擾而南北移動(dòng)的氣塊在離開(kāi)其原位置后，是受抑制而返回（恢復(fù)）到原位置，還是繼續(xù)加速前進(jìn)，將取決于（）內(nèi)的正負(fù)情況。7在北半球，，則與反號(hào)，故慣性穩(wěn)定的判據(jù)為：注意，對(duì)水平運(yùn)動(dòng)，垂直渦度重要：，即：～環(huán)境基本氣流的絕對(duì)渦度，故判據(jù)可改寫(xiě)為：——（12.11）′最后提一下，在（12.11）中，若不考慮基本流的水平切變也就無(wú)后面的判據(jù)討論可言，基本氣流也就始終處于穩(wěn)定狀態(tài)，在特別大的地方（如急流右側(cè)），可以出現(xiàn)慣性不穩(wěn)定。-----（12.11）8§12.3.1基本模型其實(shí)，K-H波是重力內(nèi)波得簡(jiǎn)化形式，如圖的上油下水，運(yùn)動(dòng)限制于（x,z）與y無(wú)關(guān)，不計(jì)地球自轉(zhuǎn)作用則只有x,z向運(yùn)動(dòng)方程（慣、氣）及連用下標(biāo)j=1,2分別表示下、上二層流體，平面無(wú)柯氏力項(xiàng)，也不計(jì)摩擦力作用，由小擾動(dòng)方法，設(shè)：而基本量在z方向上滿(mǎn)足靜力平衡關(guān)系：——（12.12）故有線(xiàn)性化后的微擾方程組為：——（1）——（2）——（3）(x運(yùn)動(dòng)方程)（Z運(yùn)動(dòng)方程）（二維連續(xù)方程）§12.3開(kāi)爾文－赫姆霍茨（K-H）不穩(wěn)定9嘗試消元，得一個(gè)未知量（例如）一個(gè)方程，，消去，得：，再對(duì)z求導(dǎo)一次，得，故得關(guān)于的方向?yàn)椋骸?2.14）無(wú)窮運(yùn)處及界面上的邊條件分別為：有界，有界-----（12.15）10（界面上壓力連續(xù)）全導(dǎo)數(shù)展開(kāi)并引入小擾動(dòng)方法合并，得：，進(jìn)一步，用靜力平衡關(guān)系（12.12），

改為：——（12.17）（12.14）、（12.15）及（12.17）改成定解問(wèn)題，是下面穩(wěn)定性討論的基礎(chǔ)。11§12.3.2相速度及波動(dòng)不穩(wěn)定判據(jù)對(duì)方程（12.14），設(shè)有波形解——（12.18）代入（12.14）得二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性常微方程（12.19）若用r表特征值則特征方程為：二不等實(shí)根，故通解為：～積分常數(shù)。利用邊條件（12.15）知：時(shí)，有界：時(shí)，有界：——（12.20）12代回到（12.18）即有的完整表達(dá)，由此也可得、這就是p.364得（12.21）、（12.22）式，一個(gè)表下層，一個(gè)表上層，兩層之間是銜接的，具體為應(yīng)滿(mǎn)足界面動(dòng)力學(xué)條件（12.17）：21、22代入17式，得：的完整表達(dá)，（12.23）關(guān)于A、B的齊次線(xiàn)性二聯(lián)代數(shù)方程組。其有非零解的條件為系數(shù)行列式為零：（12.24）由此可得頻率方程（12.25），進(jìn)而解得K-H波的相速度表達(dá)式：——（12.26）13顯然，若根式中出現(xiàn)負(fù)結(jié)果相速c將為復(fù)數(shù)波動(dòng)不穩(wěn)定，故K-H不穩(wěn)定的判據(jù)為：——（12.27）當(dāng)，且(下輕上重)波不穩(wěn)定當(dāng)而（無(wú)上下密度之分，稱(chēng)純風(fēng)速切變波）實(shí)際上，風(fēng)速切變總是起不穩(wěn)定作用波動(dòng)不穩(wěn)定當(dāng)（上輕下重，利于穩(wěn)定）時(shí)，只有才不穩(wěn)

定，由此解不等式，可定義一個(gè)臨界波數(shù)，當(dāng)時(shí)波動(dòng)不穩(wěn)定14由于，也可定義臨界波長(zhǎng)不穩(wěn)定。當(dāng)然，由狀態(tài)方程有（界面上，合為p）。故也可用溫度表出波不穩(wěn)定15§12.4正壓不穩(wěn)定對(duì)于正壓大氣，力管項(xiàng)為零，則鉛直渦度方程變?yōu)檎龎簻u度方程（4.37）。進(jìn)一步，對(duì)天氣尺度，作為一級(jí)近似，渦度方程為我們又知道，大尺度運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)水平無(wú)輻散的，故有正壓渦度方程要討論正壓不穩(wěn)定，就要設(shè)基本西風(fēng)氣流有水平切變：則要考慮（x,y）平面，用微擾法，設(shè)——（12.32）則——（12.33）（P125）-----（12.31）16將（12.32）(12.33)代入(12.31)，可得線(xiàn)性化后的擾動(dòng)正壓渦度方程：——（1）回憶：無(wú)旋則有勢(shì)，平面不可壓則有流函數(shù)，現(xiàn)是水平無(wú)輻散，故有流函數(shù)：故（1）又可用一個(gè)未知函數(shù)表出：——（2）對(duì)線(xiàn)性方程（2），還須給出相應(yīng)的邊條件，設(shè)氣流限制于如圖的2d范圍內(nèi)，故有側(cè)邊界條件：——（3）17這樣，（2）、(3)構(gòu)成關(guān)于的定解問(wèn)題。設(shè)（2）有波形解，——（4）將(4)代入（2）、（3），得出關(guān)于振幅的本征值問(wèn)題：——（5）——（6）正壓不穩(wěn)定必要條件，如果Rossby波不穩(wěn)定（）應(yīng)出何結(jié)果？對(duì)于（5），兩端除以，變形為：——（12.40）18顯然，如果擾動(dòng)不穩(wěn)定，則可設(shè)——（12.41）并可引入記號(hào)：對(duì)于上節(jié)獲得的正壓Rossby波振幅應(yīng)滿(mǎn)足的方程：——（12.40）那么，（12.41）代入（12.40），就有：19實(shí)部：——（7）（12.44）——（8）考慮上式中虛線(xiàn)部分，可以消去，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題：虛部:，展開(kāi)為：20我們已設(shè)擾動(dòng)是不穩(wěn)定的，故改寫(xiě)為：對(duì)y從-d積分到d，并利用側(cè)邊條件則上式左邊第一項(xiàng)＝0，則有：——（9），上式要成立只有積分本身=0。但，故上式成立，亦即在（－d，d）內(nèi)至少存在著一點(diǎn)，在該點(diǎn)有——（12.29）21關(guān)于正壓不穩(wěn)定，再補(bǔ)一點(diǎn)內(nèi)容：在流體力學(xué)中，不計(jì)作用，則上述正壓不穩(wěn)定條件（12.29）簡(jiǎn)化為：——（12.30）這個(gè)條件首先由Rayleigh提出，故稱(chēng)為Rayleigh不穩(wěn)定條件。表明：只有基本氣流的絕對(duì)渦度的南北變化在(-d,d)中改變符號(hào)，或者說(shuō)在(-d,d)中存在才有可能出現(xiàn)Rossby波的正壓不穩(wěn)定（郭曉嵐定理）。的極值點(diǎn)，又稱(chēng)正壓不穩(wěn)定之第一必要條件。這就是正壓不穩(wěn)定的必要條件。22可見(jiàn)，無(wú)論是正壓不穩(wěn)定第一必要條件，還是Rayleigh不穩(wěn)定，基流存在水平切變（）是必不可少的條件。若基流積分不為零，則(9)要成立，只有，故一旦取為常數(shù)，則擾動(dòng)一取常數(shù)，則(9)定是正壓穩(wěn)定的?；仡^再看一次（12.21）：，乘以上式并對(duì)y從-d積分到+d：——（10）注意到：故（10）可寫(xiě)為：——（11）23其中，故（11）分離實(shí)虛部，有：實(shí)部：——（12）虛部：這就是前面的（9）！從實(shí)部方程（12）知：左端正值，故（12）成立之必要條件是右端為正。與

在區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足正相關(guān)稱(chēng)正壓大氣的Fjortoft（費(fèi)爾托夫）定理，又稱(chēng)正壓不穩(wěn)定需滿(mǎn)足的第二必要條件。24§12.5斜壓不穩(wěn)定1.基本方程組和邊條件中高緯大型天氣系統(tǒng)的發(fā)展，往往是和大氣的斜壓性密切相關(guān)的。斜壓的具體表現(xiàn)，就是基本氣流的西風(fēng)分量隨高度增加的（熱成風(fēng)關(guān)系），為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)只是高度p的函數(shù)，若絕熱無(wú)摩擦，則有p坐標(biāo)下運(yùn)動(dòng)方程組：（x運(yùn)）——①’(y運(yùn))——②’（連）——③’（熱）25將（靜）代入（熱），有，亦即：故靜、熱可合并為：——④′-----（12.34-2）對(duì)①’－④’，采用微擾法：設(shè)則有線(xiàn)性化后擾動(dòng)量方程組為：——（1）——（2）-----（12.2）——（3）——（4）26下面，先設(shè)法將（1）、（2）、（3）合并為一式：（1）、（2）化為渦度方程：（注：為簡(jiǎn)化其中又?jǐn)_動(dòng)與y無(wú)關(guān)?。鹤⒁猓耸讲伙@含總之，可化為以下二式：---（12.3）27——（12.34）（渦度方程）（熱力學(xué)方程）這就是我們討論的Rossby波斜壓不穩(wěn)定的基本方程組邊界條件：282.方程組的求解：（兩層模式下的Rossby波斜壓不穩(wěn)定討論方程組）-----(12.40)29設(shè)（12.40）有波形解：代之入（12.40）得關(guān)于A、B、E的齊次線(xiàn)性代數(shù)方程組有非零解之充要條件,是系數(shù)行列式＝0得頻率方程，解之，有：波動(dòng)相速度為——（12.44）′其中，為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)潔，已引入以下4個(gè)符號(hào)：～平均緯向風(fēng)速——（12.45）′～風(fēng)速的垂直切變（大氣斜壓性）——（12.41）30若令（正壓大氣），則由（12.44）′，（12.45）′知以上二情況，c都不可能是復(fù)數(shù)，可見(jiàn)：只有才可出現(xiàn)斜壓不穩(wěn)定。3、斜壓不穩(wěn)定條件（必要條件與充分條件）由（12.45）′知，根號(hào)內(nèi)的（a）為正，（b）可正可負(fù)，要出現(xiàn)不穩(wěn)定必須為負(fù)，要求～不穩(wěn)定之必要條件即不穩(wěn)定必要條件：（臨界波長(zhǎng)）~正壓大氣水平有輻散Rossby波速~正壓大氣水平無(wú)輻散Rossby波速31只有的波才有可能出現(xiàn)斜壓不穩(wěn)定，反之，當(dāng)然，進(jìn)一步才會(huì)出現(xiàn)波的不穩(wěn)定，故有不穩(wěn)定之充分條件：波一定是穩(wěn)定的。，解不等式，有令根號(hào)內(nèi)的值，可得隨L變化之圖像和穩(wěn)定與不穩(wěn)定之界限：①時(shí)，各種波長(zhǎng)的擾動(dòng)均為穩(wěn)定；②時(shí)，不論多大，擾動(dòng)亦均為穩(wěn)定；③越大，不穩(wěn)定波的波長(zhǎng)范圍越寬；④L足夠大時(shí)，必須也很大，才能不穩(wěn)定。32§12.6中尺度對(duì)稱(chēng)不穩(wěn)定§12.6.1基本概念●現(xiàn)考慮基流為一般斜壓緯向氣流而緯向（即x方向）運(yùn)動(dòng)方程為:

——（1）實(shí)為慣性力、柯氏力和氣壓梯度力三力平衡，各量用特征尺度和無(wú)量綱積的形式表示，有：——（2）若兩端乘以L，則各項(xiàng)量綱應(yīng)為單位質(zhì)量空氣的動(dòng)能：——（3）若兩端再除以U，則各項(xiàng)應(yīng)為單位質(zhì)量空氣的動(dòng)量：——（4）33（4）表明，緯向基流的相對(duì)動(dòng)量為，因地球自轉(zhuǎn)f而引起的牽連動(dòng)量為-fy，

~緯向基流的絕對(duì)動(dòng)量。故可認(rèn)為：

●已學(xué)習(xí)過(guò)，用氣塊法討論層結(jié)對(duì)流穩(wěn)定性（z方向）和慣性穩(wěn)定性（水平y(tǒng)方向），且有如下之判據(jù)式：對(duì)流穩(wěn)定性:

層結(jié)是對(duì)流穩(wěn)定的時(shí)層結(jié)是對(duì)流中性的層結(jié)是對(duì)流不穩(wěn)定的，也就是有

→對(duì)流穩(wěn)定。

即當(dāng)，氣塊若在垂直方向受擾動(dòng)產(chǎn)生位移遠(yuǎn)離原平衡位置而呈現(xiàn)不穩(wěn)定，而是圍繞平衡點(diǎn)作浮力振蕩。，它不會(huì)進(jìn)一步34時(shí)，基流為慣性穩(wěn)定，氣塊繞平衡位置作慣性振蕩。慣性穩(wěn)定性：

——（5.2）類(lèi)似地，當(dāng)大氣同時(shí)具備這兩種特征時(shí)，有如圖之剖面結(jié)構(gòu)：表明：那么，這種情況氣塊一定是穩(wěn)定的？答案是否定的！35當(dāng)氣塊在如圖斜壓大氣中傾斜上升，如A→D點(diǎn)。則在層結(jié)對(duì)流穩(wěn)定和慣性穩(wěn)定條件下（如圖，注意等面的斜率為等面